新高考数学二轮复习函数与导数压轴小题突破练习专题24 双参数最值问题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·全国·高三专题练习）已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，
令，
则，恒成立，即恒成立，即
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减.
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减；
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式，，恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】设，
则，
当时，因为，
所以，所以在递增；
时，，与矛盾，所以不符题意；
当时，令，可得，
当，，递增；
当，时，，递减．
所以的最大值为，
所以由题意可得，即，
因为，所以，
设（a），
则（a），
当时，（a），（a）递增，
当，时，（a），（a）递减，
所以（a）的最大值为，
所以的最大值为．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为不等式在上恒成立，
所以不等式在上恒成立，
令，则 在上恒成立，
令，
所以，
若，则 ， 在递增，
当时， ，不等式不成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以，
所以，
所以，
令，则，
所以，
当时，当时，，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值是
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，则
，
令，(m)=m0,m>1,(m)0时, 0恒成立，需要，此时,
当时，设函数,
当直线与函数图象相切时，设切点坐标为,则,
∴,即
所以当函数图象在直线下方时，，
∴,
记,则,
令，解得
当时,单调递增；当时，，单调递减，
∴,
综上，的最大值为：，
故答案为：.
27．（2023·高二课时练习）已知函数，.若当时，恒成立，则实数的值等于___________.
【答案】2
【解析】当时，，即，
所以当时，，所以，
则，
令，则在时恒成立，
.
当时，，则单调递增，
由，可知时，，不满足；
当时，，可得，
则时，，单调递增，时，，单调递减，
由，且在时恒成立，所以，即.
只需检验时恒成立即可.，即证
令，，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，得证.
所以，所以.
故答案为：2.
28．（2023·全国·模拟预测）若正实数a，b满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，即
令，则有()，
设，则，由得
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，又因为，
所以，当且仅当时等号成立
所以，从而，所以()
设()，则，由得
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以的最小值为．
故答案为：．
29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】设，令，
要使恒成立，即恒成立.
，
由可得，在上有一个解，
即，，
又，
，
因此当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
则，，
将代入，得，
设，，
令，解得.
因此当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
，即的取值范围是，
故的取值范围是.
故答案为：
30．（2023·全国·高三专题练习）已知，，满足对任意恒成立，当取到最小值时，______.
【答案】24
【解析】令，则，
所以，即对于恒成立，
令，
因为，
因为对于时恒成立，
所以，
当取最小值时，即，
此时在时有最小值，
因为函数的定义域为，不是区间端点值，
又在处取得最小值，所以也是函数的一个极小值，
且，
所以，得，从而
故.
故答案为：24.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】
【解析】令，其中，可得，
当时，，此时函数单调递增，无最大值，不符合题意；
当时，令，即，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也是最大值，
且，
因为恒成立，即恒成立，
即，可得恒成立，
设，
设，可得，则，
令，即，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知，若恒成立，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】∵，
∴，
当时，恒成立，则单调递增，不恒成立，
当时，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴，
∵恒成立，
∵
∴，
∴，
设
∴，
令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴，
∴，
故答案为：
1
↗
极大值：1
↘
极小值：
↗
1