新高考数学二轮复习解答题专项突破练习考点04 数列的求和问题（2份，原卷版+解析版）

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数列的求和问题，是近几年高考的高频考点也是高考的重点，在近几年的高考中无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。例如：2020年天津高考[19]，2020年全国新课标Ⅰ、Ⅲ卷（理）[17],2021年天津高考[19]，2021年全国乙卷（文）[19]，2022年浙江高考[20]等都对数列的求和问题进行了考查。
〔1〕等差、等比数列的求和公式
（1）等差数列：①；②；③（其中）。
（2）等比数列：①②；③。
〔2〕常见的数列求和公式
①；
②；
③。
〔3〕常见的裂项形式
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
例1．（2022·浙江·高考·20）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
例2．（2021·天津·高考·19）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
1．（2022·辽宁鞍山·一模）已知等差数列满足首项为的值，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
2．（2022·湖南永州·一模）已知数列满足：，且.
(1)若数列为等比数列，公比为，求的通项公式；
(2)若数列为等差数列，，求的前项和.
3．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列各项均为正数，且
(1)求的通项公式；
(2)设，求．
4．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.
5．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列中，，是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式：
(2)证明：.
6．（2022·湖南·雅礼中学一模）设数列的前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的表达式．
7．（2022·广西·模拟预测（理））设数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
8．（2022·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
9．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知数列满足：．
(1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式．
(2)若，证明：．
10．（2022·山东济南·模拟预测）已知正项数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
11．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求正整数的值；
(3)记，求数列的前项和．
12．（2022·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．