新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题21 三角函数压轴小题十五大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146142607" 题型1新文化问题 PAGEREF _Tc146142607 \h 1
\l "_Tc146142608" 题型2新定义问题 PAGEREF _Tc146142608 \h 3
\l "_Tc146142609" 题型3黄金分割相关问题 PAGEREF _Tc146142609 \h 4
\l "_Tc146142610" 题型4扇形相关问题 PAGEREF _Tc146142610 \h 6
\l "_Tc146142611" 题型5三角函数公式相关问题 PAGEREF _Tc146142611 \h 9
\l "_Tc146142612" 题型6三角函数性质问题 PAGEREF _Tc146142612 \h 10
\l "_Tc146142613" 题型7识图问题 PAGEREF _Tc146142613 \h 11
\l "_Tc146142614" 题型8凑角求值问题 PAGEREF _Tc146142614 \h 14
\l "_Tc146142615" 题型9最值相关问题 PAGEREF _Tc146142615 \h 15
\l "_Tc146142616" 题型10 相关问题 PAGEREF _Tc146142616 \h 16
\l "_Tc146142617" 题型11相关问题 PAGEREF _Tc146142617 \h 17
\l "_Tc146142618" 题型12实际应用问题 PAGEREF _Tc146142618 \h 18
\l "_Tc146142619" 题型13恒成立问题 PAGEREF _Tc146142619 \h 21
\l "_Tc146142620" 题型14零点相关问题 PAGEREF _Tc146142620 \h 22
\l "_Tc146142621" 题型15与数列相关问题 PAGEREF _Tc146142621 \h 23
题型1新文化问题
【例题1】（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为. 则角 .

【变式1-1】2. （2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）天文学家、数学家梅文鼎，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，为锐角三角形外接圆的圆心.若，则（ ）

A．B．C．D．
【变式1-1】3.（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派在公元前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，则 .
【变式1-1】4. （2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Prfwithutwrds，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】5. （2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ）倍．
A．1B．C．D．
【变式1-1】6.（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
题型2新定义问题
【例题2】（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）正割（Secant）及余割（Csecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】1. （多选）（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）正割（Secant）及余割（Csecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为；
B．的最小正周期为；
C．的值域为；
D．图象的对称轴为直线.
【变式2-1】2. （2023·全国·高三专题练习）一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式．由，知，通过运算，可以得到的切比雪夫多项式 ．结合上述知识计算 ．
题型3黄金分割相关问题
【例题3】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点．利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：．若等腰△CDE的顶角，则（ ）

A．B．C．D．
【变式3-1】1. （2023·江西·校联考二模）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则的值为（ ）
A．-4B．4C．-2D．2
【变式3-1】2. （2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为，则（ ）
A．B．1C．D．
【变式3-1】3. （2023·全国·高三专题练习）黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金三角形中，，根据这些信息，可得（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】4. （2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片长､宽比例为，设，则（ ）
A．B．C．D．
题型4扇形相关问题
【例题4】（2023秋·贵州·高三统考开学考试）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】1. （多选）（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形，其中，，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
【变式4-1】2. （2023春·广东深圳·高三校考阶段练习）以的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线，与圆弧交于点E，连接，则.若图中交于点P，，则 .

【变式4-1】3. （2023·河南焦作·统考模拟预测）如图，已知，分别为两边上的点，，，过点，作圆弧，为的中点，且则线段长度的最大值为 ．
【变式4-1】4. （2022·全国·高三专题练习）为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以O为圆心，半径为一个单位，现规划出以下三块场地，在扇形AOC区域铺设草坪，区域种花，区域养殖观赏鱼，若，且使这三块场地面积之和最大，则 .
【变式4-1】5.（2022·湖北·恩施市第一中学校联考模拟预测）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为，当取得最大值时 .
题型5三角函数公式相关问题
【例题5】（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知，函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为 ．
【变式5-1】3. （2023秋·黑龙江七台河·高三勃利县高级中学校考阶段练习）在△中，已知，其中.若为定值，则实数 .
【变式5-1】4. （2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，的顶点，，，且的重心的坐标为， .
【变式5-1】5.（2022·全国·高三专题练习）已知点G是的重心，且，若，则的值为 ．
【变式5-1】6.（2021秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
题型6三角函数性质问题
【例题6】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在上有且仅有2个零点
C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则
D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增
【变式6-1】1. （多选）（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有3个实数解
【变式6-1】2.（多选） （2023·全国·高三专题练习）关于函数，以下说法正确的有（ ）
A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．在上有4个零点
D．的值域是
【变式6-1】3. （2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（ ）
A．1B．3C．或3D．1或3
【变式6-1】4. （2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．的最大值大于
【变式6-1】5.（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数，，，在内恰有两个极值点，且，则的所有可能取值构成的集合是 ．
【变式6-1】6.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是 ．
①图像的对称轴方程为
②在上的值域为
③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
④在上单调递减．
题型7识图问题
【例题7】（2023·北京·高三专题练习）已知函数的部分图象如图1所示，、分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则 .
给出下列四个结论：
①；
②图2中，；
③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；
④图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于.
其中所有正确结论的序号是 .
【变式7-1】1. （2021秋·重庆铜梁·高三铜梁一中阶段练习）已知函数的图像如图，若，且，则 的值为（ ）
A．B．C．1D．0
【变式7-1】2. （2022·全国·高三专题练习）如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
【变式7-1】3. （2020·全国·高三专题练习）如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足为的中点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】4. （2022·浙江·高三专题练习）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：
①当时，；
②时，为减函数；
③对任意，都有；
④对任意，都有
其中判断正确的序号是 ．
题型8凑角求值问题
【例题8】（2020·全国·高三专题练习）若，，，且，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】1. （2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则 ．
【变式8-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知点是轴上到距离和最小的点，且，则的值为 (用数据作答)．
【变式8-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知，，则正常数p的值为 .
【变式8-1】4. （2020·全国·高三专题练习）已知，且，则 .
题型9最值相关问题
【例题9】（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，则f(x)＝sin(x＋A)＋sin(x＋B)的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
【变式9-1】1. （2022秋·江苏常州·高三校考开学考试）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式9-1】2. （2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．5
【变式9-1】3. （2020·全国·高三专题练习）如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式9-1】4. （2023·全国·高三专题练习）中，角A，B，C满足，则的最小值为 ．
【变式9-1】5.（2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）在中，若，则的最大值为 ．
【变式9-1】6. （2022秋·河北·高三校联考阶段练习）定义在R上的函数单调递减，且满足，对于任意的，满足恒成立，则的最大值为 .
题型10 相关问题
【例题10】（2022秋·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为 .
【变式10-1】1. (多选)（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．2D．8
【变式10-1】2.（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【变式10-1】3. （2023·河北唐山·模拟预测）已知为与的交点，若为等边三角形，则正数的最小值为 ．
【变式10-1】4.（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知函数（），当时，函数的最大值为，则满足条件的的个数为 .
题型11相关问题
【例题11】（2023·全国·高三专题练习）已知，若对任意实数都有，其中，则的所有可能的取值有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【变式11-1】1. （2023·内蒙古赤峰·校联考一模）在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于 （写出一个值即可）．
【变式11-1】2. （2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期中）将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则 ．
【变式11-1】3. （2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
题型12实际应用问题
【例题12】（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆O，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心O为原点，线段OA，OB所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系（A，B为圆O上的点），分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，则的最大值为（ ）

A．50B．75C．D．100
【变式12-1】1. （多选）（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t（单位：秒），已知，则（ ）
A．，其中，且
B．，其中，且
C．大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中
D．大约经过22秒，盛水筒P到达最高点
【变式12-1】2. （2021秋·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为
A．5米B．(4＋)米
C．(4＋)米D．(4＋)米
【变式12-1】3. （2021秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足 ，则下列叙述正确的是 ．
① ，
②当时，点到轴的距离的最大值为；
③当时，函数单调递减；
④当时，
【变式12-1】4. （2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I（区域ACD），区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC=θ，中植花卉总造价记为，现某同学已正确求得：，则 ；种植花卉总造价最小值为 .
题型13恒成立问题
【例题13】（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数的图象关于直线对称．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】1. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数的图象关于直线对称．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】2. （2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）已知函数，若实数a、b、c使得对任意的实数恒成立，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【变式13-1】3. （2021秋·重庆巴南·高三重庆市清华中学校校考阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】4. （2020·浙江绍兴·统考模拟预测）若不等式．对x∈恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】5.（多选）（2022秋·山西临汾·高三统考阶段练习）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
题型14零点相关问题
【例题14】（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，，当时，．已知，则函数，的零点个数为 ，这些零点的和为 ．
【变式14-1】1. （2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式14-1】2. （2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式14-1】3. （2023·天津·高三专题练习）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式14-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是 .
题型15与数列相关问题
【例题15】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式15-1】1. （2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，甲:；乙:为严格减数列，则（ ）.
A．甲正确，乙正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲错误，乙错误
【变式15-1】2. （2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）将关于x的方程（t为实常数，）在区间上的解从小到大依次记为，设数列的前n项和为，若，则t的取值范围是 ．
【变式15-1】3. （2023·全国·高三专题练习）数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为 ．
【变式15-1】4. （2021·福建厦门·厦门一中校考一模）已知，数列满足：对任意，，且，，则使得成立的最小正整数为 .
【变式15-1】5.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知单位圆的内接正边形 的边长、周长和面积分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
1. （2020·北京·统考高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
2. （2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
3. （2023·湖南娄底·统考模拟预测）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金中，，记五角星中阴影部分的面积是，中间空白正五边形的面积是，则（ ）
A．B．C．D．
4.（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知函数，且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5. （2023·河南·统考三模）已知函数，其中，若函数满足以下条件：
①函数在区间上是单调函数；②对任意恒成立；
③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6. （多选）（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）设函数，如图是函数及其导函数的部分图像，则（ ）
A．
B．
C．与y轴交点坐标为
D．与的所有交点中横坐标绝对值的最小值为

7. （多选）（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12B．
C．的最大值为D．在区间上单调递增
8. （2021·上海金山·统考一模）如图，AB为定圆O的直径，点P为半圆AB上的动点．过点P作AB的垂线，垂足为Q，过Q作OP的垂线，垂足为M．记弧AP的长为x，线段QM的长为y，则函数y=f(x)的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
9. （2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在数列中给定，且函数的导函数有唯一的零点，函数且.则 .
10. （2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，满足，.若，且在单调递增，则满足的的取值范围是 .
11．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
12．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
13．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
14．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
15．（多选）（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
16．（多选）（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选）（2020·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
18．（2023·全国·统考高考真题）若，则 ．
19．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
20．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
有关三角函数综合问题的求解策略：
1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解.