新高考数学二轮复习解答题专项突破练习考点06 空间几何体的有关计算问题（2份，原卷版+解析版）

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〔1〕求空间几何体的表面积
(1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.
(2)求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的长度关系.
(3)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
〔2〕求空间几何体的体积
1.直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.
2.割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，把不规则的几何体补成规则的几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，再进行计算.
3.等体积法：选择合适的底面求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换.
例1．（2022·全国·高考乙卷（文）·18）如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明详见解析，(2)
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.
[方法二]：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，
连接
例2．（2022·全国·高考甲卷（文）·18）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
【详解】（1）如图所示：
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：
连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积
1．（2022·广西南宁·模拟预测（文））如图所示，在空间几何体ABCDE中，△ABC与△ECD均为等边三角形，，，且平面ABC和平面CDE均与平面BCD垂直．
(1)求证：平面ABC平面ECD；
(2)求空间几何体ABCDE的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由几何关系证，由平面CDE平面BCD证BC平面CDE，再证平面ABC平面ECD；
（2）如图所示，取BC、CD、BD的中点M、N、，连接并延长使得，连接、，
证明及空间几何体为三棱柱，则空间几何体ABCDE的体积与三棱柱的体积相等，由几何关系求三棱柱体积即可
【详解】（1）证明：∵△ABC与△ECD均为等边三角形，，，∴，∴为等腰直角三角形，.
∵平面CDE平面BCD，平面CDE平面BCD，平面BCD，∴BC平面CDE，
又平面ABC，∴平面ABC平面ECD；
（2）如图所示，取BC、CD、BD的中点M、N、，连并延长使得，连接、，
则，，，
∵△ABC与△ECD均为等边三角形，∴AM⊥BC，EN⊥CD，∴，
又平面CDE平面BCD，平面ABC 平面BCD，平面BCD，平面ABC，∴AM⊥平面BCD，EN⊥平面BCD，∴，
∴四边形AMNE为平行四边形，又四边形为平行四边形，故，，∴空间几何体为三棱柱，
∴，故，∴，∴空间几何体ABCDE的体积与三棱柱的体积相等，
由，故空间几何体ABCDE的体积为.
2．（2022·广西·模拟预测（文））如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且．
(1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)点位于的中点位置，理由见解析；(2).
【分析】（1）作出辅助线，得到四棱柱为长方体，利用中位线得到线线平行，得到棱与平面的交点的位置为的中点；
（2）利用等体积法求解点到平面的距离.
【详解】（1）延长至点F，且DF=CD，延长至点H，使得，连接FH，交于点Q，
因为四棱柱中，底面是等腰梯形，，
所以四棱柱为长方体，，且为的中点，
取的中点E，连接ED，则，
所以，
故棱与平面的交点的位置为的中点；
（2）取AB的中点M，连接DM，
因为,,
故△ADM为等边三角形，
所以，
因为侧棱⊥底面且，平面，
所以，
由勾股定理得：，
由余弦定理得：，
其中，
，
由余弦定理得：，
因为，
所以，
由三角形面积公式可知：，
设点到平面的距离为，
因为，即，
，解得：，
所以点到平面的距离为.
3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M与平面α、平面β的交线分别为圆A、圆B．
(1)若平面γ与平面α、平面β的交线分别为，，证明：；
(2)若球面M的半径为2，求以圆A为上底面，圆B为下底面的几何体AB的体积的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由面面平行的性质定理可证；
（2）设，由几何关系可表示出，，根据圆台体积公式结合均值不等式讨论最大值即可
【详解】（1）∵，平面γ与平面α、平面β的交线分别为，，则由面面平行的性质定理得；
（2）∵，几何体AB为圆台或圆柱.
如图所示，C、D分别为圆A、圆B上的点，则，平面α、平面β，
又∵，∴，则过M，，
设，则，，
则
当时，等号成立，同时取得最大值为.
故几何体AB的体积的最大值为.
4．（2022·四川省南充市高坪中学模拟预测（文））一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为
(1)证明:直线平面.
(2)过点的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比.
【答案】(1)证明见解析；(2)3:1
【分析】（1）连接，设为的中点，连接，可得四边形是平行四边形，得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论
（2）由∥，，连接，过点的平面就是平面，它将正方体分成两个同高的棱柱，高都是，底面分别是四边形和三角形，体积比等于底面积比
【详解】（1）根据正方体侧面展开图的特点，点F，G，H的位置如图所示
连接，设为的中点，连接，
因为BC的中点为M，GH的中点为N，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四边形是平行四边形，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面
（2）由（1）知∥，，连接，则过点的平面就是平面，
它将正方体分成两个同高的棱柱，高都是，底面分别是四边形和三角形，
设正方体的棱长为2，则四边形的面积为，三角形的面积为，
所以过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分的体积比为3：1
5．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，且.
(1)证明：平面；
(2)求四面体的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得平面，平面，再由面面平行的判定可得平面平面，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在取点使得，连结，则可得四边形是平行四边形，再结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，由线面平行的判定可得结论；
（2）由求解，根据已知条件求出和，从而可求出其体积.
【详解】（1）证明：
方法一：
由正方形的性质得：∥.
又平面平面，
平面.
平面平面，
平面.
平面，
平面平面，
平面，
平面，
方法二：
在取点使得，连结，如图
，
四边形是平行四边形，
故，且，
又，
，
四边形是平行四边形，
.
又平面平面，
平面，
（2）由体积的性质知：，
平面平面，平面平面，
平面，
平面.
又，
故点到平面的距离为2，即三棱锥底面上的高，
由题意，知且，
，
6．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））如图，在直三棱柱中，点为的中点，点在上，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且三棱锥的体积为，求.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）易证，，可证平面，进而可证平面平面；
（2）设，求得， 即得解.
【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，，
点为的中点，，，，，
，平面，
平面，
平面，平面平面.
（2）解：，为正三角形，设，则，
由（1）可得，平面，
依题意得，故点到平面的距离为，
，，
三棱锥的体积为，，，∴.
7．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求几何体的体积
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）只须证明平面与平面构成二面角的平面角为即可；
（2）将几何体分割成两部分，分别求体积即可．
【详解】（1）证明：因为是边长为2的菱形，，
所以和都是边长为2的正三角形，
因为平面，所以、，
又因为与平面所成的角为，所以，所以，
取中点，连接、，
又因为，，所以四边形为矩形，于是平面，，，
又因为，取中点，连接、，
因为，所以，
因为，所以，所以为平面与平面构成二面角的平面角，
又因为，，，
所以，所以，
所以平面平面．
（2）解：因为平面平面
所以平面平面
设的中点，连接，有
因为平面平面
所以面，即是四棱锥B-CDEF的高
易求
所以
8．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求：
(1)该圆锥的表面积；
(2)直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）求出圆锥母线长，求得圆锥侧面积，即可求得答案；
（2）作辅助线，找到直线与平面所成角，解直角三角形可得答案.
【详解】（1）由已知，得OA=2，PO=6，则 ,
所以圆锥的侧面积为，
于是圆锥的表面积为 ,
即所求圆锥的表面积为．
（2）连接OD,由题意得平面，因为平面，
所以．又因为点是底面直径所对弧的中点，所以．
而 、平面，，所以平面,
即是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角．
在中，，，
则 ，由于为锐角，所以 ,
因此直线与平面所成角的大小为．
9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明平面，再利用面面垂直判定定理证明平面平面；
（2）先求得三棱锥的体积，再利用三棱柱的结构特征，进而可求得三棱锥体积．
【详解】（1）连接.
三棱柱中，，．
则，
则，则，∴，
又∵，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴ ，
又由（1）知平面平面，平面平面
则平面，且．
则三棱锥的体积为，
则三棱柱的体积为6，
∵，∴在四边形中，，
又∵四棱锥的体积为，
∴三棱锥的体积为．
10．（2022·上海青浦·二模）如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，是弧的中点．
(1)求该圆柱的表面积和体积；
(2)求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1)表面积为，体积为.(2)
【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和体积公式可求出结果；
（2）根据，得到或其补角是直线与所成角，取弧的中点，连接、、，求出，进一步可得.
【详解】（1）由已知可得圆柱的底面半径，高，

，
（2），
∴或其补角是直线与所成角，
取弧的中点，连接、、，
，
在中，，
∴.
所以异面直线与所成角的大小为.
11．（2022·上海长宁·二模）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线的长为．
(1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积
(2)是底面圆周上的两个点，， 为线段的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式求出底面半径，即可求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算可得；
（2）设的中点为，连接、，即可得到，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即是直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得．
【详解】（1）解：设圆锥的底面半径为，侧面母线长为，圆锥的高为，
则，
因为，所以，
所以，
所以圆锥的体积．
（2）解：设的中点为，连接、，则，
因为，所以，
因为底面，底面，所以，
由，平面，
所以平面，
所以即是直线与平面所成角． ．
因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高，
所以，．
因为，
所以，所以．
即直线与平面所成角为．
12．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若点在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据四棱柱中的平行关系以及中点,可得线线平行,根据线线平行证明线面平行,进而可证明面面平行.（2）可由四棱柱的体积,可得同底等高的三棱锥的体积,然后根据三棱锥中等体积法即可求解.
【详解】（1）证明：连接EG，.
因为E，G分别是棱，的中点，所以，.
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
因为E，F分别是棱，的中点，所以.
因为，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，且，
所以平面平面.
（2）连接AC，BD，记，连接，则平面ABCD.
因为，所以，所以.
因为，所以，
则四棱柱的体积.
故三棱锥的体积，
即三棱锥的体积为.