新高考数学二轮复习解答题专项突破练习考点10 随机变量的均值与方差（2份，原卷版+解析版）

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〔1〕求离散型随机变量的均值与方差
1.基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值和方差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量的均值和方差，求线性函数的均值和方差，可直接运用均值和方差的性质求解；
(3)若能分析出所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的均值、方差公式求解。
2.一般步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值定义求出E(X)，进一步由公式求出D(X)。
〔2〕二项分布的均值与方差
1.如果~，则用公式求解，可大大减少计算量。
2.以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算.
先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布，然后可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差，也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算。若X没有告诉服从特殊分布，但服从特殊分布，可利用有关性质、公式及，求X的均值和方差。
〔3〕均值（期望）与方差在决策中的应用
1.求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算。
2.要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，则用二项分布的期望与方差公式计算，更为简单。
3.在实际问题中，若两个随机变量，，有或与较为接近时，则需要用与来比较两个随机变量的稳定程度.即一般将期望最大（或最小）的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小（或最大）的方案作为最优方案。
例1．（2022·全国·高考真题（理）·19）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
例2．（2022·北京·高考·18）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
1．（2022·广西北海·一模（理））某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是．其统计数据分组区间为，，，，．
(1)求直方图中x的值；
(2)以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1.
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解；
（2）由题意可知，随机变量X服从二项分布.
【详解】（1）由直方图小矩形面积之和为1，
可得:，
解得；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为，
则，，
，，
．
所以的分布列为：
因为
所以．
2．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为，且每人答每道题都是相互独立的．
(1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为，求的最大值和最大值点的值；
(2)以（1）中确定的作为p的值，求“领航队”积分成绩的数学期望．
【答案】(1)在处取得最大值，最大值；(2)．
【分析】(1)由独立事件的概率乘法公式求，利用导数求其最大值和最大值点；(2)设“领航队”的每个成员积分成绩为，由已知求随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求的期望，再由随机变量与的关系结合期望的性质求的数学期望．
【详解】（1），，
当时，在区间内单调递增；
当时，在区间内单调递减．
故在处取得最大值，最大值．
（2）“领航队”的每个成员积分成绩为Y，则，所以“领航队”积分成绩X的数学期望，
每个成员积分成绩Y的可能取值为，1，5，9，
记第i道题目答对为事件，
则，
，
，
．
Y的分布列为
则，
故．
3．（2022·河北唐山·三模）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．
(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；
(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
【答案】(1)
(2)游客甲选择向B桶投球更有利；理由见解析
【分析】（1）根据概率公式求得概率，利用导数求得极大值点即可；
（2）分别求出游客投进A，B，C三桶的纯收入的期望，比较其大小即可得到结论.
【详解】（1）3次向A桶投球投进2次的概率．
则．令，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在单调递减，
∴所以的极大值点．
（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，．
设投进A桶的纯收入为X元，；
设投进B桶的纯收入为Y元．；
设投进C桶的纯收入为Z元，；
因为，所以游客甲选择向B桶投球更有利．
4．（2022·全国·模拟预测）台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．
(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？
(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．
（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；
（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量的分布列．
【答案】(1)甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，详见解析；
(2)（i）；（ii）详见解析.
【分析】（1）根据题意分别计算不进入 50 海里及进入 50 海里时甲相对得分的期望值，进而即得；
（2）（i）根据对立事件概率公式及独立重复事件概率公式即得；（ii）由题可得的可能取值，然后分别计算概率，进而可得分布列.
【详解】（1）由题可知，若不进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.2 × 10 = 2，
若进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.5 × 0.8 × 10 + 0.5 × 0.6 × (−6) = 2.2，
所以甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内；
（2）（i）因为每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5，
所以一架轰炸机被命中的概率为，
所以恰有一架轰炸机被命中的概率为；
（ii）由题可知的可能取值为 0,1,2,3,4，
因为，
，
，
，
.
所以的分布列为：
5．（2022·山东济南·模拟预测）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织团员参加知识竞赛.根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)计算的值；
(2)采用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记为这3人中成绩落在的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）直接由频率和为1即可求解；
（2）先由分层抽样求得各层人数，进而求得的所有可能取值及对应概率，列出分布列，由期望公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知：，
所以；
（2）按比例分层抽样抽取7人，成绩在，的人数分别为3人，4人.所以的所有可能取值为：0，1，2，3；
则，，，；
则的分布列为：
所以的数学期望为：.
6．（2022·四川内江·模拟预测（理））2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
(1)完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：.
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断；
（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
【详解】（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，
所以列联表：
，
有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：（人，（人，
则的所有可能取值为，，，
所以，
，
，
故的分布列是：
故．
7．（2022·湖北·黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行．近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、，且每局比赛相互独立．
(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；
(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为，求随机变量的分布列与数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【分析】（1）甲获得乒兵球比赛冠军这个事件为前两局甲全获胜，或前两局中甲胜一局第三局甲胜，由独立事件与互斥事件概率公式计算；
（2）甲乙决出冠军共进行了局比赛，易知或，记表示第局从白盒中抽取的白色球，表示第局从黄盒中抽取的黄色球，的所有可能取值为，根据和分类讨论确定事件，，的情形，求出概率得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】（1）记事件:“甲在第局比赛中获胜”，，事件:“甲在第局比赛中末胜” .
.记事件“甲夺得冠军"，
则.
（2）设甲乙决出冠军共进行了局比赛，易知或.
则，故.
记表示第局从白盒中抽取的白色球，表示第局从黄盒中抽取的黄色球，
的所有可能取值为;
;
;
.
综上可得，的分布列如下:
数学期望为
8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.
【答案】(1)①a=20，平均分74；②；(2)
【分析】（1）①利用样本总量为100求出，从而估计出平均分，②利用分层抽样得到[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，利用列举法求出古典概型的概率；
（2）求出小明考试的考试次数的可能取值及相应的概率，得到考试次数的期望值，列出不等式，求出的取值范围.
【详解】（1）①由题意得：，解得：，
，
②[40，50)， [50，60)， [60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研，
故[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，
设抽取的[40，50)的学生为， [50，60)的学生为， [60，70)的学生为，
这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有，
，
共有21种情况，其中这2人均来自[60，70)的情况有，共6种情况，
所以这2人均来自[60，70)的概率为.
（2）小明考试的次数为2次的概率为，
考试次数为3次的概率为，
考试次数为4次的概率为，
考试次数的期望值为，
所以，解得：，
因为，所以
即的取值范围是.
9．（2022·全国·模拟预测（理））九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”．后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先3局者获胜．若比赛进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了2局，甲同学2局全输．
(1)由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；
(2)设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．
【答案】(1)对乙有利，理由见解析；
(2)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式及互斥概率求法求规则不变或“五局三胜制”情况下甲获胜的概率，判断大小关系，即可得结论.
（2）由题设分析有，求出对应概率，进而写出分布列，并求期望.
【详解】(1)比赛已经进行了2局，甲同学2局全输，
若规则不变，要使甲同学胜出，则第3局甲胜，后4局情况如下：
第4、5局甲乙各胜一局，则第6、7局甲全胜，此情况概率为；
第4、5局甲全胜，则第6、7局甲乙各胜一局或甲全胜，此情况概率为；
综上，甲获胜的概率为，故乙获胜概率为；
若改为“五局三胜制”，要使甲要胜出，后三局必须全胜，
所以甲获胜的概率为，故乙获胜的概率为；
显然，甲获胜的概率变小，而乙获胜概率变大，故对乙有利.
(2)比赛总局数，且，，，
所以的分布列如下：
所以.
10．某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会因为气温骤冷、泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损毁．通常情况下，一把紫砂壶的成品率为，损毁率为．对于烧窑过程中出现的次品，会通过再次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为．已知一把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的整形工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元．
(1)求一把紫砂壶能够对外销售的概率；
(2)某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂壶的最终获利X的数学期望．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）计算出第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率，加上第一次即为正品的概率，求出答案；（2）求出X的可能取值及相应的概率，求出分布列，计算出期望.
【详解】（1）设一把紫砂壶第一次出窑为次品为事件A，则，
则第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率为，
则一把紫砂壶能够对外销售的概率，
（2）X的可能取值为1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550，
-500-50-100-50=-700，
则，，
，，
则X的分布列为：
所以最终获利X的数学期望为：
11．（2022·北京市第五中学三模）2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .
【答案】(1)；
(2)①；②分布列见解析，.
【分析】（1）对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，利用独立重复试验概率即可求解；
（2）采用“5合1检测法”，“某个混合样本呈阴性”仍然属于独立重复试验，可求出该事件的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可求出；此时总检测次数可能为2,7,12，列出分布列，计算数学期望.
【详解】（1）由题意可知，对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有1个阳性样本的概率为：
，
所以
（2）①设“某个混合样本呈阳性”为事件，则表示事件“某个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，．
故
②X的可能取值为2，7，12．
当两个混合样本都呈阴性时，.
当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，．
当两个混合样本都呈阳性时，．
故X的分布列为：
的数学期望，
所以的数学期望为
12．（2022·北京·101中学三模）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．
(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；
(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）．
【答案】(1)见解析，(2)见解析，(3)
【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长”补全折线图
（2）根据题意写出的取值并计算对应的概率，写出分布列即可
（3）根据题意分别计算，直接写出答案即可
【详解】(1)
(2)依题意，的可能取值为
； ；
的分布列为：
的数学期望
(3)
13．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（理））2022年我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．
(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验（即为一人一检），若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
(2)设X为个人一组混合检验时所需要的检验总次数．
①当时，求X的分布列及平均检验次数（不必计算，只列式即可）；
②某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数．并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？（注：感染率，即为每个人受感染的概率；）
【答案】(1)0.243；
(2)①见解析；
②；89900.
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式求概率即可；
（2）①写出所以取值和概率，然后列分布列，求期望即可；
②利用期望来估计总的检测次数，然后再跟100000作差即可.
【详解】（1）设3人中恰好有1人检测结果为阳性为事件，.
（2）①的值可取1，11，
，，
.
②，
所以进行“10合1混采检测”，10万人所需检测的平均次数大概为，
这样混检比一人一检大约少使用份检测试剂.
14．（2022·广东广州·一模）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
【答案】(1)分布列见解析，；(2).
【分析】（1）根据超几何分布列分布列，求解期望；
（2）由二项分布的方差公式求解.
【详解】（1）依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，
所以，1，2，且，
，，
所以的分布列为：
故
（2）由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
15．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的，45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的．
(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；
(2)现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为，求的分布列及数学期望．
附：
，其中．
【答案】(1)完善表格见解析；有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；
(2)分布列见解析，数学期望.
【分析】（1）根据样本总数200，以及所给比例可完善表格，计算卡方，结合临界值进行判断；
（2）先根据分层抽样明确各层人数，然后确定的所有取值，逐个求解概率，写出分布列，计算数学期望.
【详解】（1）
，所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；
（2）由题意知，从45岁及以上的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民6人，一周内健步走的步数少于5万步市民的2人；
从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0,1,2.
，，；
所以分布列为
数学期望.
16．（2022·广西桂林·模拟预测（理））W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品．， ，．
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差．
【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析
(2)数学期望是（元）；方差是
【分析】（1）求出正常产品尺寸范围，再由超出正常范围以外的零件数即可判断生产线有没有正常工作．
（2）记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，求出，因为，由均值和方差的性质即可求出
【详解】（1）依题意，有 ，
所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．
生产线正常工作，次品不能多于，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作．
（2）依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为．
记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，
，
则， ，
所以的数学期望是（元），
方差是．
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
Y
1
5
9
P
0
1
2
3
4
0.1875
0.125
0.1875
0.25
0.25
0
1
2
3
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
80
合计
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
0
1
2
X
1
2
3
分段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
5
10
a
30
a+5
10
3
5
7
950
800
-550
-700
2
7
12
1
11
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
一周内健步走万步
一周内健步走＜5万步
总计
45岁以上（含45岁）
90
45岁以下
总计
0.150
0.100
0.050
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
一周内健步走万步
一周内健步走＜5万步
总计
45岁以上（含45岁）
90
30
120
45岁以下
50
30
80
总计
140
60
200
0
1
2
产品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件数
4
27
27
80
产品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件数
36
20
6