新高考数学二轮复习解答题专项突破练习考点09 数字特征与概率的计算问题（2份，原卷版+解析版）

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概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。例如：2021年全国高考甲卷（文）、（理）[17]，2022年全国新高考卷Ⅰ[20]，2022年全国乙卷（文）、（理）[19]，2022年全国甲卷（文）[17]等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。
〔1〕样本的数字特征：
1.众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或者最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数.
平均数：.
2.样本方差、样本标准差
标准差，其中是样本数据的第i项，n是样本容量，是平均数。标准差是反映数据总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方。
3.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积就是数据在对应区间的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础.准确理解频率分布直方图的特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组对应的频率除以组距，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆。
〔2〕概率计算：
1.古典概型：
2.互斥事件与对立事件：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1。
3.相互独立事件：若事件A与事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
4.条件概率问题的解题步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在······条件下”“在······前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响所求事件发生的概率时，也需注意是否为条件概率。第二步，利用公式计算概率，若事件A与事件B相互独立，且P(A)>0，则P(B|A)=P(B)。
5.全概率公式：，，，……，是一组两两互斥的事件，∪∪……∪=，且，i=1，2，……，n，则对任意的事件B⊆Ω，有。
例1．（2022年全国乙卷（文）、（理）·19）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
例2．（2022·全国·高考甲卷（文）·17）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
1．（2022·广西·模拟预测（理））某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生200人.为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.
(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.
参考公式：，其中.
2．（2022·四川雅安·模拟预测（文））某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
(2)事先在本次体测等级为“优秀”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了6人．若从这6人中随机抽取2人对其体测指标进一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．
附表及公式：
其中，．
3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））年月日，我国发表了《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书提到占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提前年实现减贫目标，为了巩固脱贫成果，哈尔滨市某地区积极引导人们种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售，已知这种袋装中药的质量以某项指标值为衡量标准，值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如表所示；
该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了袋，测量了每袋中药成品的值，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)视频率为概率，求该药材加工厂所生产的袋装中药成品的质量指标值的平均数同一组中的数据用该组区间中点值作代表；
(2)现从质量指标值为到中分层抽取袋，某人在袋中抽取袋，已知其中一袋在指标值为到内的条件下，求另一袋指标值在到内的概率；
(3)假定该中药加工厂一年的袋装中药的产量为万袋，且全部都能销售出去，若每袋袋装中药的成本为元，工厂的设备投资为万元，问：该中药加工厂是否有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资？并说明理由．
4．（2022·广西·模拟预测（文））某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解“双减”工作的实际效果，在该校1200名学生中随机抽取了100名小学生，调查他们周末完成作业的时间（以下简称作业时间，单位：)，将统计数据按[0，0.5)，[0.5，1)，，[4，4.5]分组，得到如图所示的频率分布直方图，
(1)求直方图中的值；
(2)估计全校学生作业时间不低于2的人数；
(3)按照分层抽样的方法，从全校学生作业时间不低于2和低于2的学生中抽取5人组成核心素养考察团，若从考察团中选取2人作为团长和副团长求这2人都来自作业时间低于2的学生的概率．
5．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为200的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高二年级共有学生840人，高三年级共有960人，抽取的样本中高一年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.
(1)求该校高一学生的总数；
(2)求频率分布表中实数m，n，s的值；
(3)已知日睡眠时间在区间内的6名高一学生中，有2名女生，4名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.
6．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.
7．第六届遵义冬至羊肉粉旅游文化美食节于2021年12月18日至23日在凤凰山文化广场举办，本次活动旨在从地本产业特色，历史文化、消费习惯出发，打造商旅文体、吃住行娱尝试融合的消费场景，活动组委会随机邀请100位市民，均分为A、B两个评委组，分别对甲、乙两店羊肉粉进行品尝评分（满分100分，分数越高表示越受欢迎），A、B两组的评分结果如下：
(1)若以50名市民评分的平均值为作评判依据，甲、乙两店羊肉粉哪家更受欢迎？
(2)采用分层抽样的方法，从A组评分在区间[80，84）和[96，100]的市民中抽取5人，再从这5人中抽取2人对甲店羊肉粉的优缺点进行总结，求这两人的评分在同一区间的概率.
8．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模（文））今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒提前做出防控部署．同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5—21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染猴痘病毒的比例较大．对该国家200个密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)现从样本中结束医学观察后未感染猴痘病毒的密切接触者中，按照是否接种过天花疫苗分层抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人都接种过天花疫苗的概率．
附：，其中．
9．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，年有名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩．笔试成绩高于分的学生进入面试环节．
(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取人，求这人中至少有一人进入面试的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若，则，，，．
10．（2022·四川广安·模拟预测（理））近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从80后和90后的员工中随机调查了200位，得到数据如下表：
(1)根据调查的数据，是否有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；
(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的80后、90后员工参加.80后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；90后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y，求的概率.
参考数据：
（参考公式：，其中）
11．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））某公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，），满足电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．
(1)已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
(2)若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望．
12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））随着日益增长的市场需求，某公司最初设计的生产能力已不能满足生产的需求，公司新安装了A，B两条生产线．在生产线试运行阶段，为检测生产线生产的产品的合格率，对两条生产线生产的产品采取不同的方式进行检测．其中A生产线生产的产品分三次随机抽检，经统计，第一次抽取了30件产品，合格率为，第二次抽取了40件，合格率为，第三次抽取了30件产品，合格率为；对B生产线生产的产品随机抽取了100件，并测量了每件产品的某项指标值．经统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知产品的质量以该项指标值为衡量标准，且指标值时为合格产品．两条生产线之间生产的产品及各生产线上生产的产品合格与否相互独立．
(1)估计A，B两条生产线在试运行阶段产品的合格率．
(2)以（1）中的估计值为A，B两条生产线试运行阶段生产的产品的合格率．在A，B两条生产线生产的产品中各随机抽取2件产品，记合格产品的个数和为X．若其中至少有3件产品合格，则可判定两条生产线生产状况安全稳定．
（i）求；
（ii）求可判定两条生产线生产状况稳定的概率．
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
良好及以下
优秀
合计
男
450
200
650
女
150
100
250
合计
600
300
900
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
质量指标值

等级
三级
二级
一级
优级
出厂价（元/袋）
分组
频数
频率
m
n
6
0.12
8
0.16
s
0.24
11
0.22
9
0.18
合计
50
1
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗
30
60
接种天花疫苗
20
90
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
愿意被外派
不愿意被外派
合计
80后
40
40
80
90后
80
40
120
合计
120
80
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879