（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题01 集合的概念与表示（六大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：集合的含义
题型二：元素与集合关系的判断
题型三：集合的确定性、互异性、无序性
题型四：集合的表示：描述法
题型五：集合的表示：列举法
题型六：集合的综合问题
【知识点梳理】
知识点一：集合的概念
(1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.
知识点二：集合与元素的关系
如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”.
知识点三：集合中元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是确定的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的.
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.
知识点四：常用数集及其记法
所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；
所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；
所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
知识点五：集合的表示
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等.
使用说明
①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法.
使用说明
①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.
知识点六：集合的分类
一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集.
【典例例题】
题型一：集合的含义
例1．（2023·河南濮阳·高一校考阶段练习）下列叙述能够组成集合的是（ ）
A．我校所有体质好的同学B．我校所有800米达标的女生
C．全国所有优秀的运动员D．全国所有环境优美的城市
【答案】B
【解析】A中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合；
B中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；
C中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；
D中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，
故选：B．
例2．（2023·吉林松原·高一校考阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．跑步速度快的人B．乾安七中2021级高一年级全体学生
C．小于5的实数D．直线y＝2x＋1上所有的点
【答案】A
【解析】由于集合中的元素满足确定性，选项中的对象均满足确定性，而选项中的对象不满足确定性，
故选项中的对象不能构成集合.
故选：A
例3．（2023·安徽六安·高一校考期中）下列四组对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级跑步很快的同学B．晓天中学足球队的同学
C．晓天镇的大河D．著名的数学家
【答案】B
【解析】集合元素具有确定性，
高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.
“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，
所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.
故选：B
变式1．（2023·高一单元测试）下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点
B．德育中学的全体高一学生
C．某高一年级全体视力差的学生
D．与大小相仿的所有三角形
【答案】B
【解析】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误；
对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确；
对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误；
对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误
故选：B
题型二：元素与集合关系的判断
例4．（2023·高一课时练习）设集合，则下列元素属于A的是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【解析】，故，所以ABD错误，C正确，
故选：C
例5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
例6．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，即集合B的可能元素，则有：
由，则，可得；
由，且，可得，且；
由，且，可得，且；
由，且，可得；
综上所述：.
故选：D.
变式2．（2023·河南洛阳·高一校考阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】1是自然数，故，故①正确；
不是正整数，故，故②错误；
是有理数，故，故③正确；
是实数，故，故④错误；
是无理数，故，故⑤错误.
故说法正确的有2个.
故选:B.
题型三：集合的确定性、互异性、无序性
例7．（2023·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．9D．10
【答案】C
【解析】由可知集合,故共有9个元素，
故选：C
例8．（2023·高一课时练习）以方程和的解为元素的集合含有的元素个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解方程，得，解方程，得，
所以以两个方程的解为元素的集合含有的元素个数是3，C正确.
故选：C
例9．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知集合 ，，则（ ）
A．-1B．-3或-1C．3D．-3
【答案】D
【解析】由题意， 或 ，
由①得， ，或 ，由② ；
当 时， ，不符合集合描述规则，舍去，
；
故选：D.
变式3．（2023·江苏南京·高一校考期中）已知集合，若，则实数的值为（ ）．
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】，且，或
⑴、当即或，
①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②、当时，，，此时，符合题意；
⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数的值为1.
故选：B
变式4．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若集合，则的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】易知，∵，
∴，即，
∴.
∴，解得或.
当时，集合为，不符合集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合为}.
∴，.
∴.
故选：C
变式5．（2023·全国·高一专题练习）设集合，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【解析】①当时, ,
则或，
当时，该方程组无解，当时，解得
②当时，，则或.
当时，该方程组无解，当时，解得
③当，即时，显然，则，此时，
当时，该方程组无解，当时，该方程组无解.
综上所述，，或，，故
故选：C
题型四：集合的表示：描述法
例10．（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合__________.
【答案】且
【解析】平面直角坐标系中第二象限的所有点的横坐标都,小于0，纵坐标都大于0，
平面直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合为且，
故答案为：且.
例11．（2023·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．
【答案】
【解析】因为正奇数除以，余数为，
所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为，
故答案为：
例12．（2023·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
【解析】（1）所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）不等式的解集，用描述法可表示为：.
（3）方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
（4）抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
（5）集合，用描述法可表示为：且.
变式6．（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)偶数组成的集合；
(2)正奇数组成的集合；
(3)不等式－x2≥0的解集；
(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；
(5)集合.
【解析】（1）由偶数可以表示成整数的两倍，
故偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数}
（2）由奇数可以表示成整数的两倍加1，
故正奇数组成的集合可表示为{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数}
（3）不等式－x2≥0的解集可表示为{x|－x2≥0}
（4）由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负
故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：{(x, y)|x>0,y