新高考数学二轮复习函数与导数压轴小题突破练习专题14 函数不动点问题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意， 存在，使成立，
即存在，使成立，
所以，即，
所以
所以存在，使与有交点，
对，，求导得，
设，则，
令，即；令，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
又，
，
要使与有交点，则，
所以的取值范围是.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为 ,所以 在 上有解
因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由得 在 上有解，即 ,因为 ，选C.
3．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意知，令，，，为奇函数，
，且当时，，
当时，，单调递减，在R上单调递减，
由，得，即，
，即，，
为函数的一个不动点，，即，
，即关于x的方程在上有解.
令，，则，
在上单调递减，，
要使关于x的方程在上有解，则，即实数a的取值范围为.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由可知，
当时，＝为增函数，
∴时，．
∴ 不存在使成立，故A，B错；
当时，＝，
当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．
法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，
，而由可知，
于是，问题转化为在上有解．
由，得，分离变量，得，
因为，，
所以，函数在上是增函数，于是有，
即，应选D．
5．（2023·全国·高二专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵曲线上存在点
∴
函数（）在上是增函数，根据单调性可证
即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A.
6．（2023·江西南昌·高三专题练习）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，其中是函数的反函数，若曲线上存在使得，因为函数（，为自然对数的底数），所以，，因为，所以，因此命题“若曲线上存在使成立”转化为“存在，使”，即的图像与函数的图像在上有交点，∵的图像与的图像关于直线对称，∴的图像与函数的图像的交点必定在直线上，由此可得，的图像与直线的图像在上有交点，根据，化简整理得，记，在同一坐标系内作出它们的图像，可得
，所以 ，解得，即实数的取值范围为，故B，C，D错误.
故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
即函数的取值范围为，，
若上存在点，使得成立，
则，.
又在定义域上单调递增.
所以假设，则（c），不满足.
同理假设，也不满足.
综上可得：.，.
函数，的定义域为，
等价为，在，上有解
即平方得，
则，
设，则，
由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
即当时，函数取得极小值，即（1），
当时，（e），
则.
则.
故选：.
8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，即存在使得有解，则函数为“不动点”函数，
对A，令，可得，该方程无解，
所以不是“不动点”函数，A错误.
对B，令，
即，
由可得该方程无解，所以不是“不动点”函数，B错误.
对C，令，
即，显然无解，所以不是“不动点”函数，C错误.
对D，令，可得，所以为“不动点”函数，D正确.
故选：D.
9．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知可得，，则，
且，所以.
又，.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递增，所以，所以.
所以，，即.
令，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以在上单调递减.
又，，所以.
因为在上单调递减，，所以.
又，所以，即.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递减.
又，，
所以.
综上可得，.
故选：C.
10．（2023·河南开封·统考一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】题意得若函数为不动点函数，则满足
，即，即
设，
令，解得
当时，，所以在上为增函数
当时，，所以在上为减函数
所以
当时，
当时，
所以的图象为：
要想成立，则与有交点，所以，
对应区间为
故选：B.
11．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
12．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（ ）
A．对于函数，有成立
B．若是二次函数，且A是空集，则B为空集
C．对于函数，有成立
D．对于函数，存在，使得成立
【答案】D
【解析】对于A：函数，，故A正确.
对于B：若A是空集，则恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以无解，即B为空集，故B正确.
对于C：函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且.又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确.
对于D：函数，，，，故D错误.
故选：D
13．（2023·全国·高三专题练习）设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在“次不动点”，若函数在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是（ ）
A．[,+∞)B．C．(-∞,0)D．(0, )
【答案】B
【解析】由题意，函数在区间上存在“次不动点，
即存在，使得，
即存在，使得，
当时，；
当时，方程可化为，
设，则，
令，可得或（舍），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
故的值域为，所以实数a的取值范围是.
故选：B.
14．（2023·全国·高三专题练习）若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵∴令，
∴，
∴，即为奇函数，
∵，且当时，，
∴对恒成立，
∵为奇函数，且定义域为，
∴在R上单调递减，
∵，
∴，
即，∴，即，
∵为函数的一个不动点，∴，
即在有解.
∵，∴在R上单调递减.
∴可，
∴.
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数在定义城内单增函数，所以有解等价于有解，
故在上有解，令即，令
则，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
∴，
故实数的取值范围为.
故选: C
16．（2023·全国·高三专题练习）设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，等价于，
∵当时，，即，
∴在上递减，又是奇函数，
∴在上递减，又连续，
∴在上递减，则，可得.
又的定义域为，且，即在定义域上递增，
∴题设条件为：存在使，即使，
∴在上有解，则在上有零点，
由，即递增，又，且时，
∴只需，即即可.
故选：B
17．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考二模）设函数，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则当时，，
故函数是区间上的单调递减函数，
又，，
则函数是奇函数，所以函数是区间上的单调递减函数；
由题设中，可得：，
由单调递增，可得，
所以问题转化为在上有解，即在上有解，
令，则，故在上单调递增，
则，所以.
故选：B．
二、多选题
18．（2023·广东江门·高一统考期末）对于定义在D上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.下列说法正确的是（ ）
A．函数存在1个不动点
B．函数存在2个不动点
C．函数存在3个不动点
D．若函数存在两个不动点，则a的取值范围是(-∞，1)
【答案】BC
【解析】对于，若函数存在1个不动点，则函数与函数有一个交点，由指数函数的图像和性质可知：函数与函数没有交点，所以函数不存在不动点，故选项错误；
对于，若函数存在2个不动点，则方程有两解，解方程可得：，，所以函数存在2个不动点，故选项正确；
对于，若函数存在3个不动点，则有3个根，也即函数与函数有三个交点，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图像，如下图：
由图可知：函数与函数有三个交点，故选项正确；
对于，若函数存在两个不动点，则方程有两个不同的根，也即方程有两个不同的根，
当时，方程可化为，解得，不满足题意；
当时，要使方程有两个不同的根，则，
解得：或，
综上实数的取值范围为或，故选项错误，
故选：.
19．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
由对数函数的图象可知：方程有解，所以函数存在不动点，故选项满足；
对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
也即，因为判别式，所以方程无解，故假设不成立，
也即函数不存在不动点，故选项不满足；
对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
当时，方程为无解；当时，方程为，令，
则，所以在上单调递减，所以，所以，
则方程为无解，故选项不满足；
对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
令，则函数在上单调递增，因为，
，则，由零点存在性定理可知：函数在上存在零点，
也即有解，所以函数存在不动点，故选项满足，
故选：.
三、填空题
20．（2023·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由已知可得，且，
由已知存在，使得，则，
所以，存在，使得，可得，
因为函数在上单调递增，则，则.
易知函数在上单调递增.
若，则，不合乎题意；
若，则，不合乎题意；
若，则，合乎题意.
故存在，使得，可得，则，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
22．（2023·高二课时练习）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．
【答案】．
【解析】由曲线上存在点，使得，即，
下面证明，因为在定义域上严格递增，
假设，则，
不满足，同理，不满足，
所以，那么函数，
即函数在有解，所以，
即，，令，
则，
，，单调递增，
又，所以，所以a的取值范围是．
故答案为：
23．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）设函数的定义域为D，若，使得，则称是函数的不动点．若函数在区间上存在不动点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，由题可知有解，
即有解，
即有解，
即有解，
令，则有解，
即在时有解.
易知在时单调递减，在时单调递增，
且，，
故，则.
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点．已知函数恒有两个互异的不动点，则实数的取值范围为：__．
【答案】，且
【解析】函数恒有两个互异的不动点，
即有两个不等实根，整理得出
△，解得，且，
故答案为：，且.
25．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，给出下列函数：①；②③；④（）；⑤；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）
【答案】①②③④
【解析】①，
得或满足条件，
故①满足题意；
②，
当时，或；
当时，或，即；
满足条件，故②满足题意；
③，
令，易知为上的增函数，
又，
由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点.
故③满足题意；
④（），
，
令，
又，则，
易知为上的增函数，
又，
由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点.
故④满足题意；
⑤无实数解，
故⑤满足题意；
故答案为：①②③④.
26．（2023·江苏苏州·高三常熟中学阶段练习）已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】结合函数的解析式：可得：，
令y′=0，解得：x=0，
当x>0时，y′>0，当xf（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0．
同理假设f（y0）=c0，
g（x）在（0，e）单调递增，
当x=e时取最大值，最大值为，
当x→0时，a→-∞，
∴a的取值范围.
27．（2023·江西南昌·高三进贤县第一中学校考阶段练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，，若存在，且为函数一个不动点，则实数的最小值为________．
【答案】
【解析】由，令，
则为奇函数，当时，，
所以在上单调递减，
所以在上单调递减，
因为存在，
所以，
所以，即.
因为为函数一个不动点，
所以在时有解，
令，
因为当时，，
所以函数在时单调递减，且时，，
所以只需，得.
28．（2023·全国·高三竞赛）设函数．若存在，使得，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由存在，使得，得．
于是，存在，使得，即．
因此，．
故答案为