苏科版（2024）七年级下册（2024）轴对称精练

这是一份苏科版（2024）七年级下册（2024）轴对称精练，共42页。
第一部分：夯实基础
选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求）
1．（24-25八年级上·福建福州·期末）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
5．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，把长方形沿折叠后，点落在点处，交于点E，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．如图，已知点A关于直线l的对称点为，与直线l相交于点，与直线l相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为（ ）
A．点处B．点处C．点处D．点处
7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
8．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）

A．76°B．84°C．96°D．109°
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）．
10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ．
11．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是直角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，已知，则 ．
12．（24-25七年级上·山东日照·期末）如图，把一长方形纸片的一角沿折叠，点的对应点落在内部．若，且，则的度数为 ．
13．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知与关于直线对称，与关于直线对称，点A，D，C在同一条直线上，则 ．
14．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ．

三、解答题（本大题共4小题，共28分）
15．（本小题满分8分）（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数；
（3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
16．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为_______．
17．（本小题满分10分）（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
18．（本小题满分10分）（23-24七年级上·安徽合肥·期末）材料阅读：美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏，我们知道：长方形的四个角大小都是，通过折叠我们可以在折痕的另一侧，得到一个和原来的角大小相等的新角．现在将长方形卡纸沿着线段折叠，如图1，点C落在了处．
通过上面的介绍，我们很容易发现：新角和原来的角相等，新角和原来的角也相等．请依据上述材料回答下列问题：
（1）如图1，若，求．
（2）如图2，若沿着再次折叠卡纸，点A恰好落在上的处，求．
（3）如图3，与交于点N，沿着再次折叠卡纸，点A落在了M处，若，求．
第二部分：培优拓展
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
19．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ．
20．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，中， ， 点是边上一点，在边上各找一点，当周长最短时，的度数是 ．
21．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，四边形为正方形，，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，在此翻折过程中，通过调整动点，的相对位置使得直线始终经过点，则点到距离的最大值为 ．
22．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在、处，且经过点B，交BC于点G，连结，平分．若，，则的度数是 ．
23．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2． 将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点 与点 重合，并把 点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为 ．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）
24．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
25．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）在中，，、、边的长分别记为a、b、c，点E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），连结．已知．．
（1）求点C到直线的距离．
（2）线段将分为和，若这两个三角形的周长相等，求的长．
（3）将沿直线折叠，使点C恰好落在边上的点处，求此时的长．
26．（本小题满分10分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，直线l分别与直线、相交于点E、F，．点P是射线上的一个动点，点P、E不共点，连结．点N与点E关于直线对称．

（1）当直线l与直线所夹的角时．
①当的角平分线恰好是时，请求出的度数；
②若点N恰好落在直线上，试求出的度数；
（2）当时，试求出的度数．
27．（本小题满分12分）（23-24七年级上·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．

（1）如图1，当时，求的度数．
（2）如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由．
（3）在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
第三部分：链接中考
28．（本小题满分5分）28．（2024·四川巴中·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
29．（本小题满分5分）（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
30．（本小题满分10分）（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1 图2 图3
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
答案与解析
本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分.
第一部分：夯实基础
选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求）
1．（24-25八年级上·福建福州·期末）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质即可得线段、、都被直线垂直平分，进而可得答案．
解：∵点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，
∴线段、、都被直线垂直平分．
故选：B．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出的长，即可得出结果．
解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故选：C．
4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断．
解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
该球最后落入2号袋．
故选：B．
5．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，把长方形沿折叠后，点落在点处，交于点E，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．由折叠的性质得，，得到，由长方形可得，再利用平行线的性质即可得出答案．
解：由折叠的性质得，，
，
长方形，
，
．
故选：C．
6．（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．如图，已知点A关于直线l的对称点为，与直线l相交于点，与直线l相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为（ ）
A．点处B．点处C．点处D．点处
【答案】B
【分析】本题考查轴对称求最短距离，连接，则，则，根据两点之间线段最短可知，此时点到A、B的距离最小．
解：连接，
有题意可知，，
∴，根据两点之间线段最短可知，此时点到A、B的距离最小，
故选：B．
7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的特征，画轴对称图形,根据轴对称图形的特征逐步推理是解题的关键．从第4个图开始，根据轴对称图形的特征进行倒推，一直倒推到第一个图，即可判断答案．
解：从第4个图反过来推得第三个图为：
再推得第二个图为：
最后推得第一个图为：
故选：B．
8．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）

A．76°B．84°C．96°D．109°
【答案】A
【分析】本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值．
解：如图，延长至，使，

延长至，使，
则垂直平分，垂直平分，
，，
根据两点之间，线段最短，
当，，，四点在一条直线时，最小，
则的值最小，
即的周长最小，
，，
可设，，
在中，，
，，
，
故选：A．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是熟记对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线以及轴对称的对应线段或对应线段的延长线相交，交点在对称轴上．
解：由题意可知，与关于直线成轴对称，
，点在直线上，直线，，
即正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质可得，即可求解．
解：依题意，，
故答案为：．
11．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是直角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算．掌握折叠的性质是解题关键．根据折叠求出，根据，求解即可．
解：∵将折叠，使射线和射线重合，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．（24-25七年级上·山东日照·期末）如图，把一长方形纸片的一角沿折叠，点的对应点落在内部．若，且，则的度数为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了折叠的性质，一元一次方程的应用．设，则，根据折叠的性质列式，解之可得答案．
解：设，则，
，，，
，
，
，
故答案为：40．
13．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知与关于直线对称，与关于直线对称，点A，D，C在同一条直线上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，由轴对称的性质可知，，结合平角及三角形的内角和定理即可求解，理解并掌握轴对称的性质是解决问题的关键．
解：由轴对称可知，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
14．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，
先根据折叠的性质得，再根据正方形的性质得，即可得出答案．
解：根据折叠的性质得．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共4小题，共28分）
15．（本小题满分8分）（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数；
（3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
【答案】（1）BF＝3cm；（2）∠CAD＝18°；（3）直线MN垂直平分线段EC
【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可；
（2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可；
（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．
解：（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC﹣FC＝3cm．
（2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．
（3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，
∵E，C关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段EC．
【点拨】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为_______．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键．
（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长．
解：（1）解：点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
∵，
；
（2）解：点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
，
，
即的周长为4．
故答案为：4
17．（本小题满分10分）（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）的最小值为
【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小；
本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型
解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
18．（本小题满分10分）（23-24七年级上·安徽合肥·期末）材料阅读：美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏，我们知道：长方形的四个角大小都是，通过折叠我们可以在折痕的另一侧，得到一个和原来的角大小相等的新角．现在将长方形卡纸沿着线段折叠，如图1，点C落在了处．
通过上面的介绍，我们很容易发现：新角和原来的角相等，新角和原来的角也相等．请依据上述材料回答下列问题：
（1）如图1，若，求．
（2）如图2，若沿着再次折叠卡纸，点A恰好落在上的处，求．
（3）如图3，与交于点N，沿着再次折叠卡纸，点A落在了M处，若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查直角和角度之间的和差关系，
根据题意得，结合直角和角度之间关系即可求得答案；
由题意得和，结合直角和角度之间关系即可求得答案；
由题意得和，利用直角可得，结合即可求得答．
解：（1）解：由题意得，
∵，，
∴；
（2）由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）由题意得，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
第二部分：培优拓展
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
19．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定、的位置．过的作关于的对称点，作于，交于，此时最短，即可求得的度数．
解：过的作关于的对称点，作于，交于，此时，根据点到直线的距离最短可知最短，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
20．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，中， ， 点是边上一点，在边上各找一点，当周长最短时，的度数是 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查利用轴对称确定线段和的最小值．作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最短，进行求解即可．
解：作点关于的对称点， 则：，，
∴，
∵的周长为，
∴当四点共线时，的周长最短，
连接，交于点，此时的周长最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
21．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，四边形为正方形，，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，在此翻折过程中，通过调整动点，的相对位置使得直线始终经过点，则点到距离的最大值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了折叠的性质．当取得最大值时，点到距离的最大，据此求解即可．
解：由题意得，点到距离的最大，由需取得最大值，
∴当点与点重合时，取得最大值，
∴点到距离的最大值为12，
故答案为：12．
22．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在、处，且经过点B，交BC于点G，连结，平分．若，，则的度数是 ．
【答案】130
【分析】设，根据角平分线的定义以及平角的定义推出，再由折叠的性质得出，根据，得，最后根据，即可求解．
解：设，
∵平分，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：130．
【点拨】本题主要考查了图形的折叠及其性质，角平分线的定义，平行线的性质，准确识图，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
23．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2． 将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点 与点 重合，并把 点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为 ．
【答案】2或/6或2
【分析】本题主要考查了线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键．根据条件得到，分两种情况：当时以及当时讨论即可．
解：，细线剪开后分成三段，
，
当时，，
，
，
，
，
；
当时，，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）
24．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
【答案】详见分析
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．
解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，
∴，，
∴，
根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为，
∴所走路线即为．
25．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）在中，，、、边的长分别记为a、b、c，点E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），连结．已知．．
（1）求点C到直线的距离．
（2）线段将分为和，若这两个三角形的周长相等，求的长．
（3）将沿直线折叠，使点C恰好落在边上的点处，求此时的长．
【答案】（1）；（2）6；（3）3
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，一元一次方程的应用，以及折叠的性质．
（1）利用三角形等面积法即可求解．
（2）设，则，根据线段把分成两个周长相等的三角形和，列出关于x的一元一次方程求解即可．
（3）设．由折叠的性质可得出，，根据列出关于m的一元一次方程求解即可．
解：（1）解：过C点作交与点D．如下图：

在中，
∴，
即，
∴
∴点C到直线的距离为．
（2）设，则，
∵线段把分成两个周长相等的三角形和，
∴，
即
∴，
解得：，
∴当线段把分成两个周长相等的三角形时，的长是6．
（3）根据题意如图所示：

设．
由翻折的性质可知：，
∴，
解得：，
∴．
26．（本小题满分10分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，直线l分别与直线、相交于点E、F，．点P是射线上的一个动点，点P、E不共点，连结．点N与点E关于直线对称．

（1）当直线l与直线所夹的角时．
①当的角平分线恰好是时，请求出的度数；
②若点N恰好落在直线上，试求出的度数；
（2）当时，试求出的度数．
【答案】（1）①，②；（2）的度数是或
【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质以及对称的性质，解题的关键是熟悉应用对称的性质和分类讨论思想，
①根据题意可得，结合角平分线的性质得；
②当点N落在上时，连结，由对称可得，则，，即可得，利用平行线的性质得，求得，即可得；
设，则，分两种情况：①当点N在平行线，之间时，，，则，，由对称可得，利用平行线的性质得，列方程求解即可；②当点N在的下方时，，由对称可得，结合平行线的性质得，即可求得；
解：（1）解：①∵，，
∴
∵平分，
∴；
②当点N落在上时，连结，如图，

∵点N与点E关于直线对称，
∴直线是对称轴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，分两种情况：
∵，
∴，
①当点N在平行线，之间时，
∵，，
∴，，
由对称可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，

②当点N在的下方时，
由对称可得，
∵，
∴，
∴，
∴，；
综上所述，的度数是或．
27．（本小题满分12分）（23-24七年级上·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．

（1）如图1，当时，求的度数．
（2）如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由．
（3）在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，一元一次方程的应用，掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据折叠的性质解题即可；
（2）根据折叠的性质计算即可解题；
（3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题．
解：（1）解：由折叠可得：，，
∴；
（2）解：，理由为：
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（3）如图1所示，由折叠可得：，，
∴
，
当时，，
解得；
如图3，，
当时，，
解得：；

如图4所示，，
当时，，
解得：；

综上所述，的度数为或或时，和中，当其中一个角是另一个角的3倍时．
第三部分：链接中考
28．（本小题满分5分）28．（2024·四川巴中·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
29．（本小题满分5分）（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
30．（本小题满分10分）（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1 图2 图3
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】（1）2；（2）C；（3）见分析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．
解：（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值为：．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号
型号
型号
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58