初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）4.6 两条平行线间的距离优秀习题

这是一份初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）4.6 两条平行线间的距离优秀习题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE/​/BC交AB于E，点F在边AD上，则阴影部分的面积为( )
A. 5B. 5 3C. 10D. 10 3
2.如图，在口ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF.给出下列结论：①四边形EBFD为平行四边形；②BE/​/DF；③AB=DE；④BE=DF；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE.其中正确的结论有( )
A. ①②③④⑥B. ②④③⑤⑥C. ①②④⑤⑥D. ①③④⑤⑥
3.如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m//n，则下列说法正确的是 ( )
A. AC=BPB. △ABC的周长等于△BCP的周长
C. △ABC的面积等于△ABP的面积D. △ABC的面积等于△PBC的面积
4.如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m // n，则下列说法正确的是( )
A. AC=BPB. △ABC的周长等于△BCP的周长
C. △ABC的面积等于△ABP的面积D. △ABC的面积等于△PBC的面积
5.下列结论中，正确的有
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③面积相等的两个三角形全等；
④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；
⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部.( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
6.如图，AD//BC，点E是AD的中点，图中与△ABE的面积相等的三角形的个数为( )
A. 1；B. 2；C. 3；D. 4.
7.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个5×5的方格纸中，找出格点C使ΔABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
8.如图，已知△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是( )
A. 68B. 50C. 5D. 10
9.如图，三条相互平行的直线l1，l2和l3分别经过正方形ABCD的三个顶点，l2交边AD于点E.若l1与l2之间的距离为3，l1与l3之间的距离为7，则CE的长为( )
A. 5
B. 254
C. 7
D. 152
10.已知直线a，b，c在同一平面内，且a // b // c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是( )
A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对
11.如图，点A，B为定点，定直线l/​/AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值： ①线段MN的长；②△PAB的周长; ③△PMN的面积; ④直线MN，AB之间的距离; ⑤∠APB的大小.其中不会发生变化的是( )
A. ② ③B. ② ⑤C. ① ③ ④D. ④ ⑤
12.如图，已知△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC2的值是( )
A. 10B. 13C. 20D. 26
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，AB/​/CD，AD与BC相交于点E，∠AEC=40°，在直线CD上方有一点F，连接CF，AF，EF，若EF平分∠CED，∠DCF=∠BAE.则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
①∠CFE=70°；②∠BCF=∠AFC；③∠BAF−∠ADC=70°−∠AFE；④三角形AEF的面积等于三角形BDE的面积．
14.如图，AB/​/CD，AD//BC，AD=5，BE=8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为_______．
15.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1//l2//l3.若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt△ABC的面积为______ ．
16.如图，三条直线a、b、c互相平行，△ABC的三个顶点分别在三条平行线上.已知∠BAC=90°，AB=AC，且a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为3，则BC= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知直线l1//l2．
(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l，使得l//l1//l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A,B,C分别在l,l1,l2上，且▵ABC为等腰直角三角形，求▵ABC的面积．
18.(本小题8分)
在矩形ABCD中，AB=5，BC=13，在DC上取一点E，将△BCE沿直线BE折叠，得到△BEF．
(1)如图1，若点F刚好落在AD上时，求DE的长；
(2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离．
19.(本小题8分)
按下列要求画图并填空．
已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点．
(1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E；
(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F；
(3)过点P画直线PM/​/AB，交CD于点M；
(4)点P到直线CD的距离是线段______的长；
(5)直线PM与AB间的距离是线段______的长．
20.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE/​/AC，且DE=12AC，连接CE，AE．
(1)求证：四边形ECOD是矩形；
(2)若BD=4，AE=2 10，求平行线AD与BC间的距离．
21.(本小题8分)
为保持室内空气的清新，某车间的自动换气窗采用以下设计，窗子的形状是六边形ABCDEF，它可以看作是由一个矩形和等腰梯形组成的通风口是一个倒立的等腰△MON.其顶点固定在矩形底边AB的中点O上，横杆MN在AFE和BCD两侧移动且保持与底边AB平行.经测量，AB//DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°．
(1)设等腰△MON的底边上的高为x，结合图1和图2分别表示S△MON并写出x的范围；
(2)模杆MN在两侧滑动时，S△MON有没有最大值？若有，请求出；若没有，说明理由．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为点A(0,−2)，B(1,−3)，C(2,−1)，D(1,0)．
请回答下列问题：
(1)画出□A1B1C1D1，使其与□ABCD关于原点O成中心对称．
(2)□ABCD的面积是 ．
(3)AB与CD之间的距离是 ．
23.(本小题8分)
如图，已知直线a/​/b，点A为直线a、b之间的一定点，点B、C分别在直线a、b上，按照下列要求作出等边△ABC.要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹；③写出必要的文字说明．
(1)如图，已知点A到直线a、b的距离相等；

(2)如图，已知点A为直线a、b间任意一点．
24.(本小题8分)
如图，CD是⊙O的直径，AC，AB，BD是⊙O的弦，AB/​/CD．
(1)求证：AC=BD；
(2)如果弦AB的长为8，AB与CD间的距离是3，求CD的长．
25.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)如果DE=3，EF=4，DF=5，求EB、DF两平行线之间的距离．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/CB，
∵PE/​/BC，
∴PE/​/AD，
∵点F在边AD上，
∴S△AEP=S△EFP，
∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，
过A作AM⊥BC交BC于M，如图，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=12AB=2，
∴AM= AB2−BM2= 42−22=2 3，
S△ABC=12×BC×AM=12×5×2 3=5 3，
即阴影部分的面积等于5 3．
故选：B．
由四边形ABCD为平行四边形，得AD/​/CB，又PE/​/BC，则PE//AD，根据平行线间的距离相等即可得出S△AEP=S△EFP即有阴影部分的面积等于△ABC的面积，过A作AM⊥BC交BC于M，再由勾股定理，30°所对直角边是斜边的一半即可求解．
本题考查了勾股定理，平行线之间的距离，三角形的面积，含30度角的直角三角形，平行四边形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，BE/​/DF，
∴①正确；②正确；④正确；
∵根据已知不能推出AB=DE，
∴③错误；
∵BN⊥AC，DM⊥AC，
∴∠BNO=∠DMO=90°，
在△BNO和△DMO中，
∠BNO=∠DMO∠BON=∠DOMBO=OD，
∴△BNO≌△DMO(AAS)，
∴BN=DM，
∵S△ADE=12×AE×DM，S△ABE=12×AE×BN，
∴S△ADE=S△ABE，
∴⑤正确；
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∴⑥正确；
故选：C．
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，求出BN=DM，即可求出各个选项．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】B
【解析】解：①对顶角相等．正确；
②两直线平行，同旁内角相等，正确；
③面积相等的两个三角形全等．错误，面积相等的两个三角形不一定全等；
④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等．错误，SSA不一定全等；
⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部，正确．
故选：B．
根据对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的高等知识，一一判断即可．
本题考查对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的高等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线之间的距离，线段的中点的有关知识，根据AD//BC可以得到AD到BC之间的距离相等，结合点E是AD的中点得到AE=ED，进而求出此题．
【解答】
解：∵AD//BC，
∴AD到BC之间的距离相等，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴与△ABE面积相等的三角形有△AEC，△DEB，△DEC共3个
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线之间的距离及三角形的面积.要注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点．首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线．找到所有的格点即可．
【解答】
解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
故选A．
8.【答案】A
【解析】略
9.【答案】B
【解析】解：如图所示，过点D作DN⊥CE于N，过点B作BM⊥CE于M，
∵l1/​/l2/​/l3，l1与l2之间的距离为3，l1与l3之间的距离为7，
∴l2与l3之间的距离为4，
∴BM=4，DN=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠DCB=∠CDE=90°，
∵DN⊥CE，BM⊥CE，
∴∠DNC=∠CMB=90°，
∴∠NCD+∠NDC=∠MCB+∠NCD=90°，
∴∠NDC=∠MCB，
在△DNC和△CMB中，
∠DNC=∠CMB∠NDC=∠MCBCD=BC，
∴△DNC≌△MCB(AAS)，
∴CN=BM=4，
同理可证明∠NDE=∠NCD，
又∵∠DNE=∠CND=90°，
∴△DNE∽△CND，
∴NEDN=DNCN，即NE3=34，
∴NE=94，
∴CE=NE+CN=254，
故选：B．
过点D作DN⊥CE于N，过点B作BM⊥CE于M，则BM=4，DN=3，证明△DNC≌△MCB得到CN=BM=4，再证明△DNE∽△CND求出NE的长即可得到答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线间的距离，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的判定定理．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线间的距离，解题关键是熟练掌握两平行线之间距离的定义，还需注意分类讨论．
根据平行线之间的距离的定义：两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫平行线间的距离，平行线间的距离处处相等，由题目分析得，分两种情况①直线c在直线a，b之间；②直线c不在直线a，b之间，分别讨论即可．
【详解】
解：当直线c在a，b之间时，
∵a，b，c是三条平行的直线，
而a与b的距离为5cm，b与c的距离为3cm，
∴a与c的距离=5−3=2(cm)．
当直线c不在a，b之间时，
∵a，b，c是三条平行的直线，而a与b的距离为5cm，b与c的距离为3cm，
∴a与c的距离=5+3=8(cm)．
综上所述，a与c的距离为2cm或8cm．
故选C．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行线之间的距离，三角形的中位线定理，三角形的周长和面积公式.根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=12AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；根据平行线间的距离相等确定出点P到AB的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化。
【解答】
解：∵点A、B为定点，点M、N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN=12AB，即线段MN的长度不变，故①正确；
由于PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②错误；
∵平行线间的距离相等确定出点P到AB的距离不变，△PAB的底和高都不变，
∴△PMN的面积不变，故③正确；
∵MN平行于AB，
∴直线MN、AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④正确；
在直线l上任选一点P，做三角形ABP的外接圆，由圆外、内角和圆周角的大小可知∠APB的大小会随点P的移动而变化，故⑤错误．
综上所述，不会随点P的移动而变化的是①③④．
故选C．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的知识点有两平行线间的距离，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解此题的关键是构造全等三角形求出AB和BC的长．
过A作AE⊥l3于E，过C作CF⊥l3于F，根据AAS证△AEB≌△BFC，推出AE=BF=2，BE=CF=3，由勾股定理求出AB和BC，再由勾股定理求出AC即可．
【解答】
解：过A作AE⊥l3于E，过C作CF⊥l3于F，
则∠AEF=∠CFB=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°−90°=90°，
∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∵在△AEB和△BFC中
∠EAB=∠CBF∠AEB=∠CFBAB=BC，
∴△AEB≌△BFC(AAS)，
∴AE=BF=2，BE=CF=2+1=3，
由勾股定理得：AB=BC= 22+32= 13，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=26．
13.【答案】①③④
【解析】解：①∵∠AEC=40°，
∴∠CED=180°−∠AEC=140°，
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=∠DEF=12∠CED=70°，
设∠DCF=∠BAE=α，
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠BAE+∠ABE，
∴40°=α+∠ABE，
∴∠ABE=40°−α，
∵AB/​/CD，
∴∠DCB=∠ABE=40°−α，
∴∠BCF=∠DCB+∠DCF=40°−α+α=40°，
∴∠BCF=∠AEC=40°，
∴CF/​/AD，
∴∠CFE=∠DEF=70°，
故结论①正确；
②设AF与CE交于点H，如图1所示：
∵∠BCF=40°，
假设∠BCF=∠AFC=40°，
∵CF/​/AD，
∴∠AFC=∠EAF=40°，
∵∠AEC=40°，
∴∠EAF=∠AEC=40°，
∴HA=HE，
根据已知条件无法证明HA=HE，
∴无法判定∠BCF=∠AFC，
故结论②不正确；
③设∠DAF=β，∠DCF=∠BAE=α，
∴∠BAF=∠BAE+∠DAF=α+β，
∵AB/​/CD，
∴∠ADC=∠BAE=α，
∴∠BAF−∠ADC=α+β−α=β
在△AEF中，∠AEF=∠AEC+∠CFE=40°+70°=110°，
∴∠AFE=180°−(∠DAF+∠AEF)=180°−(+110°)=70°−β，
∴70°−∠AFE=β，
∴∠BAF−∠ADC=70°−∠AFE，
故结论③正确；
④连接AC，如图2所示：
∵CF/​/AD，
∴△AEF与△AEC的公共边AE上的高相同，
∴S△AEF=S△AEC，
∵AB/​/CD，
∴△ABC和△ABD的公共边AB上的高相同，
∴S△ABC=S△ABD，
∴S△ABC−S△ABE=S△ABD−S△ABE，
∴S△AEC=S△BDE，
∴S△AEF=S△BDE，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
①先求出∠CED=140°，根据EF平分∠CED得∠CEF=∠DEF=70°，设∠DCF=∠BAE=α，根据三角形外角性质得∠ABE=40°−α，再根据AB/​/CD得∠DCB=∠ABE=40°−α，进而得∠BCF=∠DCB+∠DCF=40°，则∠BCF=∠AEC=40°，由此得CF/​/AD，则∠CFE=∠DEF=70°，由此可对结论①进行判断；
②设AF与CE交于点H，假设∠BCF=∠AFC=40°，根据CF/​/AD得∠AFC=∠EAF=40°，则∠EAF=∠AEC=40°，进而得HA=HE，当时根据已知条件无法证明HA=HE，由此可对结论②行判断；
③设∠DAF=β，∠DCF=∠BAE=α，则∠BAF=α+β，根据AB/​/CD得∠ADC=∠BAE=α，则∠BAF−∠ADC=β，在△AEF中，∠AEF=110°，则∠AFE=70°−β，进而得70°−∠AFE=β，由此可对结论③行判断；
④连接AC，根据CF/​/AD得S△AEF=S△AEC，再根据AB/​/CD得S△ABC=S△ABD，进而得S△AEC=S△BDE，由此可对结论④行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，熟练掌握平行线的判定和性质，平行线间的距离是解决问题的关键．
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键．作DG⊥BC，AH⊥BC，根据△DCE的面积为6，求出DG，根据两平行线间的距离相等得到AH的长，根据平行四边形的面积公式得到答案．
【解答】
解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，
∵AD/​/BC，
∴AH=DG，
又∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
又∵BE=8，
∴CE=BE−BC=8−5=3，
又∵△DCE的面积为6，
即12×CE×DG=6
∴DG=4，
∴AH=DG=4，
∴四边形ABCD的面积=BC×AH=20
故答案为：20．
15.【答案】26
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离．
解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，并证明△ABE≌△BCF．
【解答】
过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图，
∵EF⊥l2，l1//l2//l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，
∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°．
又∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，∴∠EAB=∠FBC．
在△ABE和△BCF中，∠AEB=∠BFC∠EAB=∠FBCAB=BC,∴△ABE≌△BCF(AAS)．
∴BE=CF=4，AE=BF=6，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2，∴AB2=52．
∴S△ABC=12AB⋅BC=12AB2=26．
故答案为26．
16.【答案】 26
【解析】解：过A作DE⊥a于D，交直线c于点E，如图所示：
∵a/​/b/​/c，
∴DE⊥c，DE⊥b，
∴AD=2，AE=3，
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DBA，
在△ABD和△CAE中，
∠ADB=∠AEC∠DBA=∠CAEAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE=3，
∴根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2=22+32=13=AC2，
∴BC= AB2+AC2= 26．
故答案为： 26．
过A作DE⊥a于D，交直线c于点E，证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE=3，根据勾股定理得出AB2=AD2+BD2=22+32=13，根据勾股定理可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
17.【答案】(1)见解析；
(2)▵ABC的面积为1或52．

【解析】【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：
(1)先作出与l2的垂线，再作出夹在l1,l2间垂线段的垂直平分线即可；
(2)分∠BAC=90∘,AB=AC；∠ABC=90∘,BA=BC；∠ACB=90∘,CA=CB三种情况，结合三角形面积公式求解即可
【详解】(1)解：如图，
直线l就是所求作的直线．
(2)①当∠BAC=90∘,AB=AC时，
∵l//l1//l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，根据图形的对称性可知：BC=2，
∴AB=AC= 2，
∴S△ABC=12AB⋅AC=1．
②当∠ABC=90∘,BA=BC时，
分别过点A,C作直线l1的垂线，垂足为M,N，
∴∠AMB=∠BNC=90∘．
∵l//l1//l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，
∴CN=2,AM=1．
∵∠MAB+∠ABM=90∘，∠NBC+∠ABM=90∘，
∴∠MAB=∠NBC，∴△AMB≌△BNC，
∴BM=CN=2．
在Rt▵ABM中，由勾股定理得AB2=AM2+BM2，
∴AB= 5．
∴S△ABC=12AB⋅BC=52．
③当∠ACB=90∘,CA=CB时，同理可得，S▵ABC=52．
综上所述，▵ABC的面积为1或52．
18.【答案】解：(1)由折叠可知BC=BF=13，CE=EF，
∵∠A=90°，
∴AB2+AF2=BF2，
∴AF= BF2−AB2=12，
∴DF=1，
∵∠D=90°
∴DF2+DE2=EF2，
∴1+DE2=CE2=(5−DE)2，
∴DE=2.4;
(2)如图：作MG⊥BA，
由翻折可得BF=BC=13，∠BFE=90°，则∠BFM=90°
∵BM平分∠ABF，∠BFM=90°，MG⊥BA，
∴GM=MF，
∵GM=MF，BM=BM，
∴Rt△BMG≌Rt△BMF，
∴BG=BF=13，
∴AG=BG−AB=8，
∵AD⊥AB，GM⊥AB，
∴GM//AD，
∴M到AD的距离为8．
【解析】本题考查>翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识．
(1)由折叠可知BC=BF=13，CE=EF，求出AF，DF，再根据勾股定理得出方程，即可解答；
(2)作MG⊥BA，由翻折可得BG=BC=13，∠BFE=90°，则∠BFM=90°，证GM=MF，证Rt△BMG≌Rt△BMF，得出AG，再证GM/​/AD，即可解答．
19.【答案】解：(1)如图，直线PE即为所求；
(2)如图，直线PF即为所求；
(3)如图，直线PM即为所求；
(4)PF；
(5)PE．
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)点P到直线CD的距离是线段PF的长．
故答案为：PF；
(5)直线PM与AB间的距离是线段PE的长．
故答案为：PE．
(1)(2)根据垂线的定义画出图形即可；
(3)根据平行线的定义画出图形即可；
(4)根据点到直线的距离的定义可得结论；
(5)根据平行线之间的距离可得结论．
本题考查作图−复杂作图，点到直线的距离，平行线之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，OC=12AC．
∴DE=OC．
∵DE/​/AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：∵BD=4，AE=2 10，
∴OD=OB=12BD=2，
∴CE=OD=2，
∵∠ACE=90°，
∴AC= AE2−CE2= (2 10)2−22=6，
∴四边形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×6×4=12，
如图，过点D作DH⊥BC于H，
∴S四边形ABCD=BC⋅DH，
∵∠DOC=90°，

∴CD= OC2+OD2= 32+22= 13，
∴BC=CD= 13，
∴四边形ABCD= 13×DH=12，
∴DH=12 1313，
∴平行线AD与BC间的距离为12 1313．
【解析】(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形；
(2)根据勾股定理得到AC= AE2−CE2= (2 10)2−22=6，根据平行四边形的面积公式得到四边形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×6×4=12，如图，过点D作DH⊥BC于H，根据勾股定理得到CD= OC2+OD2= 32+22= 13，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：∵横杆MN在AFE和BCD两侧移动且保持与底边AB平行，
又∵AB=3(米)，AF=BC=1(米)，∠A=∠B=90°，等腰△MON的底边上的高为x，
∴①当0