新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第08讲 恒成立问题之构造函数技巧（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）根据题意可知的定义域是，
，令，解得：，
当时，时，，时，，
当时，时，，时，，
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（2）由题意：，即在上恒成立，
令，则，
对于，△，故其必有2个零点，且2个零点的积为，
则2个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在，上单调递增，
故，即，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又（e），故，，
显然函数在，上是关于的单调递增函数，
则，，
故实数的取值范围是，且．
例2．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
【解析】解：（1）由得，
又，，所以，
所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，
经检验：，符合任意，
（2），
设，设，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（1），
所以当时，，
令
所以，得，
当时，即时，在上单调递增，
所以，，
所以，
当时，即时，
△，即，
解得，
综上，，．
（3）①当时，由，得
，
整理得，
令△，
则△，
记，
则，恒成立，
所以在，上是减函数，则（1），即，
所以不等式有解，设解为，
因此．
②当时，
，
设，
则，
令，得，
当时，，是减函数，
当，时，，是增函数，
，（1），
则当时，，
则，因此，
因为，，，所以，
③当时，因为，为偶函数，因此也成立，
综上所述，．
例3．已知函数．
（1）若在上单调，求的取值范围．
（2）若的图象恒在轴上方，求的取值范围．
【解析】解：（1），
由在上单调，知在上大于等于0或小于等于0恒成立，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减，
由题意得，（1）或，解得或，
实数的取值范围为，，；
（2）的图象恒在轴上方，即当时，恒成立，
亦即在上恒成立，
令，则，
令，
求导可得，令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故（1），，即，
令，解得；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得最大值，最大值为（1），
实数的取值范围为．
例4．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在区间，上，函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围；
（3）设，当时，若对于任意的，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
【解析】解：（1）．（1分）
若，则恒成立，的减区间为．（2分）
若，令，得舍去）．
当时，，的减区间为；
当时，，的增区间为．（4分）
（2）由题意，对于任意的，，恒成立，
即对于任意的，恒成立．
令，
则在上恒成立．（6分）
而在，上图象不间断，在，上是单调减函数，
在，上的最大值为（1），则，
因此（8分）
（3）对任意的，，存在，，使得，
存在，，使得．
当时，，，
令，得舍去）．
列表如下：
在，上图象不间断，
在，上的最小值． （11分）
存在，，使得，即只要．
令，则，
令，得舍去）．
列表如下：
在，上图象不间断，
在，上的最小值． （15分）
，即．（16分）
【同步练习】
1．已知，函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；
（2）设，若对任意的，，且，都有，求的取值范围．
【解析】解：（1），．
依题意有（1）（1），（1）（1），可得：，解得，或，．
（2），不妨设，则，
等价于．
设，则对任意的对任意的，，且，都有，
等价于函数在上是增函数．
，，
依题意有，对任意，有恒成立．
，可得．
2．已知，函数，．
（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；
（Ⅱ）设，若对任意的，，且，都有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ），．，（1）．
依题意有（1）（1），
可得，解得，或．
当时，，．
由，解得．，
当时，，．
由，解得．．
（Ⅱ）．
不妨设，
则等价于，
即．
设，
则对任意的，，且，都有，
等价于在是增函数．，
可得，
依题意有，对任意，有．
由，可得．
3．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设，是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且
（1）当时，，所以在上单调递增
（2）当时，由得：，
则当时；当时．
所以在单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减
（Ⅱ）不是导函数的零点．证明如下：
当时，．，是函数的两个零点，不妨设，
，两式相减得：
即：，又
则．
设，，，
令，
又，，在上是增函数，
则（1），即当时，，
从而，
又所以，
故，所以不是导函数的零点．
4．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）设切线的斜率为，，（1）
因为（1），切点为．
切线方程为，化简得：．（4分）
（Ⅱ）要证：
只需证明：在恒成立，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时（1）在恒成立
所以．（10分）
（Ⅲ）要使：在区间在恒成立，
等价于：在恒成立，
等价于：在恒成立
因为
①当时，，不满足题意
②当时，令，则或（舍．
所以时，在上单调递减；时，
，在上单调递增；
当时
当时，满足题意
所以，得到的最小值为（14分）
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）．
令，解得，或．
①时，，函数在上单调递增．
②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．
③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）由（1）可得：
①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．
②时，函数在，上单调递减．
，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．
③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，
化为：．而，（1），最大值为或．
若：，，解得，矛盾，舍去．
若：，，解得，或0，矛盾，舍去．
综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．
，的所有值为：，或．
6．已知函数，，，．
（1）当时，
①若曲线与直线相切，求的值；
②若曲线与直线有公共点，求的取值范围；
（2）当时，不等式对于任意正实数恒成立，当取得最大值时，求，的值．
【解析】解：（1）①当时，的导数为
，
设切点为，可得切线的斜率为，
曲线与直线相切，
可得，，
解得，；
②若曲线与直线有公共点，
即有有解，
则，
由的导数为，
当时，函数递增；当时，函数递减，
即函数有最小值1，
则；
（2）当时，不等式对于任意正实数恒成立，
由函数，，
导数为，
当时，递增；时，递减，
可得时，取得最小值，且为，
由于时，最小，
由恒成立思想只需考虑时，，
即有对于任意正实数恒成立，
即有对恒成立，
即，
由的导数为，
显然时，时，函数取得最小值，且为，
即，
由恒成立，显然，
可得，
由，
当且仅当时，取得等号，
则时，等号同时成立，
可得，
，
可得，
由（a）在递增，且（1），
可得，，．
7．已知集合是满足下列性质函数的全体，若函数定义域为，对任意的，，有．
（1）当时，是否属于，若属于，给予证明，否则说明理由；
（2）当，函数时，且，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）对任意的，，有，即，即连接函数图象上任意两点的割线斜率绝对值小于1恒成立．
又因为函数，在定义域内处处可导，则由切线的性质可知，连接该函数定义域内任意两点的割线，总能在定义域内找到一条切线与之平行，则割线的斜率就是切线的斜率，即该切点处的导数．所以只需，时恒成立即可．
易知，当时，，即，所以不恒成立，因此在定义域内不属于．
（2）显然，该函数在定义域内处处可导，结合（1）的分析，要使，，属于，
只需，即，在区间上恒成立即可．
因为，在时单调递增，
所以只需，且（1）
解得．
8．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）设，，，是函数图象上的两个相异的点，若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：时，
令得或，
，（2）；
不妨设，，
设，则有时，
则在单调递增，即在恒成立，
所以，得，
因为，当且仅当时取等号，
，
，
故的取值范围为．
9．设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
【解析】解：（1），，
（4），，
，解得．
（2），，设．
令，解得，或．
．
令，解得，或．
和的零点均在集合，1，中，
若：，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，舍去．．
，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，
因此，，，
可得：．
．
可得时，函数取得极小值，（1）．
（3）证明：，，，
．
．
△．
令．
解得：，．，
，，
可得时，取得极大值为，
，令，
可得：．
，
．
令，
，
函数在上单调递减，．
．．
函数在上单调递增，
．
0
极小值
0
2
0
0
极大值
极小值