（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题07 不等式的基本性质（六大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：用不等式（组）表示不等关系
题型二：作差法比较两数（式）的大小
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
题型四：利用不等式的性质证明不等式
题型五：利用不等式的性质比较大小
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【知识点梳理】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
【典例例题】
题型一：用不等式（组）表示不等关系
例1．（2023·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.
故选：C.
例2．（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.
故选：B.
例3．（2023·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a + b + c ≤MB．a +b +c >MC．a + b + c ≥MD．a + b+ c bc2，则a>bB．若a2>b2，则a>b
C．若a>b>0，则D．若，则a>b
【答案】AC
【解析】对于A，若ac2>bc2，又c2>0，则a>b，故选项A正确；
对于B，若，满足a2>b2，但是ab>0，则，所以，即，故选项C正确；
对于D，若，满足，但是a”或“”）.
【答案】
【解析】因为，则，
根据不等式的性质可得，.
故答案为：.
15．（2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知命题：①若，则；②若，则；③若且，则.其中真命题的序号是__．
【答案】①②③
【解析】①若 , 则，则，则 , 因此①正确;
②若 , 则 ,则, 因此②正确;
③, 又 , 因此③正确.
故答案为: ①②③
16．（2023·浙江杭州·高一校联考期中）实数x，y满足，，那么的取值范围是__________
【答案】
【解析】令，，则，，
由已知可得，，
则，，，
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）（1）已知 ，求证：.
（2）已知，求代数式和的取值范围．
【解析】（1）
（当且仅当等号成立）
（2）
∴．
由，得①．
由，得②．
18．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）比较下列各组中与的大小，并给出证明.
(1)与，其中；
(2)与；
(3)与.
【解析】（1），故.
（2），
当且仅当时，等号成立，故.
（3）.
当时，；当时，；当时，.
19．（2023·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知、，比较与的大小.
【解析】
当时，，，则；
当时，，则
当时，，，则.
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
20．（2023·全国·高一专题练习）现有，，，四个长方体容器，，的底面积均为，高分别为，；，的底面积均为，高分别为，（其中．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
【解析】设，，，的体积分别为，，，，
①当时，则，即，
在此种条件下取，能够稳操胜券．
②当时，则，即，
在此种条件下取，能够稳操胜券．
若甲先取、，.
若甲先取、，
因为，的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；
若甲先取、，，
因为，的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；
在不知道，的大小的情况下，取，能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．
故可能有种，就是取，．
21．（2023·四川眉山·高一校考阶段练习）（1）已知，求的取值范围；
（2）已知，求证：.
【解析】（1）.
且，
.
∴的取值范围为.
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以
22．（2023·高一单元测试）解答下列问题
(1)设，，，比较与的大小；
(2)已知，，求的取值范围.
【解析】（1）因为-（）==，
所以；
（2），，
令，
所以，解得，
所以，，
所以，
即.
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