新高考数学二轮复习解答题专项突破练习考点07 空间中线面的位置关系的判断与证明（2份，原卷版+解析版）

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立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。例如：2022年全国乙卷（理）[18]，2022年全国乙卷（文）[18]，2022年全国甲卷（文）[19]，2022年全国甲卷（理）[18]，2022年浙江高考[19]，2022年新高考Ⅱ卷[20]，2022年北京高考[17]等都对空间几何体的体积进行了考查。
〔1〕空间直线、平面的平行关系
1.证明空间两直线平行的3种常用方法
(1)利用平行公理；
(2)利用直线与平面平行的性质定理；
(3)利用平面与平面平行的性质定理.
2.证明直线与平面平行的4种常用方法：
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(，，⇒)；
(3)利用面面平行的性质定理(，⇒)；
(4)利用面面平行的性质(，，，⇒)。
3.证明平面与平面平行的4种常用方法：
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）.
〔2〕空间直线、平面的垂直关系
1.证明直线与平面垂直的4种常用方法
(1)线面垂直的判定定理：，，，，。
(2)面面垂直的性质定理：，，，⇒。
(3)性质：①，⇒；②，⇒。
2.证明平面与平面垂直2种常用方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题。
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决。
〔3〕向量法证平行
1.线线平行：设直线,的方向向量分别是、,则要证明,只需证明，即.
2.线面平行
(1)设直线的方向向量为,平面的法向量为,要证明,只需证明⊥,即·=0.
(2)根据线面平行的判定定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,可以证明该直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量平行.
(3)要证明一条直线和一个平面平行,可证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
3.面面平行：证明两平面的法向量为共线向量.
〔4〕向量法证垂直
1.线线垂直：设直线,的方向向量分别为、,则要证明,只需证明⊥,即·=0.
2.线面垂直：设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明//.
3.面面垂直：要证明两个平面垂直，只需证明两个平面的法向量互相垂直.
例1．（2022·全国·高考乙卷（理）·18）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
例2．（2022·浙江·高考·19）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
1．（2022·广西北海·一模（理））如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
2．（2022·广西北海·一模（文））如图，在直棱柱中，底面四边形为边长为的菱形，，E为AB的中点，F为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若点P为线段上的动点，求点P到平面的距离.
3．（2022·甘肃·模拟预测）如图,在三棱台DEF－ABC中,AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点．
(1)求证：平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF＝DE, ∠BAC＝45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．
4．（2022·四川雅安·模拟预测（文））如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，满足，如图②所示．
(1)若H为PC上靠近P的一个三等分点，求证：直线平面PBE；
(2)求四棱锥的体积．
5．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．
6．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））如图，已知直三棱柱的底面是正三角形，为的中点，点分别为的中点，过点的平面交于点 ，交于点.
(1)证明：平面平面 ；
(2)若，求的面积.
7．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模（文））如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是的中点．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
8．（2022·北京·北大附中三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
9．已知三棱锥中，，为等边三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若三棱维的体积为，求a的值.
10．（2022·四川·模拟预测（文））如图， 在多面体中， 平面， 四边形是平行四边形.为的中点.
(1)证明: 平面.
(2)若是棱上一点， 且， 求点到平面的距离.
11．（2022·广东广州·一模）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，
(1)证明：平面平面；
(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.
12．（2022·广西·模拟预测（文））如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若点到平面的距离为，求.
13．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在直三棱柱中，为棱上靠近的三等分点，为棱的中点，点在棱上，且直线平面.
(1)求的长;
(2)求点到平面的距离.
14．（2022·江西南昌·模拟预测（文））如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.
(1)求证：；
(2)若，求四面体的体积.