淮安卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份淮安卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共32页。试卷主要包含了考试时间，计算等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在四个实数13，0，﹣1，2中，最小的数是（ ）
A．13B．0C．﹣1D．2
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a4）2＝a6B．a6÷a2＝a3C．a5+a2＝a7D．a4•a5＝a9
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线m，n与△ABC的边相交，且m∥AB，n∥BC，那么∠B＝（ ）
A．β﹣αB．180°﹣α﹣βC．90°+α﹣βD．α+β﹣180°
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7B．3，4，8C．3，3，5D．3，3，7
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m＞1C．m≤1D．m≤﹣1
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，线段DE长是5，且两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，点M、N分别是DE、AB的中点，求MN的最小值（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
8．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E．下列说法正确的个数是（ ）
（1）当AB′⊥AB时，B′A＝B′E；
（2）当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形；
（3）在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2；
（4）连接BB′，则四边形ABPB′的面积始终等于12AP⋅BB'．
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
9．计算：2×5= ．
10．若a2﹣b2＝8，b﹣a＝3，则a+b＝ ．
11．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，宇航员顺利进入运行轨道约450000m的“天宫”空间站．将数据450000用科学记数法表示为 ．
12．某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 （结果精确到0.1）．
13．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则BC的长等于 ．
14．甲、乙两人从A地出发在直线道路上匀速步行前往相距12600米的B地，若甲出发30分钟后，乙再出发，甲出发120分钟后两人第一次相遇，乙到B地后立即返回，并保持原来的速度继续行走，途中与甲再次相遇．如图，甲、乙两人离A地的距离之和y（米）与甲出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示，那么乙到B地后再经过 分钟与甲再次相遇．
15．用边数为x，y，z的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则1x+1y+1z= ．
16．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠ADB＝ 度．
三．解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：(π-3.14)0-4cs45°+32+|22-3|；
（2）解不等式：4x+7≤5（x+2）．
18．（8分）化简求值：(x+1x-1)÷x2-1x2+x，其中x=3+1．
19．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE．
20．（8分）某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示．
请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．
21．（8分）初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、简、中、难；a，b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．
（1）从四份听力材料中，任选一份，其难度是易的概率是 ．
（2）分别从听力、口语材料中随机各选一份组成一套完整的模拟试卷，求两份材料难度都是易的概率．
22．（8分）本届世界杯于当地时间2022年11月20日晚在卡塔尔首都多哈海湾球场拉开序幕，点燃了一场足球盛宴．在此之前32支参赛球队都在认真的选拔球员，积极备战．其中某参赛队主教练统计了甲、乙两位球员各自最近10场比赛的进球数目和上场时间，准备择优选择一名前锋球员，请根据以下统计数据，结合给定的指标帮助主教练选择参赛球员．
（1）甲、乙两位球员10场比赛上场时间的极差分别是 分和 分；
（2）请分别求出甲、乙两位球员10场比赛进球数的中位数和众数，并将其填入表中：
（3）请分别计算甲、乙两位球员10场比赛上场时间的方差，若你是主教练你会选择哪位队员？说明理由．
23．（8分）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线．已知甲山上A点到河边C的距离AC＝130米，点A到CD的垂直高度为120米；乙山BD的坡比为4：3，乙山上B点到河边D的距离BD＝450米，从B处看A处的俯角为25°．（参考值：sin25°≈0.423，cs25°≈0.906，tan25°≈0.466）
（1）求乙山B处到河边CD的垂直距离；
（2）求河CD的宽度．（结果保留整数）
24．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y=k2x的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若ADAC=13．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形OCDE的面积；
（3）直接写出k2x-k1x-b＞0的x的取值范围 ．
25．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．
26．（12分）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m．
（1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝1，当-32≤x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式；
（3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围 ．
27．（14分）如图1，在△ABC中，点E在△ABC内部，连接线段EB和EC，使∠ECB＝∠ABC，∠EBC＝∠ABE+∠ACE．
（1）求证：∠ACB＝2∠EBC；
（2）点D是BC边上一点，连接DE，当BD＝AC时，探究线段AB，CE，DE的之间的数量关系并证明；
（3）如图2，在（2）的条件下，若∠A＝90°，延长DE交AB于点K，当AC=32CD时，直接写出BKAK的值．
移植总次数n
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
1335
3203
6335
8037
12628
成活的频率mn
0.890
0.915
0.905
0.893
0.902
文学类（本/人）
科普类（本/人）
九（1）班
3
2
九（2）班
4
1
共计（本）
265
110
场次
进球数目/个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
2
0
1
3
2
1
3
1
0
1
乙
1
2
1
2
0
3
2
1
2
0
中位数/个
众数/个
甲
乙
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在四个实数13，0，﹣1，2中，最小的数是（ ）
A．13B．0C．﹣1D．2
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣1＜0＜13＜2，
∴在实数13、0、﹣1、2中，最小的实数是﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a4）2＝a6B．a6÷a2＝a3C．a5+a2＝a7D．a4•a5＝a9
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a4）2＝a8，故A不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故B不符合题意；
C、a5与a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、a4•a5＝a9，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的法则的掌握与应用．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、B、C选项的图形中不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A、C、D不是中心对称图形，不符合题意；
D选项的图形中能找到一点，使B绕该点旋转180度后与原来图形重合，故B是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题的关键．
4．如图，直线m，n与△ABC的边相交，且m∥AB，n∥BC，那么∠B＝（ ）
A．β﹣αB．180°﹣α﹣βC．90°+α﹣βD．α+β﹣180°
【分析】由平行线的性质推出∠A+∠AMK＝180°，∠C+∠CNL＝180°，得到∠A+∠C＝360°﹣（α+β），由三角形内角和定理求出∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝α+β﹣180°．
【解答】解：∵m∥AB，n∥BC，
∴∠A+∠AMK＝180°，∠C+∠CNL＝180°，
∵∠AMK＝α，∠CNL＝β，
∴∠A+∠C＝360°﹣（α+β），
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝α+β﹣180°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出∠A+∠AMK＝180°，∠C+∠CNL＝180°，由三角形内角和定理即可求出∠B．
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7B．3，4，8C．3，3，5D．3，3，7
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、3+4＝7，不能组成三角形；
B、3+4＜8，不能组成三角形；
C、3+3＞5，能够组成三角形；
D、3+3＜7，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m＞1C．m≤1D．m≤﹣1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，
解得m≤1，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，线段DE长是5，且两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，点M、N分别是DE、AB的中点，求MN的最小值（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】连接CM、CN，由勾股定理求得AB=AC2+BC2=10，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CN＝5，CM＝2.5，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CM、CN，
在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵∠ACB＝90°，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN=12AB=12×10＝5，CM=12DE=12×5＝2.5，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣2.5＝2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，明确C、M、N三点在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
8．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E．下列说法正确的个数是（ ）
（1）当AB′⊥AB时，B′A＝B′E；
（2）当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形；
（3）在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2；
（4）连接BB′，则四边形ABPB′的面积始终等于12AP⋅BB'．
A．1B．2C．3D．4
【分析】（1）画出图形，求出∠B'AD＝∠AEB'＝30°，根据等角对等边即可判断其正确；
（2）画出图形，证明出△ABP是等边三角形，从而得到AB＝BP＝B'P＝AB'，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确；
（3）画出反例的图形，即可判断其错误；
（4）画出图形，连接BB'交AP于点O，根据S四边形ABPB'＝S△ABP+S△AB'P=12AP•OB+12AP•OB′=12AP•BB'，即可判断其正确．
【解答】解：（1）如图所示，当AB′⊥AB时，
∵AB'⊥AB，
∴∠BAB'＝90°，
∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，
∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝120°﹣90°＝30°，
∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B'AD＝∠AEB'，
∴B'A＝B'E，
故（1）正确；
（2）如图所示，当B'落在AD上时，点E和B'重合，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，
∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝BP＝B'P＝AB'，
∴四边形ABPB′是菱形，
故（2）正确；
（3）如图所示，
当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，
∴AE＜AB′＝2，
故（3）错误；
（4）如图所示，连接BB'交AP于点O，
∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，
∴AP垂直平分BB'，
∴S四边形ABPB'＝S△ABP+S△AB'P=12AP•OB+12AP•OB′=12AP•BB'，
故（4）正确．
综上，正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟
练掌握相关知识是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
9．计算：2×5= 10 ．
【分析】根据a⋅b=ab进行运算即可．
【解答】解：原式=2×5=10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法运算，属于基础题，注意掌握a⋅b=ab．
10．若a2﹣b2＝8，b﹣a＝3，则a+b＝ -83 ．
【分析】第一个等式左边利用平方差公式分解，将a﹣b的值代入计算即可求出a+b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝﹣（a﹣b）＝3，即a﹣b＝﹣3，
∴a+b=-83．
故答案为：-83
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，宇航员顺利进入运行轨道约450000m的“天宫”空间站．将数据450000用科学记数法表示为 4.5×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：450000＝4.5×105．
故答案为：4.5×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 0.9 （结果精确到0.1）．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：∵幼树移植数14000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
13．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则BC的长等于 52π ．
【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出BC的长了．
【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝25，AC=10，BC=10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB=5，
∴BC的长为：90⋅π×5180=52π，
故答案为：52π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
14．甲、乙两人从A地出发在直线道路上匀速步行前往相距12600米的B地，若甲出发30分钟后，乙再出发，甲出发120分钟后两人第一次相遇，乙到B地后立即返回，并保持原来的速度继续行走，途中与甲再次相遇．如图，甲、乙两人离A地的距离之和y（米）与甲出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示，那么乙到B地后再经过 5137 分钟与甲再次相遇．
【分析】根据图形可求甲的速度，再根据追击问题可求乙的速度，再根据相遇问题可求乙到B地后与甲再次相遇的时间，依此即可求解．
【解答】解：由图可知，甲的速度为630÷30＝21（米/分），
则乙的速度为630÷（120﹣30）+21＝28（米/分），
则乙到B地需要的时间为12600÷28＝450（分），
从乙出发到与甲再次相遇的时间为（12600×2﹣630）÷（21+28）＝50137（分），
乙到B地后与甲再次相遇再经过的时间为50137-450＝5137（分）．
故乙到B地后再经过5137分钟与甲再次相遇．
故答案为：5137．
【点评】本题考查了一次函数的应用，属于追击和相遇问题，关键是求出的甲和乙的速度．
15．用边数为x，y，z的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则1x+1y+1z= 12 ．
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．
【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，
已知正多边形的边数为x、y、z，
那么这三个多边形的内角和可表示为：(x-2)×180°x+(y-2)×180°y+(z-2)×180°z=360，
两边都除以180得：1-2x+1-2y+1-2z=2，
两边都除以2得，1x+1y+1z=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）．解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．
16．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠ADB＝ 22.5 度．
【分析】求出∠AOB＝45°，根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵∠AOB=3608=45°，
∴∠ADB=12∠AOB＝22.5°，
故答案为：22.5．
【点评】本题考查正多边形与圆，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，解题的关键是掌握圆周角定理，学会添加常用辅助线．
三．解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：(π-3.14)0-4cs45°+32+|22-3|；
（2）解不等式：4x+7≤5（x+2）．
【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4×22+42+3﹣22
＝1﹣22+42+3﹣22
＝4；
（2）∵4x+7≤5（x+2），
∴4x+7≤5x+10，
4x﹣5x≤10﹣7，
﹣x≤3，
则x≥﹣3．
【点评】本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．（8分）化简求值：(x+1x-1)÷x2-1x2+x，其中x=3+1．
【分析】先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将x的值代入计算．
【解答】解：(x+1x-1)÷x2-1x2+x
=x+1-xx⋅x(x+1)(x+1)(x-1)，
=1x⋅x(x+1)(x+1)(x-1)，
=1x-1，
当x=3+1时，
原式=13+1-1=13=33．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化是解题的关键．
19．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE．
【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，根据直角三角形全等的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，
在Rt△ADF和Rt△CBE中
AF=CEAD=CB，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）．
【点评】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定定理，注意：矩形的对边相等，矩形的四个角都是直角．
20．（8分）某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示．
请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．
【分析】设九（1）班有x人，九（2）班有y人，根据题意列出方程组病求解即可．
【解答】解：设九（1）班有x人，九（2）班有y人，
由题意得：3x+4y=2652x+y=110，
解得：x=35y=40，
答：九（1）班有35人，九（2）班有40人．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．
21．（8分）初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、简、中、难；a，b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．
（1）从四份听力材料中，任选一份，其难度是易的概率是 14 ．
（2）分别从听力、口语材料中随机各选一份组成一套完整的模拟试卷，求两份材料难度都是易的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和听力、口语两份材料都是易的一套模拟试卷的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）从四份听力材料中，任选一份，其难度是易的概率是14，
故答案为：14．
（2）列表如下：
由列表可知：共有8种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中听力、口语均为易的结果有1种，
所以两份材料难度都是易的概率为18．
【点评】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
22．（8分）本届世界杯于当地时间2022年11月20日晚在卡塔尔首都多哈海湾球场拉开序幕，点燃了一场足球盛宴．在此之前32支参赛球队都在认真的选拔球员，积极备战．其中某参赛队主教练统计了甲、乙两位球员各自最近10场比赛的进球数目和上场时间，准备择优选择一名前锋球员，请根据以下统计数据，结合给定的指标帮助主教练选择参赛球员．
（1）甲、乙两位球员10场比赛上场时间的极差分别是 30 分和 25 分；
（2）请分别求出甲、乙两位球员10场比赛进球数的中位数和众数，并将其填入表中：
（3）请分别计算甲、乙两位球员10场比赛上场时间的方差，若你是主教练你会选择哪位队员？说明理由．
【分析】（1）观察统计图，确定甲、乙两位球员10场比赛上场时间的最大值和最小值即可计算极差；
（2）先把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，然后确定中位数和众数即可；
（3）先计算平均数，然后根据方差的公式计算即可．
【解答】解：（1）甲球员10场比赛上场时间的最大值和最小值分别是80和50，
∴极差为：80﹣50＝30（分），
乙球员10场比赛上场时间的最大值和最小值分别是78和53，
∴极差为：78﹣53＝25（分），
∴甲、乙两位球员10场比赛上场时间的极差分别是30分和25分．
故答案为：30，25；
（2）甲进球的个数：0，0，1，1，1，1，2，2，3，3，
∴甲球员进球个数的众数是1，中位数是1，
乙进球的个数：0，0，1，1，1，2，2，2，2，3，
∴乙球员进球个数的众数是2，中位数是1.5；
（3）甲球员的上场时间：55，72，62，73，63，80，50，65，60，70，
平均数为：55+72+62+73+63+80+50+65+60+7010=65（分），
方差为：110[（55﹣65）2+（72﹣65）2+（62﹣65）2+（73﹣65）2+（63﹣65）2+（80﹣65）2+（50﹣65）2+（65﹣65）2+（60﹣65）2+（70﹣65）2]＝72.6，
乙球员的上场时间：65，78，70，53，60，72，55，62，70，65，
平均数为：65+78+70+53+60+72+55+62+70+6510=65（分），
方差为：110[（65﹣65）2+（78﹣65）2+（70﹣65）2+（53﹣65）2+（60﹣65）2+（72﹣65）2+（55﹣65）2+（62﹣65）2+（70﹣65）2+（65﹣65）2]＝52.1，
∵52.1＜72.6，
∴乙球员的上场时间更稳定，
又∵乙球员的进球的众数和中位数高于甲球员，
∴应该选择乙上场．
【点评】本题考查了众数、中位数以及方差的计算，解题的关键是掌握众数、中位数的确定方法以及方差的计算公式．
23．（8分）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线．已知甲山上A点到河边C的距离AC＝130米，点A到CD的垂直高度为120米；乙山BD的坡比为4：3，乙山上B点到河边D的距离BD＝450米，从B处看A处的俯角为25°．（参考值：sin25°≈0.423，cs25°≈0.906，tan25°≈0.466）
（1）求乙山B处到河边CD的垂直距离；
（2）求河CD的宽度．（结果保留整数）
【分析】（1）过B作BF⊥CD于点F，由坡度的概念和勾股定理即可得出结论；
（2）过A作AE⊥CD于点E，过A作AH⊥BF于点H，则四边形AEFH为矩形，得HF＝AE＝120米，AH＝EF，由锐角三角函数定义求出AH的长，再由勾股定理求出CE的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）过B作BF⊥CD于点F，如图，
∵乙山BD的坡比为4：3，
∴BFDF=43，
设BF＝4t米，则DF＝3t米，
∴BD=BF2+DF2=(4t)2+(3t)2=5t（米），
∴5t＝450，
解得：t＝90，
∴BF＝360米，
答：乙山B处到河边CD的垂直距离为360米；
（2）过A作AE⊥CD于点E，过A作AH⊥BF于点H，
则四边形AEFH为矩形，
∴HF＝AE＝120米，AH＝EF，
∴BH＝BF﹣HF＝360﹣120＝240（米），
∵从B处看A处的俯角为25°，
∴∠BAH＝25°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=BHAH，
∴AH=BHtan25°≈2400.466≈515.0（米），
∴EF＝AH≈515.0（米），
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE=AC2-AE2=1302-1202=50（米），
由（1）可知，DF＝270米，
∴CD＝EF﹣CE﹣DF≈515.0﹣50﹣270＝195（米），
答：河CD的宽度约为195米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y=k2x的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若ADAC=13．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形OCDE的面积；
（3）直接写出k2x-k1x-b＞0的x的取值范围 x＜﹣6或﹣2＜x＜0 ．
【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用△AOC的面积减去△AED的面积求解；
（3）根据两函数图象的交点坐标即可得到结论．
【解答】解：（1）将D（﹣6，2）代入y=k2x中，
k2＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y=-12x；
过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，
∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴ADAC=AEAO=DMCN=13，
∴CN＝3DM＝6，
将y＝6代入y=-12x中，
得-12x=6，
解得：x＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中，
可得-2k1+b=6-6k1+b=2，
解得k1=1b=8，
∴一次函数的解析式为y＝x+8；
（2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx，
将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，
解得：m＝﹣3，
∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，
由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，
将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，
解得：n＝﹣16，
∴直线DE的解析式为y＝﹣3x﹣16，
当y＝0时，﹣3x﹣16＝0，
解得：x=-163，
∴E点坐标为（-163，0），
∴OE=163，
在y＝x+8中，当y＝0时，x+8＝0，
解得：x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝8-163=83，
S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED
=12OA-12AE⋅DN
=12×8×6-12×83×2
＝24-83
=643；
（3）∵一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象C（﹣2，6），D（﹣6，2）两点，
∴k2x-k1x-b＞0的x的取值范围是x＜﹣6或﹣2＜x＜0，
故答案为：x＜﹣6或﹣2＜x＜0，
【点评】本题是反比例函数综合题，考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）设CD与⊙O交于点G，连接BF，BG，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得BF，设AC＝BC＝x，则CF＝x﹣2，利用勾股定理列出方程求得x值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠D．
∵CD⊥AC，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣（∠ABC+∠EBD）＝90°．
∴OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：设CD与⊙O交于点G，连接BF，BG，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∵∠CFB＝∠CGB＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形CFBG为矩形．
∴BG＝FC．
在Rt△AFB中，
∵AF＝2，tanA＝2=BFAF，
∴BF＝4．
设AC＝BC＝x，则CF＝x﹣2．
∵CF2+BF2＝BC2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴FC＝3，BC＝5．
∴BG＝3．
∵∠CBE＝90°，BG⊥CE，
∴△CBG∽△BGE．
∴BGCG=GEBG，
∴34=EG3，
∴EG=94．
∴BE=BG2+EG2=154．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
26．（12分）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m．
（1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝1，当-32≤x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式；
（3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围 a≤-15或0＜a≤15或a≥1 ．
【分析】（1）先将函数C1写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出n＝0时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数C2的顶点坐标；
（2）先由a＝1得出函数C1的解析式，再分段讨论：①当-32≤x≤112时，②当m＞112时，从而可解得m的值，则可求得C2的解析式；
（3）先得出n＝1时点A，B，D的坐标，再分①当a＞0时，②当a＜0时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9a）．
∵当n＝0时，点P的坐标为（0，0），
∴新函数C2的顶点坐标为（﹣2，9a）；
（2）∵a＝1，
∴函数C1：y1＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9）．
把x=-32代入函数C1，得：
y1＝（-32）2﹣4×（-32）﹣5=134，
根据抛物线的对称性可知，当x=112时y2=134．
①当-32≤x≤112时，y1+y2＜7，不符合题意，舍去）．
②当m＞112时，y2＝﹣9，y1＝m2﹣4m﹣5，
∴y1+y2＝m2﹣4m﹣5﹣9＝7，
解得m1＝7，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．
∴y2＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3，
∴C2的解析式为y2＝﹣x2﹣4x+3；
（3）∵n＝1，函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴函数C2：y2＝﹣a（x+2）2+2+9a，
∵当y2＝2时，x＝1或﹣5；当x＝0时，y2＝5a+2，
∴点A，B，D的坐标分别为（1，2），（﹣5，2），（0，5a+2）．
∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，
∴点A'的坐标为（0，3），点D'的坐标为（﹣5a，2）．
①当a＞0时，
当点D'在点B的左侧（含点B）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图1：
∴﹣5a≤﹣5，
∴a≥1；
当点D'在点B的右侧，且点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图2：
∴5a+2≤3，
解得a≤15，∴0＜a≤15．
②当a＜0时，点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图3：
∴﹣5a≥1，
∴a≤-15．
综上所述，a≤-15或0＜a≤15或a≥1．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
27．（14分）如图1，在△ABC中，点E在△ABC内部，连接线段EB和EC，使∠ECB＝∠ABC，∠EBC＝∠ABE+∠ACE．
（1）求证：∠ACB＝2∠EBC；
（2）点D是BC边上一点，连接DE，当BD＝AC时，探究线段AB，CE，DE的之间的数量关系并证明；
（3）如图2，在（2）的条件下，若∠A＝90°，延长DE交AB于点K，当AC=32CD时，直接写出BKAK的值．
【分析】（1）设∠ABE＝α，∠ACE＝β，则∠EBC＝∠ABE+∠ACE＝α+β，再证∠ACB＝∠ECB+∠ACE＝2α+2β，即可得出结论；
（2）过C作CM平分∠ACB交AB于M，证△EBC≌△MCB（ASA），得BE＝CM，CE＝BM，再证△ACM≌△DBE（SAS），得AM＝DE，即可得出结论；
（3）设CD＝a，则BD＝AC=32a，得BC＝BD+CD=52a，由勾股定理得AB＝2a，再证△KBD∽△CBA，得BKBC=BDBA，则BK=158a，AK=18a，即可得出答案．
【解答】（1）证明：设∠ABE＝α，∠ACE＝β，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ACE＝α+β，
∴∠ECB＝∠ABC＝2α+β，
∴∠ACB＝∠ECB+∠ACE＝2α+2β，
∴∠ACB＝2∠EBC；
（2）解：AB＝CE+DE，理由如下：
过C作CM平分∠ACB交AB于M，如图1所示：
则∠ACM＝∠BCM，
∵∠ACB＝2∠EBC，
∴∠BCM＝∠EBC，
∵BC＝CB，∠ECB＝∠ABC，
∴△EBC≌△MCB（ASA），
∴BE＝CM，CE＝BM，
又∵AC＝BD，∠ACM＝∠DBE，
∴△ACM≌△DBE（SAS），
∴AM＝DE，
∴AB＝BM+AM＝CE+DE；
（3）解：过C作CM平分∠ACB交AB于M，如图2所示：
设CD＝a，则BD＝AC=32a，
∴BC＝BD+CD=52a，
∵∠A＝90°，
∴AB=BC2-AC2=(52a)2-(32a)2=2a，
由（2）可知，△ACM≌△DBE，
∴∠A＝∠BDE，
∵∠KBD＝∠CBA，
∴△KBD∽△CBA，
∴BKBC=BDBA，
即BK52a=32a2a，
解得：BK=158a，
∴AK＝AB﹣BK＝2a-158a=18a，
∴BKAK=158a18a=15．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线定义定义等知识，本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．移植总次数n
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
1335
3203
6335
8037
12628
成活的频率mn
0.890
0.915
0.905
0.893
0.902
文学类（本/人）
科普类（本/人）
九（1）班
3
2
九（2）班
4
1
共计（本）
265
110
A易
B简
C难
D难
a易
易，易
简，易
难，易
难，易
b难
易，难
简，难
难，难
难，难
场次
进球数目/个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
2
0
1
3
2
1
3
1
0
1
乙
1
2
1
2
0
3
2
1
2
0
中位数/个
众数/个
甲
乙