初中湘教版（2024）第4章 平面内的两条直线4.3 平行线的性质优秀练习

这是一份初中湘教版（2024）第4章 平面内的两条直线4.3 平行线的性质优秀练习，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在边长为1的正方形网格中，AB与CD相交于点P，则cs∠CPB的值为( )
A. 2 23
B. 53
C. 32
D. 22
2.如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，AD=CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A. BC=EFB. ∠A=∠EDFC. AB/​/DED. ∠BCA=∠F
3.如图，已知AB/​/CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2=64°，则∠3的度数是( )
A. 64°
B. 58°
C. 32°
D. 116°
4.如图，直线AB/​/CD，GE⊥EF于点E.若∠BGE=60°，则∠EFD的度数是( )
A. 60°B. 30°C. 40°D. 70°
5.如图，AB // CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=40°，则下列结论：①∠BOE=70°，②OF平分∠BOD，③∠POE=∠BOF，④∠POB=2∠DOF．
其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6.图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB/​/CD，AC/​/OD，OD=OC，∠BAC=50°，则∠DOC的度数为( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
7.如图，直线AB/​/CD，∠D=80∘，∠B=30∘，则∠E的度数为( )
A. 50∘B. 45∘C. 40∘D. 30∘
8.如图，直线a/​/b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1=50°，则∠2=( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 45°
9.一副三角形板如图放置，DE//BC，∠C=∠DBE=90∘，∠E=45∘，∠A=30∘，则∠ABD的度数为( )
A. 5∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘
10.如图，已知AB/​/CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB上方一点，连接AN，CN，E为NA延长线上一点，若AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为( )
A. ∠M−∠N=90°B. 2∠M−∠N=180°
C. ∠M+∠N=180°D. ∠M+2∠N=180°
11.下列命题中，真命题的是( )
A. 带根号的数都是无理数B. 一个角的补角大于这个角
C. 两直线平行，内错角相等D. 三角形的一个外角大于它的任何一个内角
12.如图，已知GH//BC，∠1=∠2，GF⊥AB，给出下列结论：①∠B=∠AGH；②HE⊥AB；③∠D=∠F；④HE平分∠AHG；其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.要在A，B两地之间修一条公路(如图)，从A地测得公路的走向是北偏东60°.如果A，B两地同时开工，那么在B地按∠α=_____施工，能使公路准确接通．
14.[2022浙江湖州期中]如图所示，一个长方形纸条按如图所示的方法折叠，则∠1=__________．
15.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN//BC，MN分别与AB，AC相交于点M，N.若△ABC的周长为18，△AMN的周长为12，则BC= ．
16.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若DE/​/AB，则∠1的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，AD//BC，∠CAE的平分线是AD，∠C=65°，求∠B的度数．
18.(本小题8分)
如图，在小区道闸的平面示意图中，BA垂直地面AE，垂足为点A，CD平行于地面AE。若∠BCD=135°，求∠ABC的度数。
19.(本小题8分)
如图，AB/​/CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，证明MG与NG的位置关系．
解：∵MG平分∠BMN(已知)，
∴∠GMN=12∠BMN(______)；
同理∠GNM=12∠DNM．
∵AB//CD(已知)，
∴∠BMN+∠DNM= ______，
∴所以∠GMN+∠GNM= ______．
∵∠GMN+∠GNM+∠G= ______，
∴∠G= ______，
∴MG与NG的位置关系是______．
20.
(1)如图(1)，AB // CD，试用不同方法证明∠B+∠D=∠E．
(2)如图(2)，AB // CD，∠B，∠D，∠E之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
21.(本小题8分)
如图，AB//CD//PN，若∠ABC=50∘，∠CPN=150∘，求∠BCP的度数．
22.(本小题8分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：

(1)AC⊥BD；
(2)四边形ABCD是菱形．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN/​/BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)求证：PE=PF；
(2)若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且APBC= 36，求此时∠A的大小．
24.(本小题8分)
如图，EF/​/BC，AC平分∠BAF，∠B=80°，求∠C的度数．
25.(本小题8分)
如图，直线CD与直线AB相交于点C，根据下列语句画图：

(1)过点P作PQ // CD，交AB于点Q；
(2)过点P作PR⊥CD，垂足为R；
(3)若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如图，取格点E，连接AE，BE，
由网格可知：AE=BE= 5，AB= 10，
∵AE/​/DC，
∴∠EAB=∠CPB，
∵AE2+BE2=AB2，
∴∠AEB=90°，
∴cs∠CPB=cs∠EAB=AEAB= 5 10= 22，
故选：D．
取格点E，连接AE，BE，由网格可知AE=BE= 5，AB= 10，AE/​/DC，从而可得∠AEB=90°，利用余弦的定义即可求解．
本题考查了解直角三角形，平行线的性质，勾股定理及逆定理，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得AC=DF，然后利用SSS、SAS、ASA、AAS进行分析即可．
【解答】
解：∵AD=CF，
∴AD+CD=CF+DC，
∴AC=DF，
A.添加BC=EF可利用SSS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B.添加∠A=∠EDF可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C.添加AB/​/DE可证出∠A=∠EDC，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D.添加∠BCA=∠F，不能根据SSS、SAS、ASA、AAS、HL证明，所以不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：∠BDC=∠2=64°，
∵AB/​/CD，
∴∠ABD=180°−∠BDC=180°−64°=116°，
∵BC是∠ABD的平分线，
∴∠3=12∠ABD=12×116°=58°，
故选：B．
由题意得：∠BDC=∠2=64°，由AB/​/CD得∠ABD=180°−∠BDC=116°，根据BC是∠ABD的平分线得∠3=12∠ABD=58°．
本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：如图，过点E作直线HI/​/AB．
∵AB/​/CD，AB//HI，
∴CD//HI．
∴∠BGE=∠GEH=60°，
∴∠HEF=∠GEF−∠GEH=90°−60°=30°．
∴∠EFD=∠HEF=30°．
故选：B．
过点E作AB的平行线，利用平行线的性质即可求解．
本题考查了垂线及平行线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，角平分线性质，垂线的性质等内容，掌握平行线、角平分线及垂线的性质是解题关键，由AB/​/CD，则∠ABO=∠BOD=40°，利用平角等于180°得到∠BOC=140°，再根据角平分线定义得到∠BOE=70°；利用OF⊥OE，可计算出∠BOF=20°，则∠BOF=12∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可计算出∠POE=20°，则∠POE=∠BOF； 根据∠POB=70°−∠POE=50°，∠DOF=20°，可知④不正确．
【解答】
解：∵AB/​/CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°−40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12×140°=70°，所以①正确；
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°−70°=20°，
∴∠BOF=12∠BOD，所以②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠POE=90°−∠EOC=20°，
∴∠POE=∠BOF，所以③正确；
∴∠POB=70°−∠POE=50°，
而∠DOF=20°，所以④错误．
综上所述，正确的结论为①②③．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：由条件可知∠BAC=∠ACD=50°，
∵AC/​/OD，
∴∠ODC=∠ACD=50°，
∴∠ODC=∠OCD=50°，
∴∠DOC=180°−50°−50°=80°，
故选：D．
先利用平行线的性质可得∠BAC=∠ACD=50°，∠ODC=∠ACD=50°，然后根据等边对等角求得∠ODC=∠OCD=50°，利用三角形内角和定理即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识点是关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，
过D作DF/​/BE交AB于点F，可得∠DFB=∠B=30°，∠EDF=∠E，再由AB/​/CD，可得∠CDF=∠DFB=30°，进而得出∠EDF=∠CDE−∠CDF=50°，即可求出∠E=50°..
【解答】
解：过D作DF/​/BE交AB于点F，
∴∠DFB=∠B=30°，∠EDF=∠E，
∵AB/​/CD，
∴∠CDF=∠DFB=30°，
∵∠CDE=80°，
∴∠EDF=∠CDE−∠CDF=50°，
∵∠EDF=∠E，
∴∠E=50°．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，得∠3=90°−∠1=40°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠3=40°，
故选：A．
先计算∠3=90°−∠1=40°，再根据a/​/b，得到∠2=∠3=40°，解答即可．
本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=60，
∵BC/​/DE，∠EDB=∠E=45°，
∴∠DBC=45°，
∴∠ABD=60°−45°=15°，
故选：B．
根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠DBC=45°，∠ABC=60据此可得∠ABD的度数．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
过点M作MO/​/AB，过点N作NP/​/AB，则MO/​/AB/​/CD/​/NP，根据平行线的性质可得∠AMC=∠1+∠2，∠CNE=2∠2−∠3，∠3=180°−2∠1，即可得出结论．
【解答】
解：过点M作MO/​/AB，过点N作NP/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴MO/​/AB/​/CD/​/NP，
∴∠AMO=∠1，∠OMC=∠MCD，
∵AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，
∴∠BAE=2∠1，∠NCD=2∠2，∠2=∠MCD，
∴∠AMC=∠1+∠2，
∵CD/​/NP，
∴∠PNC=∠NCD=2∠2，
∴∠CNE=2∠2−∠3，
∵NP/​/AB，
∴∠3=∠NAB=180°−2∠1，
∴∠CNE=2∠2−(180°−2∠1)=2(∠1+∠2)−180°=2∠AMC−180°，
∴2∠AMC−∠CNE=180°，
故选：B．
11.【答案】C
【解析】解：对于选项A，带根号的数都是无理数是假命题，
例如： 4是有理数，
∴选项A中的命题是假命题，
故选项A不符合题意；
对于选项B，一个角的补角大于这个角是假命题，
例如：∠α=120°，它的补角为60°．
∴选项B中的命题是假命题，
故选项B不符合题意；
对于选项C，根据平行线的性质得：两直线平行，内错角相等
∴选项C中的命题是真命题，
故选项C符合题意；
对于选项D，根据三角形的外角定理得：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，
选项D中的命题是假命题，
故选项D不符合题意．
故选：C．
根据 4是有理数可对选项A进行判断；根据∠α=120°，它的补角为60°可对选项B进行判断；根据平行线的性质可对选项C进行判断；根据三角形的外角定理可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了无理数的定义，互为补角的定义，平行线的性质，三角形外角定义，熟练掌握无理数的定义，互为补角的定义，平行线的性质，三角形外角定义是解决问题的关键，特别需要注意的是：如果是假命题就需要举出一个反例．
12.【答案】B
【解析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【详解】解：∵GH//BC，
∴∠B=∠AGH，故①正确；
∵GH//BC，
∴∠1=∠HGF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠HGF，
∴DE//GF，
∴∠FGB=∠DEB，
∵GF⊥AB，
∴∠FGB=∠DEB=90°，
∴HE⊥AB，故②正确；
∵DE//GF，
∴∠D=∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；
∵DE//GF，
∴∠F=∠AHE，
∵∠D=∠1=∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；
即正确的个数是2，
故选：B．
13.【答案】120°
【解析】解：由题意可知，AC/​/BD，
则∠CAB+∠α=180°，
∴∠α=180°−60°=120°，
即在B地公路按∠α=120°施工，能使公路准确接通．
此题根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
此题是平行线的性质在实际生活中的运用，锻炼了学生对所学知识的应用能力．
14.【答案】55°
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质和折叠的知识，根据两直线平行内错角相等，以及折叠的性质求解即可．
【解答】
解：如图，由题意知AB // CD，
∴∠1+∠3=110°．
由折叠得 ．
故答案为55°．
15.【答案】6
【解析】略
16.【答案】105°
【解析】解：如图，AC和DE交于点G，
由三角板可知：∠D=45°，∠BAC=30°，
∵DE//AB，
∴∠AGD=∠BAC=30°，
∴∠1=180°−∠D−∠AGD=105°，
故答案为：105°．
根据三角板得到∠D=45°，∠BAC=30°，再根据平行线的性质得到∠AGD=∠BAC，最后利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查平行线的性质，三角板的性质，三角形内角和，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
17.【答案】解：∵AD/​/BC，∠C=65°，
∴∠DAC=∠C=65°，∠B=∠DAE，
∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠DAE=∠DAC=65°，
∴∠B=∠DAE=65°．
【解析】根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=65°，角平分线的性质得到∠DAE=∠DAC=65°，再根据平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
18.【答案】解：如图所示，过点B作BM // CD，根据题意知AE // CD，所以BM // AE。
因为BA⊥AE，所以∠BAE=90°，所以∠ABM=90°。
因为∠BCD=135°，BM // CD，所以∠CBM=180°−∠BCD=180°−135°=45°，
所以∠ABC=∠ABM+∠CBM=90°+45°=135°。

【解析】见答案
19.【答案】角平分线的定义 180° 90° 180° 90° MG⊥NG(或垂直)
【解析】解：∵MG平分∠BMN(已知)，
∴∠GMN=12∠BMN(角平分线的定义)，
同理∠GNM=12∠DNM．
∵AB//CD(已知)，
∴∠BMN+∠DNM=180°，
∴所以∠GMN+∠GNM=90°，
∵∠GMN+∠GNM+∠G=180°，
∴∠G=90°，
∴MG与NG的位置关系是MG⊥NG．
故答案为：角平分线的定义；180°；90°；180°；90°；MG⊥NG．
角平分线的定义及平行线的性质、垂直的定义即可得出结论．
本题考查平行线的性质、角平分线的定义，正确运用平行线的性质是解题的关键．
20.【答案】【小题1】
证明：(方法1)如图所示，过点E作EF // AB．
∵EF // AB(辅助线的作法)，
∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等)．
∵AB // CD(已知)，
∴EF // CD(平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等)，
∴∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质)，即∠B+∠D=∠BED．
(方法2)如图所示，延长BE交CD于点F．
∵AB // CD(已知)，
∴∠B=∠BFD(两直线平行，内错角相等)．
∵∠BED=∠BFD+∠D(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
∴∠B+∠D=∠BED(等量代换)．
【小题2】
解：∠B−∠D=∠E．
证明如下：如图所示，
∵∠3=∠E+∠D(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，AB // CD(已知)，
∴∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∴∠B=∠E+∠D(等量代换)，即∠B−∠D=∠E．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】解：∵AB/​/CD/​/PN(已知)，
∴∠ABC=∠BCD=50°(两直线平行，内错角相等)，
∠NPC+∠PCD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠CPN=150°(已知)，
∴∠PCD=30°(等式性质)，
∴∠BCP=∠BCD−∠PCD
=50°−30°
=20°．
【解析】本题考查平行线的性质．先根据AB/​/CD/​/PN，由两直线平行，内错角相等可得到∠ABC=∠BCD，由两直线平行，同旁内角互补可得到∠NPC+∠PCD=180°，从而求得∠BCD和∠PCD的度数，再由∠BCD−∠PCD即可求出∠BCP的度数．
22.【答案】证明：(1)∵AE//BF，
∴∠BCA=∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠BCA=∠BAC，
∴△BAC是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD；
(2)∵△BAC是等腰三角形，
∴AB=CB，
∵BD平分∠ABC，BF//AE，
∴∠ABD=∠DBC，∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴DA=CB，
∵BC//DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】本题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法，难度不大．
(1)证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；
(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．
23.【答案】(1)证明：∵CE平分∠BCA，CF平分∠BCA的外角，
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，
∵MN/​/BC，
∴∠PEC=∠BCE，∠PFC=∠DCF，
∴∠ACE=∠PEC，∠ACF=∠PFC，
∴PE=PC，PF=PC，
∴PE=PF；
(2)解：∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥MN，AC=2AP，
∵MN/​/BC，
∴AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，
∵APBC= 36，
∴tan∠ABC=ACBC=2 36= 33，
∴∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=60°．

【解析】(1)根据角平分线的定义得出∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，根据平行线的性质得出∠PEC=∠BCE，∠PFC=∠DCF，则∠ACE=∠PEC，∠ACF=∠PFC，根据等角对等边即可求证；
(2)根据正方形的性质得出AC⊥MN，AC=2AP，进而推出△ABC是直角三角形，则tan∠ABC=ACBC= 33，得出∠ABC=30°，即可解答．
本题考查了正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性定义，等腰三角形的判定，解直角三角形，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分；两直线平行，内错角相等；等角对等边．
24.【答案】解：∵EF/​/BC，
∴∠BAF=180°−∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=12∠BAF=50°，
∵EF/​/BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
25.【答案】解：(1)如图所示：PQ即为所求；
(2)如图所示：PR即为所求；
(3)∠PQC=60°
理由：∵PQ/​/CD，
∴∠DCB+∠PQC=180°，
∵∠DCB=120°，
∴∠PQC=180°−120°=60°．
【解析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．
(1)过点P作PQ/​/CD，交AB于点Q；
(2)过点P作PR⊥CD，垂足为R；
(3)利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．