新高考数学二轮复习重难点6-1 空间角与空间距离的求解（8题型+满分技巧+限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向。通常小题及解答题的第2小问考查，难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。
【题型1 几何法求异面直线夹角】
【例1】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体中，连接，
由分别为的中点，得分别为中点，
而分别为的中点，则，，
因此或其补角是异面直线与所成的角，
在中，，则，
所以异面直线与所成角的大小是.故选：C
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，所以，
设，则，可得，
分别取的中点，连接，则，
所以或其补角为异面直线与所成角，
过点作于，连接，
则为中点，与底面垂直，且，
在中，，，
所以，
所以，
所以在中，
所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A .
【变式1-2】（2024·广东·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，因为在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，
故，即四边形为平行四边形，
所以，则即为异面直线与所成角或其补角；
直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为2，
连接，则，而平面，故平面，
平面，故，
是棱的中点，故，则,
而，又，
故在中，,
由于异面直线所成角的范围为大于，小于等于，
故异面直线与所成角的余弦值是，故选：D
【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）已知正方形的边长为2，把沿折起，使点A与点E重合，若三棱锥的外接球球心O到直线的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】易得三棱锥的外接球球心O为的中点，连接，则，
取的中点H，连接，易知，
则为点O到直线的距离，即，
取的中点F，连接，得，
则或其补角是异面直线与所成角．
因为，所以，
则异面直线与所成角的余弦值为，故选：A．
【变式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：正四棱台侧面为等腰梯形，
连接：，，，，，，作，如下图所示，
因为棱台侧面积为，
即：，得：，
所以：侧棱长，
因为：，得：，
又因为：，所以：四边形是平行四边形，
所以：，（或其补角）是异面直线与所成的角，
根据余弦定理可知：，故A项正确.故选：A.
【题型2 向量法求异面直线夹角】
【例2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，
，
异面直线与所成角的正弦值是.故选：A.
【变式2-1】（2023·安徽·高三校联考期末）已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为半圆弧的中点，则，如图，建立空间直角坐标系，
因为，，
为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，
则,，
所以，
设异面直线与所成角的角为，
则，故选：B.
【变式2-2】（2024·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，找底面圆心，作与底面垂直，//，，
故以为原点，建立空间直角坐标系，规定，，
设，，
易知底面圆方程为，则，，
故，，
故，
设到面的距离为，设面的法向量，
故有，，解得，，，
故，由点到平面的距离公式得，
已知四面体的体积为，
故得，解得(负根舍去)，
易得，故，，
，，
设直线与所成角为，故有.故选：D
【变式2-3】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由平面平面，得，
又平面，则平面，
平面，则，
又，平面，
因此平面，而平面，则，
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设，，
由，得，
，
设异面直线与所成角为，
则，
令，则，
显然函数在上单调递增，此时，，
所以异面直线与所成角的余弦值的取值范围为.故选：A
【变式2-4】（2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，交于点O，连接，
以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，
，，
，
，
设异面直线与所成的角为，
则，，
异面直线与所成的角为．故选：C.
【题型3 几何法求直线与平面夹角】
【例3】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，在正方体中，平面，
棱的中点为，则平面，
而平面，故，
则即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为2，则，
则，
故，故选：C
【变式3-1】（2024·山西运城·高三统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题意可知，，
中，根据余弦定理可知，则，
过点作平面，，连结，，连结，
因为平面，平面，所以
，且平面
所以平面，平面，
所以，又因为，所以，
同理，
中，，则，
根据等面积公式，，
所以，，
又，所以，
则，
直线与平面夹角的夹角为，.故选：B
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，
则，，，分别为，，，的中点，
设正方形的边长为，，
所以正方形的面积为，正方形的面积为，
正四棱锥的侧面积为，
四棱台的侧面积为
，
所以正四棱锥的表面积为，
四棱台的表面积为，
所以，解得，
由平面，所以为直线与底面所成角，所以，
又，，
所以.故选：.
【变式3-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由，得，
由平面，平面，则，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知，，
由平面，平面，则，，，
所以，，可得，
设到平面的距离为h，
又，则，可得，
设与平面所成角为，，则.
【变式3-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1），，，
，，平面，平面，
平面，平面平面；
（2）取的中点．连接、，
由（1）知平面，
平面，，
如图，过点作，
，，，，，
，，，
，由勾股定理可知，
，平面，平面，
，为的中点，
，又，，
平面，为直线与平面所成角，
由（1）知，又，，
，，，
则，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【题型4 向量法求直线与平面夹角】
【例4】（2023·福建福州·高三校联考期中）正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，因为四面体体积为，
所以，解得，
建立如图所示空间直角坐标系：
则 ，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设与平面所成的角为 ，
所以，故选：C
【变式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
设，
则,
设平面的法向量为，
则取，则，
所以为平面的一个法向量，
所以
由于，所以，
所以，
因为所以.故选：B
【变式4-2】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，取中点，连接，因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
又面，所以，
又，所以四边形是平行四边形，得到，
又平面，平面，所以平面.
（2）如图，取中点，连接，，则，
因为平面，由（1）知，所以平面，
又，所以，过作，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面，面，所以，
又，，所以面，
又面，所以,
故为二面角的平面角，所以，
又，所以，又，所以，
所以，
则，
设平面的一个法向量为，
则由得到，，
取，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式4-3】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，不妨设，
则，
故，
，
设平面的法向量为，
则，可取，
则，
所以，
当时，，
当时，，
当，即时，，
综上所述，的最小值是.故选：A.
【变式4-4】（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）如图，己知三棱台的高为1，，为的中点，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由，，，
故与全等，故，
又为的中点，故，
又平面平面，平面平面，
且平面，故平面；
（2）连接，由平面，平面，故，
又，为的中点，故，
即、、两两垂直，且，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、，
由三棱台的高为1，故，
故，、，
则，，，
令平面的法向量为，
则有，即，
令，则有、，故，
则有，
故与平面所成角的正弦值为，
即与平面所成角为.
【题型5 几何法求平面与平面夹角】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设二面角为锐角，设的中点为，
因为，所以为的外接圆圆心；设的外接圆圆心为，
三棱锥的外接球球心为，如图，连接，，，，
则平面，平面，，
在中，，，
所以由正弦定理知，所以；
在中，由，得；
在中，由，，得；
在中，，，则；
所以在中，，从而；
在平面内过点作交于，
则为二面角的平面角，易知，
所以.故选：D.
【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 .
【答案】
【解析】取和的中点分别为，，
，分别是，的中点，,,
由于且为正三角形，
，故,
由于，分别是，的中点，因此，故,
由于截面侧面，所以,进而可得,
由于
故为侧面与底面的二面角的平面角，
设， ，，
在直角中，.
【变式5-2】（2024·北京海淀·高三统考期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】连接，相交于点，
则为正方形的中心，故⊥底面，
取的中点，连接，
则，，
故为二面角的平面角，
所以，故，
所以该四棱锥的体积为.故选：C
【变式5-3】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取中点，连接，交平面于点，
由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且，
故为二面角的平面角，
设正三棱锥侧棱长为2，
易得，
则，
在中由余弦定理得.故选：D.
【变式5-4】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，.
（1）证明：；
（2）设直线到平面的距离为，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接，由题设，易知为菱形，故，
由点在平面内的射影D在AC上，则面，
面，则，而，则，
又，面，故面，
面，则，
而，面，则面，
由面，则.
（2）由（1）知面，面，则，
所以是二面角的平面角，
由，面，面，则面，
直线到平面的距离为，即到平面的距离为，
又面，面，则面面，
面，面面，即到的距离为，
由题设，易知，
点在平面内的射影D在线段AC上，则为锐角，
所以，故为等边三角形，即，
所以二面角的大小.
【题型6 向量法求平面与平面夹角】
【例6】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）如图，在三棱锥中，，，平面，平面平面，是的中点.
（1）求证：;
（2）求平面与平面的夹角.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
又平面，平面，所以，
因为，面，所以平面，
由平面，所以.
（2）（向量法）如图，以为原点，及垂直面向上为轴正方向，
建立空间直角坐标系.
所以，
所以，，
易知平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则,
令，所以，则，
所以平面与平面的夹角为.
（几何法）取中点，中点，连结，，，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
由（1）知，平面，平面，所以，
在直角和直角中，
，
所以是等腰三角形，所以，
综上，即为二面角的平面角，
，，，则，
所以为等腰直角三角形，故，
所以平面与平面的夹角为.
【变式6-1】（2024·云南昆明·统考一模）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，.
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．
【解析】（1）因为，是的中点，所以，
在直角中，，，所以，
在中，，，所以，得，
又平面，平面，所以，
又，，所以平面，
由平面得，
又，所以平面，
由平面得，平面平面．
（2）存在点满足条件，
以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由已知得，解得，即，
所以存在点使平面与平面的夹角为，此时．
【变式6-2】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，，点M在棱PC上且．
（1）证明：M为PC的中点；
（2）求平面PBD与平面MDB的夹角．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为平面平面，且平面平面，
根据条件可知，平面，则平面，
且平面，所以，
所以，同理可得，
又因为，所以是等边三角形，
且，所以M是的中点．
（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，
过D垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设为平面的法向量．
因为，可得，
令，则，可得，
设平面的法向量为，
因为，可得，
令，则，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面PBD与平面MDB的夹角.
【变式6-3】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，，为的中点，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接与相交于点，连接，
三棱柱中，侧面是平行四边形，
则为的中点，又为的中点，有，
平面，平面，所以平面；
（2）平面平面，平面平面，
底面为正三角形，为的中点，则，
平面，则平面，
，平面，，，
则二面角的平面角为，
有余弦值为，中，
由余弦定理，
即，解得，
过作直线的垂线，垂足为，则，
故在的延长线上，，
，，，四边形为矩形，
则，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，即，
，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，即，
平面与平面夹角的余弦值为．
【变式6-4】（2024·江苏南通·高三统考期末）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）为底面圆周上一点，
，又，
又为中点，，
又底面，底面，，
又底面，平面．
（2）底面，底面，所以，
又因为，所以以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
，
，
设平面的一个法向量，
由，，取，所以，
而平面的一个法向量，
设二面角平面角为，显然为锐角，．
【题型7 几何法解决空间距离问题】
【例7】（2024·河北·高三校联考期末）已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于平面，
所以平面，平面，
由于，则，
在中，利用余弦定理可得,
所以，
过作的垂线，垂足为，由，平面，
所以平面，
又平面，所以，所以，
不妨设，则，
所以由余弦定理得，，故选：A．
【变式7-1】（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ）
A．1 B． C．1或2 D．2或
【答案】D
【解析】如图，过点作平面于点，则是母线，
连接底面，，
则四边形是平行四边形，，
与所成的角就是或其补角．
当时，是等边三角形，，
在中，；
当时，在中，，
在中，．
综上，或.故选：D．
【变式7-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为 ．
【答案】
【解析】设中点为O，O到平面距离为到平面距离的一半，连接，
设到平面的距离为，
由，即，
，∴O到平面CDE的距离为.
【变式7-3】（2024·陕西·高三校联考开学考试）如图，在三棱台中，，，．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1），，
．
同理,
平面,平面,平面,
（2）平面,平面,
作平面,
到平面的距离中
,
.
【变式7-4】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别取的中点，连接，
根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；
根据题意可知，
而平面，
故平面，又平面，
故平面平面，则平面平面，
作，垂足为S，平面平面，
平面，故平面，
则梯形的高即为平面与平面之间的距离；
，
故，
即平面与平面之间的距离为，故选：B
【题型8 向量法解决空间距离问题】
【例8】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，平面，平面，∴平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，
所在的直线为轴，建立直角坐标系.
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设点到平面的距离为，
则，
故直线到平面的距离为.故选：C.
【变式8-1】（2024·北京昌平·高三统考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
z
因为正方体棱长为1，，
所以，
不妨设，
所以，
而，
所以点到直线的投影数量的绝对值为，
所以点到直线距离
，
等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.故选：C.
【变式8-2】（2023·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）已知四棱台中，底面为正方形，，，，⊥底面．
（1）证明：．
（2）求到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析;（2）
【解析】（1）因为底面，底面，所以，
因为底面为正方形，所以，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以.
（2）如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
则点到平面的距离.
【变式8-3】（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点
（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取中点，连接，如图所示，
为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
（2），易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则有，，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，有，得，，
设点到平面的距离为，
.
【变式8-4】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.
（1）若，求证： ；
（2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面，
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，故；
（2）以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于，，
则，设,则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则可得，
由于直线与平面所成的角为，
故，解得，
结合，则，
故，
由，则，
故点到直线的距离为.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设.可将该四棱锥补成如图所示的长方体：
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，
故表面积为，得，
因为，故或其补角为异面直线与所成的角，
因为平面，平面，得平面平面，
由，得平面，
且平面，故，故为锐角，
又E为的中点，故在中，，
在中，，故.故选：D.
2．（2023·上海虹口·高三校考期中）如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为1，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，，
则，，，，，
，不是定值，故A错；
，不是定值，故B错；
，所以直线与直线所成角为，故C正确；
，不是定值，故D错.故选：C.
3．（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取是的中点，连接，如下图所示：
设三棱柱底面边长为，可得，
由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，
易知，由勾股定理可得，
所以；
即直线与平面所成角的正弦值为.故选：B
4．（2023·山东青岛·高三统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据塹堵的定义，建立以点为原点的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，
所以，所以，
设点到直线的距离为，
所以，解得.故选：B.
5．（2023·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular slid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，不妨记正方体为，，，
故四边形是平行四边形，所以，
又，分别为，的中点，
所以，同理，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，，平面，
所以平面平面，
设对角线分别交平面和平面于点，，
因为平面，平面，所以，
连接，因为分别为的中点，
故，又，平面，，
所以平面，又平面，
所以，同理，
又，，平面，所以平面，
又平面平面，所以平面，
即为平面与平面的距离，则，
由正方体棱长为得，
由题意得，为等边三角形，故，
根据，得，解得，
根据对称性知，
所以，
则平面与平面的距离为．故选：D
6．（2024·山东德州·高三统考期末）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．点到的距离为 B．面与面的距离为
C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为
【答案】AB
【解析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，
对于A，，，
所以点到的距离
，故A正确；
对于B，，
，，
设分别为平面、平面的一个法向量，
所以，令，可得，所以，
，令，可得，所以，
所以，所以平面平面，
可得点到平面的距离即为所求，，
所以点到平面的距离为，故B正确；
对于C，，，
设为平面的一个法向量，
所以，令，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，
因为，所以，故C错误；
对于D，因为平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为，
故D错误.故选：AB.
7．（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．Q到平面的距离为
C．与所成角的取值范围为 D．三棱锥外接球体积的最小值为
【答案】ACD
【解析】A：由题意可知，
且面，面，所以面面，
又因为面，所以平面，故A正确；
B：因为平面，所以Q到平面的距离等于到平面的距离，
以所在直线分别为轴，以为原点建立空间直角坐标系，如图
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，所以，
所以到平面的距离，故B错误；
C：因为，所以与所成的角就是与所成的角，
因为点Q是线段上的动点（不含端点），
所以与所成角的最大值为，
又因为，，
所以，
所以在中，，即为与所成角的最小值，但不能取得，
所以与所成角的取值范围为，故C正确；
D：因为，又是直角三角形，，取的中点，
则，
因为棱锥外接球体积最小，
所以在处，所以，
所以为外接球的球心，所以，
所以，故D正确；故选：ACD
8．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】连接，，，取中点，连接，，
∵四边形，为矩形，∴，，
平面平面，平面，平面，
∴即为二面角的平面角，∴，
又，，∴，∴为等边三角形，∴；
∵，分别为，中点，∴，，
∴（或其补角）即为异面直线与所成角，
∵，∴，
∴，
所以异面直线与所成角的正弦值为．
9．（2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
【答案】
【解析】因为，D分别是，BC的中点，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，
因为为直径，所以，因为，即，
又因为平面，平面，所以，
平面，所以平面，
过点作交于点，
因为平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以为交线l与平面所成角，
因为，，.
所以，结合图知.
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是异面直线与所成的角或其补角，
，
∴异面直线与所成的角为．
（2）∵平面平面，平面平面，
平面平面，
平面，平面，
平面，
平面平面，
又是二面角的平面角．
平面平面，
．
，即二面角的余弦值为．
11．（2024·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考开学考试）如图．在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，面底面，是棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，且二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为侧面底面，侧面底面，
又因为底面为矩形，所以，
又平面，所以平面．
又平面，所以．
又侧面是正三角形，是的中点，所以．
又，，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
（2）如图，过点作，垂足为，易得为的四等分点，．
由于侧面底面，交线为，
所以底面，过作，垂足为，连接，
则即为二面角的平面角，其大小为．
在中，，所以，所以．
因为，，所以四边形为平行四边形，从而．
由（1）知平面，所以为直角三角形，
所以异面直线与所成角即为．
12．（2024·山西临汾·统考一模）如图，在三棱柱中，，，，二面角的大小为.
（1）求四边形的面积；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）在三棱柱中，取的中点，连接，
在中，由，，得，，
在中，由，，得，，
则为二面角的平面角，即，
在中，由余弦定理得，解得，
又，平面，则平面，
而平面，于是，
显然，则，
所以平行四边形的面积.
（2）由（1）知，有，则，
同理，又，，即，则，
以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
假设存在点满足题意，不妨设，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，
则，解得，
此时，
所以存在点满足题意，且的长为.满分技巧
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
满分技巧
异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.
满分技巧
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。
方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，
平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
满分技巧
直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.
满分技巧
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角
2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
满分技巧
平面与平面的夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.
满分技巧
点面距的求解方法
1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
满分技巧
点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。