【中考数学】2025年江苏省淮安市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年江苏省淮安市中考适应性模拟试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3B．13C．−13D．3
2．（3分）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A．24.2×108B．2.42×108
C．2.42×109D．0.242×1010
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a＝a2B．a2•a3＝a6C．a7﹣a3＝a4D．（a4）3＝a7
5．（3分）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（ ）
A．y=400x+3400y=300x−100
B．y=400x−3400y=300x−100
C．y=400x−3400y=300x+100
D．y=400x+3400y=300x+100
7．（3分）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
8．（3分）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∠B＝30°．若点B坐标为（1，﹣3），则k的值是（ ）
A．﹣2B．12C．1D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式1a−1有意义，则a的取值范围是 ．
10．（3分）计算：12×13= ．
11．（3分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
12．（3分）点P（﹣1，1）沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是 ．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE＝4，则OF＝ ．
14．（3分）如图，直线l1：y＝﹣x+6经过点A（1，a），将l1绕A点顺时针旋转，旋转角为α（45°＜α＜135°），得到直线l2．点B（m，n）在l2上，若m＞1，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
15．（3分）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是 ．
16．（3分）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），α为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为90°，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形ABC的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为30°，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：2sin60°+|3−1|+(15)0；
（2）解不等式组：3(x+1)≤2x+4x+5＞x+32．
18．（8分）先化简，再求值：a2+2a+1a2+a÷(a−1a)，其中a=2+1．
19．（8分）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B＝∠ADE，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．
20．（8分）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
21．（8分）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1﹣8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：
数据分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
22．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD＝∠CAB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，若∠CAB＝30°，AB＝4，求扇形OBD的面积．
23．（8分）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
24．（8分）已知：如图，矩形ABCD．
（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若AB＝3，BC＝5，求CE的长．
25．（10分）已知二次函数y=12x2−mx+m﹣1（m为常数）．
（1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝ ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围．
26．（12分）综合与实践
[主题]雨天撑伞的学问
[情境]图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN＝0.2米，MQ＝1.6米，雨伞撑开的宽度AC＝1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
[问题感知]
（1）①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，θ＝72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分PK＝ 米．（参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
[问题探究]
（2）如图（2）所示，θ＝60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围．
[问题解决]
（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示．试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
27．（14分）探究与应用
[问题初探]（1）在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：
根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是 ．
[简单应用]（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC＝2，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．
[灵活应用]（3）如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若OB＝9，OD＝5，CDBC=12，求BD的长．
[深度思考]（4）如图（4），在△ABC中，∠C＝120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足AD＝DE＝BE，AE、BD交于点P，若tan∠CAE=15，则PB−PDPA−PE的值为 ．
2025年江苏省淮安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3B．13C．−13D．3
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（3分）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A．24.2×108B．2.42×108
C．2.42×109D．0.242×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：24.2亿＝2420000000＝2.42×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a＝a2B．a2•a3＝a6C．a7﹣a3＝a4D．（a4）3＝a7
【分析】根据整式的运算法则进行判断即可．
【解答】解：A．a3÷a＝a2，故A选项正确；
B．a2•a3＝a5，故B选项错误；
C．a7﹣a3无法化简，故C选项错误；
D．（a4）3＝a12，故D选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，由此判断即可．
【解答】解：将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，
故选：A．
【点评】本题考查了立体图形，掌握立体图形是解题的关键．
6．（3分）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（ ）
A．y=400x+3400y=300x−100
B．y=400x−3400y=300x−100
C．y=400x−3400y=300x+100
D．y=400x+3400y=300x+100
【分析】根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可．
【解答】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意得，
y=400x−3400y=300x−100，
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，正确列出式子是解题的关键．
7．（3分）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
【分析】延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到∠2＝∠3，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：延长FA与直线b交于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠F=(6−2)×180°6=120°，AF∥CD，
∴∠2＝∠H，
∵a∥b，
∴∠3＝∠H，
∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°，
若∠1＝40°，则∠2的度数是20°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．
8．（3分）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∠B＝30°．若点B坐标为（1，﹣3），则k的值是（ ）
A．﹣2B．12C．1D．2
【分析】过点A作AC⊥y轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，证明△OCA∽△BDO，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，
由条件可知OAOB=tan∠B=tan30°=33，
∵AC⊥y轴，
∴∠OAC+∠COA＝90°，
∵直角三角板AOB中∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠COA＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
又∵∠BDO＝∠OCA＝90°，
∴△BOD∽△OAC，
∴OCBD=ACOD=OABO=33，
∴BD＝1，OD＝3，
∴OC=33BD=33，AC=33OD=33×3=3，
∴点A坐标为(3，33)，
∵点A在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴k=3×33=1，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式1a−1有意义，则a的取值范围是 a≠1 ．
【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解．
【解答】解：根据分式有意义时分母不等于零可得：a﹣1≠0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
10．（3分）计算：12×13= 2 ．
【分析】利用二次根式的乘法法则计算，再利用二次根式的性质即可求得答案．
【解答】解：原式=12×13
=4
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的乘除法及性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11．（3分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° ．
【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
【解答】解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°﹣50°×2＝80°，
∴顶角为80°．
故填80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
12．（3分）点P（﹣1，1）沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是 （﹣1，5） ．
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可．
【解答】解：点P（﹣1，1）沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是（﹣1，1+4），即（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
【点评】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE＝4，则OF＝ 4 ．
【分析】根据斜边上的中线，得到BC＝2AE＝8，根据平行四边形的性质，推出OF是△BCD的中位线，进而得到OF=12BC，即可得出结果．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴AE=12BC，
∴BC＝2AE＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵点F为CD的中点，
∴OF=12BC=4；
故答案为：4．
【点评】本题考查平行四边形的性质，斜边上的中线和三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．（3分）如图，直线l1：y＝﹣x+6经过点A（1，a），将l1绕A点顺时针旋转，旋转角为α（45°＜α＜135°），得到直线l2．点B（m，n）在l2上，若m＞1，则n的值可以是 6（答案不唯一） ．（填写一个值即可）
【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为90°，据此得出旋转后的直线l2的解析式，再结合m＞1写出符合要求的n的值即可．
【解答】解：将点A（1，a）代入y＝﹣x+6得，
a＝5，
所以点A的坐标为（1，5）．
因为45°＜α＜135°，
则取α＝90°，
所以旋转前后的直线互相垂直，
则令直线l2的解析式为y＝x+b，
将点A（1，5）代入y＝x+b得，
b＝4，
所以此时直线l2的解析式为y＝x+4．
因为点B（m，n）在直线l2上，且m＞1，
不妨取m＝2，
则n＝2+4＝6，
所以n的值可以是6．
故答案为：6（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
15．（3分）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是 214 ．
【分析】根据x2﹣3x+1+y＝0，得到y＝﹣x2+3x﹣1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可．
【解答】解：由条件可得y＝﹣x2+3x﹣1，
∴2x+y=2x−x2+3x−1=−x2+5x−1=−(x−52)2+214；
∴当x=52时，2x+y有最大值为214；
故答案为：214．
【点评】本题考查二次函数求最值，熟练掌握该知识点是关键．
16．（3分）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），α为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为90°，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形ABC的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为30°，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为 24π ．
【分析】根据张角的定义，画出图形可得结论．
【解答】解：如图，所有符合条件的观察点组成的图形如图所示：
这个图形的周长＝2×2×π×6＝24π．
故答案为：24π．
【点评】本题考查等边三角形的性质，弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：2sin60°+|3−1|+(15)0；
（2）解不等式组：3(x+1)≤2x+4x+5＞x+32．
【分析】（1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【解答】解：（1）2sin60°+|3−1|+(15)0
=2×32+3−1+1=3+3=23；
（2）3(x+1)≤2x+4①x+5＞x+32②，
由①，得：x≤1；
由②，得：x＞﹣7；
∴﹣7＜x≤1．
【点评】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，解不等式的步骤是解题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：a2+2a+1a2+a÷(a−1a)，其中a=2+1．
【分析】先算括号里面的，然后将除法化为乘法并约分，最后代入已知数值计算即可．
【解答】解：原式=(a+1)2a(a+1)÷a2−1a
=(a+1)2a(a+1)•a(a+1)(a−1)
=1a−1；
当a=2+1时，
原式=12+1−1=22．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（8分）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B＝∠ADE，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．
【分析】根据∠BAD＝∠CAE，得到∠BAC＝∠DAE，利用AAS，即可得证．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠B=∠ADEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．（8分）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 14 ；
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，
∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是14，
故答案为：14；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为212=16．
【点评】本题考查的是列表法与树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1﹣8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：
数据分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 14 ，b＝ 13 ，c＝ 14 ；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据两种型号扫地机器人的销售趋势解答即可．
【解答】解：（1）A型销售量的平均数为：a=7+17+12+16+19+18+12+118=14；
B型中位数b=12+142=13；
B型的众数c＝14．
故答案为：14，13，14；
（2）根据统计图可知，B型号扫地机器人月销售量呈上升趋势，若考虑增长势头，进货时可多进B型号扫地机器人．
【点评】本题考查条形统计图，中位数以及众数，掌握相关定义是解答本题的关键．
22．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD＝∠CAB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，若∠CAB＝30°，AB＝4，求扇形OBD的面积．
【分析】（1）因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，而∠CBD＝∠CAB，则∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠CAB＝90°，即可证明BC是⊙O的切线．
（2）连接OD，由∠CAB＝30°，AB＝4，得∠DOB＝2∠CAB＝60°，OD＝OB=12AB＝2，由扇形的面积公式求得S扇形OBD=2π3．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠CAB＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：连接OD，
∵∠CAB＝30°，AB＝4，
∴∠DOB＝2∠CAB＝60°，OD＝OB=12AB＝2，
∴S扇形OBD=60π×22360=2π3，
∴扇形OBD的面积为2π3．
【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠CAB＝90°是解题的关键．
23．（8分）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）利用日销售额＝每件的售价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（25，15），（28，12）代入y＝kx+b得：25k+b=1528k+b=12，
解得：k=−1b=40，
∴y与x之间的函数表达式y＝﹣x+40；
（2）根据题意得：xy＝300，
即x（﹣x+40）＝300，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30．
答：每件玩具的售价为10元或30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（8分）已知：如图，矩形ABCD．
（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若AB＝3，BC＝5，求CE的长．
【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分∠CBF交CD于点E即可；
（2）设CE＝x，根据矩形的性质，可得AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°，再结合折叠的性质，可得BF＝BC＝5，EF＝CE＝x，DE＝CD﹣CE＝3﹣x；接下来在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度，然后在Rt△DEF根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）设CE＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴EF＝CE＝x，BF＝BC＝5，DE＝CD﹣CE＝3﹣x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝52﹣32＝16，
∴AF＝4．
∵AD＝5，AF＝4，
∴DF＝5﹣4＝1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+DF2＝EF2，
即（3﹣x）2+12＝x2，
解得x=53
故CE的长为53．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
25．（10分）已知二次函数y=12x2−mx+m﹣1（m为常数）．
（1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝ 2 ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围．
【分析】（1）将（2，﹣1）代入y=12x2−mx+m−1解关于m的方程即可；
（2）通过判别式判断二次函数图象与x轴交点情况；
（3）根据二次函数的对称轴和单调性，确定p的取值范围．
【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入y=12x2−mx+m−1，
得：−1=12×22−2m+m−1，
解得m＝2，
故答案为：2；
（2）由题可知Δ=(−m)2−4×12×(m−1)=m2−2m+2=(m−1)2+1，
∵（m﹣1）2≥0，
∴（m﹣1）2+1＞0，
∴Δ＞0，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）y=12x2−mx+m−1的对称轴为直线x=−−m2×12=m，
∵二次项系数12＞0，
∴二次函数图象开口向上，
∵y1＜y2，
∴点A（m+1，y1）到对称轴的距离小于点B（m+p，y2）到对称轴的距离，
∴|m+1﹣m|＜|m+p﹣m|，
即|p|＞1，
∴p＞1或p＜﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．（12分）综合与实践
[主题]雨天撑伞的学问
[情境]图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN＝0.2米，MQ＝1.6米，雨伞撑开的宽度AC＝1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
[问题感知]
（1）①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是 1.8 米；
②如图（1）所示，θ＝72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分PK＝ 0.26 米．（参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
[问题探究]
（2）如图（2）所示，θ＝60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围．
[问题解决]
（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示．试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
【分析】（1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解；
（2）延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用FK＝CF•tan60°，接着可得PK=−3x+1.8−32，延长NM交AB于点H，过A作AI⊥MN交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可；
（3）设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可．
【解答】解：（1）①由题意知，OG＝0.45米，GP＝1.35米，
∴OP＝OG+GP＝0.45+1.35＝1.8米，
即点C到地面的距离是1.8米，
故答案为：1.8；
②∵AC＝1米，点O为AC中点，
∴OC=12AC=12米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠KDP＝72°，
∵AC∥BD，
∴∠OCK＝∠KDP＝72°，
∴在Rt△OCK中，OK=OC⋅tan72°=12×3.08=1.54米，
∴PK＝OP﹣OK＝1.8﹣1.54＝0.26米，
故答案为：0.26；
（2）如图，延长PN交AC于点F，则OF＝EG＝x，
∴CF=OF+OC=(x+12)米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠KDP＝60°，
∵AC∥BD，
∴∠FCK＝∠KDP＝60°，
∴在Rt△FCK中，FK=CF⋅tan60°=(12+x)×3=(32+3x)米，
∴PK=FP−FK=1.8−(32+3x)=−3x+1.8−32，
即y=−3x+1.8−32，
延长NM交AB于点H，过A作A⊥MN交MN于I，
则AI＝1.8﹣1.6＝0.2（米），HI=0.2tan60°=315，AF＝NI＝0.5﹣x，
为使头部不被淋湿，
∴HN＝HI+IN=315+0.5﹣x≥MN＝0.2，
解得x≤9+2330，
又∵x≥0，
∴0≤x≤9+2320，
∴y=−3x+1.8−32(0≤x≤9+2330)；
（3）设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，
如图，延长NM交AB于点R，过R作RT⊥BD交BD于T，
延长EG交CD于W，过W作WY⊥OG交OG于Y，
则WY=OC=0.5=12，∠GWD＝∠YGW＝60°，RT＝MQ＝1.6，
∴BD=1sin60°=233，
所以在Rt△YGW中，YG=YWtan60°=36＜OG，GW=YG2+YW2=33；
在Rt△DEW中，EW=DEtan60°=1.353=9320，
∴EG＝EW﹣GW=9320−33=7360＜0.5，
在Rt△BRT中，BT=RTtan60°=1.63=8315，
又∵BD−BT=233−8315=2315＞MN=0.2，
∴此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为7360．
【点评】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解．
27．（14分）探究与应用
[问题初探]（1）在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：
根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是 AB2﹣AP2＝BP•CP ．
[简单应用]（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC＝2，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．
[灵活应用]（3）如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若OB＝9，OD＝5，CDBC=12，求BD的长．
[深度思考]（4）如图（4），在△ABC中，∠C＝120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足AD＝DE＝BE，AE、BD交于点P，若tan∠CAE=15，则PB−PDPA−PE的值为 5−32 ．
【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可；
（2）利用（1）中结论得到AC2﹣CD2＝AD•BD，进而求出CD2，即可得出结果；
（3）延长BD交⊙O于点E，连接CE，OE，利用（1）中结论得到BD•DE＝56，证明△BEC∽△CED，得到CEBE=DECE=CDBC=12，推出BD＝3DE，代入BD•DE＝56中，进行求解即可；
（4）设∠DAE＝∠DEA＝α，∠DBE＝∠EDB＝β，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出∠DPA＝∠EPB＝∠DEA+∠BDE＝α+β＝30°，作DH⊥AE，EG⊥BD，垂足分别为H，G，则AH＝EH，DG＝BG，根据tan∠CAE=DHAH=15，设DH＝x，则EH＝AH＝5x，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出PA，PE，PB，PD的长，进行求解即可．
【解答】解：（1）如图（1），过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2①．
在Rt△APD中，∵∠ADP＝90°，∴AP2＝AD2+DP2②．
由①﹣②得：AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2＝（BD+PD）•（BD﹣PD）．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BD﹣PD＝CD﹣PD＝CP．
∵BD+PD＝BP，
∴AB2﹣AP2＝BP•CP，
故答案为：AD2+DP2；CD；AB2﹣AP2＝BP•CP；
（2）∵等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，
∴AB=2AC=22，
∵AD＝2，
∴BD=AB−AD=22−2，
由（1）中结论可知：AC2﹣CD2＝AD•BD，
即：22−CD2=2×(22−2)，CD2=22−2×(22−2)=8−42，
∴正方形CDEF的面积=CD2=8−42；
（3）如图，延长BD交⊙O于点E，连接CE，OE，则OE＝OB＝9，
由（1）中结论可知：OB2﹣OD2＝BD•DE，
即92﹣52＝BD•DE，
∴BD•DE＝56；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠ACE，
∴∠CBD＝∠DCE，
又∵∠CED＝∠CEB，
∴△BEC∽△CED，
∴CEBE=DECE=CDBC=12，
∴DE=12CE，BE＝2CE，
∴BE＝4DE，
∴BD＝3DE，
∵BD•DE＝56，
∴BD⋅13BD=56，
解得BD=3×56=242；
（4）∵AD＝DE＝BE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DBE＝∠EDB，
设∠DAE＝∠DEA＝α，∠DBE＝∠EDB＝β，
则∠CDE＝∠DAE+∠DEA＝2α，∠CED＝∠DBE+∠EDB＝2β，
∵∠C＝120°，
∴2α+2β＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠DPA＝∠EPB＝∠DEA+∠BDE＝α+β＝30°，
如图，作DH⊥AE，EG⊥BD，垂足分别为H，G，
则AH＝EH，DG＝BG，
∵tan∠CAE=DHAH=15，
∴设DH＝x，则EH＝AH＝5x，
在Rt△DHP中，∠DPH＝30°，
∴DP＝2DH＝2x，PH=3DH=3x，
∴EP=EH−PH=5x−3x，AP＝AH+PH＝5x+3x，
同理：EG=12EP=12（5x−3x），PG=3EG=32(5x−3x)，
∴BG=DG=DP+PG=2x+32(5x−3x)=532x+12x，
∴BP=BG+PG=532x+12x+32(5x−3x)=53x−x，
∴PB−PDPA−PE=53x−x−2x5x+3x−5x+3x=53−323=5−32．
故答案为：5−32．
【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握（1）中得到的结论是解题的关键．
平均数
中位数
众数
A型号
a
14
12
B型号
12
b
c
每件的售价x/元
…
25
28
31
…
日销售量y/件
…
15
12
9
…
如图（1），过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2．①
在Rt△APD中，∵∠ADP＝90°，∴AP2＝ ．②
由①﹣②得：AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2＝（BD+PD）•（BD﹣PD）．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝ ．
∴BD﹣PD＝CD﹣PD＝CP．
……
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D．
C
C．
A
A
B
B
C
平均数
中位数
众数
A型号
a
14
12
B型号
12
b
c
每件的售价x/元
…
25
28
31
…
日销售量y/件
…
15
12
9
…
如图（1），过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2．①
在Rt△APD中，∵∠ADP＝90°，∴AP2＝ AD2+DP2 ．②
由①﹣②得：AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2＝（BD+PD）•（BD﹣PD）．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝ CD ．
∴BD﹣PD＝CD﹣PD＝CP．
……