高中数学条件概率与全概率公式第1课时同步练习题

这是一份高中数学条件概率与全概率公式第1课时同步练习题，共6页。
1．已知A与B是两个事件，P(B)＝eq \f(1,4)，P(AB)＝eq \f(1,8)，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,2)
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学不放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．1
3．在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A.eq \f(1,3)，eq \f(2,5) B.eq \f(2,3)，eq \f(2,5)
C.eq \f(2,3)，eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)，eq \f(3,5)
5．袋子中有5个大小和质地完全相同的球，其中2个红球，3个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知第一次摸到的是红球，那么第二次摸到绿球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(6,25) C.eq \f(3,5) D.eq \f(3,4)
6．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1 000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为( )
A．0.324 B．0.39 C．0.4 D．0.54
7．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为________．
8．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地激发了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为________．
9．已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个．
(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率．
10．盒内装有两种(E型和F型玻璃球)除颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
11．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是eq \f(1,2)，连续二次遇到红灯的概率是eq \f(1,5)，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(7,10)
12．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)等于( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(13,40) C.eq \f(13,45) D.eq \f(3,4)
13．如图，地面上现有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,7)
14．2022年6月3日是中国的传统节日“端午节”，这天人们会吃粽子、赛龙舟．现有七个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)＝________.
15．某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有四个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，同时有4个需要帮助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件A＝“4个志愿者小组去的养老院各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个养老院”，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
16．盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色．假设是红色，那么剩下的一面也是红色的概率是多少？
考察下面的解法：
随意从三张卡片中抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的这张展示的一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是eq \f(1,2).
好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是eq \f(1,2).所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是eq \f(1,2).这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是eq \f(1,2).
肯定什么地方出错了．
请问：上述解法中，哪里出现错误呢？
参考答案与详细解析
1．D [由条件概率的计算公式，可得
P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(1,8),\f(1,4))＝eq \f(1,2).]
2．B [因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是eq \f(1,3).]
3．A [设事件A为“数学不及格”，事件B为“语文不及格”，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.03,0.15)＝0.2.所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2.]
4．C [P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(0.12,0.18)＝eq \f(2,3)，
P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.12,0.2)＝eq \f(3,5).]
5．D [已知第一次摸到的是红球，则还有4个球，其中1个红球，3个绿球，那么第二次摸到绿球的概率为eq \f(3,4).]
6．C [设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1 000次”，则P(A)＝90%＝0.9，P(AB)＝36%＝0.36，所以若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.36,0.9)＝0.4.]
7.eq \f(2,3)
解析 设事件A为“猫的寿命超过10岁”，事件B为“猫的寿命超过12岁”．
依题意有P(A)＝0.9，P(B)＝P(B∩A)＝0.6，
则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为
P(B|A)＝eq \f(PB∩A,PA)＝eq \f(0.6,0.9)＝eq \f(2,3).
8.eq \f(3,5)
解析 设“甲同学被选出”记为事件A，“乙同学被选出”记为事件B，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).
9．解 (1)两次都取得白球的概率P＝eq \f(2,6)×eq \f(2,6)＝eq \f(1,9).
(2)记事件A为“第一次取出的是红球”，
事件B为“第二次取出的是红球”，
则P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，P(AB)＝eq \f(4×3,6×5)＝eq \f(2,5)，
利用条件概率的计算公式，
可得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,2)＝eq \f(3,5).
10．解 由题意得球的分布如下：
设A表示“取得蓝色玻璃球”，B表示“取得E型玻璃球”，则AB表示“取得蓝色E型玻璃球”．
方法一 因为P(A)＝eq \f(11,16)，P(AB)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,4),\f(11,16))＝eq \f(4,11).
方法二 因为n(A)＝11，n(AB)＝4，
所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(4,11).
11．C [设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件A，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(1,5)，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq \f(2,5).]
12．B [由题意得P(A)＝eq \f(5,9)，
事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”，
若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；
若第一次取到的为1,5,7，第二次有3种情况，
故共有2×2＋3×3＝13(个)样本点，
则P(AB)＝eq \f(13,9×8)＝eq \f(13,72)，
由条件概率的定义，得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(13,40).]
13．D [设“他在8号位置停留”为事件A，“恰好已经投掷了四次硬币”为事件B，
事件A：投掷三次，一个正面两个反面，或者投掷四次全部为正面，
事件AB：投掷四次全部为正面．
则所求为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4)＝eq \f(1,7).]
14.eq \f(2,3)
解析 由题意，可知P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,3)＋C\\al(2,4))＝eq \f(2,3).
15．A [由题意P(A)＝eq \f(A\\al(4,4),44)，P(AB)＝P(A)，
P(B)＝eq \f(4×33,44)，
∴P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(A\\al(4,4),44),\f(4×33,44))＝eq \f(2,9).]
16．解 没有考虑到已经抽出并展示出抽出的这张的一面为红色或黑色，即题目属于条件概率，我们以抽出的这张展示的一面是红色为例，正确的方法是：设抽出的这张展示的一面是红色为事件A，抽出的卡片两面全是红色为事件B，如果展示的一面是红色，且这张卡片是两面全是红色的那张为事件AB，因为P(A)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(1,3)，由条件概率可得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(2,3)，当然抽出的这张展示的一面是黑色也是如此，概率为eq \f(2,3).
E型玻璃球
F型玻璃球
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16