新高考数学二轮复习解答题专项突破练习考点08 空间角的求解问题（2份，原卷版+解析版）

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立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。例如：2022年全国乙卷（理）[18]，2022年全国甲卷（理）[18]，2022年浙江高考[19]，2022年新高考Ⅰ卷[19]，2022年新高考Ⅱ卷[20]，2022年天津高考[17]，2022年北京高考[17]等都对空间几何体的体积进行了考查。
〔1〕平移法求异面直线所成的角
求异面直线所成的角的方法为平移法，平移法一般有3种
(1)利用图形中已有的平行线平移；
(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；
(3)补形平移.
〔2〕线面角、二面角
1.线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解.
2.二面角的求法：二面角的大小用它的平面角来度量.
平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法。
〔3〕利用空间向量求空间中的角与距离
1.异面直线所成角
若异面直线，所成的角为，则(注意：两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的两向量的夹角的取值范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值)，其中，分别是直线，的方向向量。
2.直线与平面所成角
已知直线与平面，，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则。(注意:直线与平面所成角的范围为，而向量的夹角的取值范围为，所以公式中要加绝对值)。
3.二面角
设为平面的法向量，为平面的法向量，，的夹角为，，则二面角的大小为或。设二面角的大小为，则，如图①②所示。
4.点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点。过点P作平面的垂线，交平面于点Q，则是直线的方向向量，且点P到平面的距离d就是在直线上的投影向量QP的长度，因此。
例1．（2022·天津·高考·17）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．
例2．（2022·全国·新高考Ⅱ卷·20）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
1．（2022·河南·一模（理））如图，四面体ABCD中，，，E是AC的中点．
(1)当F在线段BD上移动时，判断AC与EF是否垂直，并说明理由；
(2)若，，试确定点F在线段BD上的位置，使CF与平面ABD所成角的正弦值为．
2．（2022·广西·模拟预测（理））如图，多面体中，是菱形，，平面，，且
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
3．（2022·湖南永州·一模）如图甲，在边长为4的等边三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点.
(1)求证：；
(2)当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值.
4．（2022·云南大理·模拟预测）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．
(1)求证：；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．
5．（2022·福建泉州·模拟预测）三棱柱中，．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值．
6．（2022·江西南昌·模拟预测（理））如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体和．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
7．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.
(1)若为的中点，求证：；
(2)求二面角的正弦值.
8．（2022·辽宁鞍山·一模）如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.
(1)求与平面AEF所成角的正弦值；
(2)过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：
①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；
②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.
9．（2022·山东济南·模拟预测）如图，正三棱锥中，分别为的中点，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与夹角的余弦值.
10．（2022·天津·南开中学模拟预测）在四棱锥中，，，，，，平面，．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
11．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，平面为中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
12．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.
(1)证明:；
(2)若，求二面角的余弦值.