2025年中考数学二轮复习专题：圆与相似三角形的综合练习docx

这是一份2025年中考数学二轮复习专题：圆与相似三角形的综合练习docx，共32页。
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直线EP与圆相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若直径AB为10，BC＝6，求AD长．
3．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，＝，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
4．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：BD＝ED．
（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．
5．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，．
（1）求证：△ACD∽△ECB；
（2）若AC＝3，BC＝1，求CE的长．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
（1）求证：BC•DF＝BF•CE；
（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径．
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
8．如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．
（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；
（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；
（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长．
9．如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
（1）求证：AE2＝AF•AD；
（2）若sin∠ABD＝，AB＝5，求AD的长．
10．如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M．
求证：（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2＝OM•PM．
11．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．
13．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．
15．如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
16．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，AD交BC于点E．AB＝5，tan∠CAD＝．
（1）求证：△DBE∽△DAB；
（2）求线段BE的长．
18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
19．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．
20．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC＝，求AD的长．
21．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．
22．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝AD，求的值．
24．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD＝∠BDC；
（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．
参考答案
1．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE，
∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝，
∵AH＝3，
∴HC＝4．
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
∴r＝
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴＝，
∴，
∴．
2．【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线EP与圆相切于点C，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
在Rt△ABC中，，
在Rt△ABC和Rt△ACE中，
∵∠DAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△ACE，
∴＝，即＝，
∴EC＝4.8，
∴AE＝＝6.4，
连接CD，
∴CD＝BC＝6，
在Rt△DCE中，，
∴AD＝AE﹣DE＝6.4﹣3.6＝2.8．
3．【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）连接BD，如图：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
设∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
即2α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°
∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°
4．【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵点D为的中点，O为圆心，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBE+DBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠DCF+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
∵DF∥BC，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠F，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴BD＝CD，
由（2）知BD＝ED，
∴CD＝BD＝DE＝5，
∵CF＝4，
∴，
∴AB＝．
5．【解答】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠EBC，
∴△ACD∽△ECB；
（2）解：过B点作BH⊥CD于H点，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝×＝，
在Rt△BCH中，
∵∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝BC＝，
在Rt△BDH中，DH＝＝＝，
∴CD＝CH+DH＝+＝2，
∵△ACD∽△ECB，
∴CA：CE＝CD：CB，即3：CE＝2：1，
解得CE＝，
即CE的长为．
6．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BFD＝∠C，
∵＝，
∴∠BEC＝∠BDF，
∴△BCE∽△BDF，
∴＝，
∴BC•DF＝BF•CE；
（2）解：连接DE，过E作EH⊥BD于H，如图：
∵∠C＝90°，tan∠BFC＝，
∴＝，
∴BC＝CF，
∵∠A＝∠CBF，
∴90°﹣∠A＝90°﹣∠CBF，即∠ABC＝∠BFC，
∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝，
∴＝，
∴AC＝BC＝×（CF）＝5CF，
∵AC﹣CF＝AF＝4，
∴5CF﹣CF＝4，
∴CF＝，
∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5，
∴AB＝＝＝5，
由（1）知△BCE∽△BDF，
∴∠CBE＝∠DBF，
∴∠CBE﹣∠FBE＝∠DBF﹣∠FBE，即∠CBF＝∠EBA，
∵∠A＝∠CBF，
∴∠A＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∴BH＝AH＝AB＝，
∵∠BEH＝90°﹣∠EBA＝90°﹣∠CBF＝∠BFC，
∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝，
∴＝，即＝，
∴EH＝，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠EDH＝90°﹣∠DEH＝∠BEH，
∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝，
∴＝，即＝，
∴DH＝，
∴BD＝DH+BH＝+＝3，
∴⊙O的直径为3．
答：CF的长为，⊙O的直径为3．
7．【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcsA＝×＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴CG是AF的垂直平分线，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴ED＝．
8．【解答】解：（1）如图1，连接OD，
∵CD切半圆O于点D，
∴OD⊥CE，
∵OA＝，AC＝1，
∴OC＝，BC＝4，
∴CD＝＝2，
∵BE⊥CE，
∴OD∥BE，
∴，
∴，
∴CE＝，
如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，
∴AF∥CE，
∴MN∥CB，
∴四边形APMC是平行四边形，
∴CM＝PA＝＝＝＝x，
∵NM∥BC，
∴△BCE∽△NME，
∴，
∴＝，
∴y＝﹣x+4；
（2）∵PN＝y﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，
∴可分为三种情况，
当PH：PN＝3：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，
∴a＝x＝，
当PH：PN＝4：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，
∴a＝x＝，
当PH：PN＝3：4时，x＝﹣x+3，解得：x＝，
∴a＝x＝，
综上所述：a的值为或或；
（3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，
则∠AQB＝∠AGQ＝90°，PH＝QG＝x，
∴∠QAB＝∠BQG，
∵NQ＝x﹣3，PN＝y﹣1＝﹣x+3，
∴HG＝PQ＝NQ+PN＝x，
∵AH＝x，
∴AG＝AH+HG＝3x，
∴tan∠BQG＝tan∠QAB＝＝＝，
∴BG＝QG＝x，
∴AB＝AG+BG＝x＝3，
∴x＝，
∴y＝﹣x+4＝，
∴MN的长为．
9．【解答】（1）证明：∵EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径，
∴∠AHE＝∠AEC＝90°，
∵∠HAE＝∠EAC，
∴△HAE∽△EAC，
∴＝，
∴AE2＝AH•AC，
∵∠HAF＝∠DAC，∠AHF＝∠ADC＝90°，
∴△AHF∽△ADC，
∴＝，
∴AH•AC＝AF•AD，
∴AE2＝AF•AD．
（2）解：连接BC，
∵∠ADC的平分线交⊙O于点B，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴＝，
∴AB＝BC＝5，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴＝sin∠ACD＝sin∠ABD＝，
∴AD＝AC＝×5＝2，
∴AD的长是2．
10．【解答】证明：（1）连接OB，如图所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠CAB+∠OCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD+∠OCB＝90°，
∴∠CBD+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴PD是⊙O的切线；
（2）由（1）知PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠AMO＝90°，
∴∠APM+∠PAM＝90°，
∵∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝90°，
∴∠APM＝∠OAM，
∴△OAM∽△APM，
∴，
∴AM2＝OM•PM．
11．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；
（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB是⊙O的直径，AD＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．
12．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠DAO＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠D＝∠EBC；
（2）解：∵CD＝2BC，
∴BD＝3BC，
∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，
∴△DAB∽△BEC，
∴＝＝3，
∴AB＝3EC，
∵AB＝AC，AE＝3，
∴AE+EC＝AB，
∴3+EC＝3EC，
∴EC＝1.5，
∴AB＝3EC＝4.5，
∴⊙O的半径为2.25．
13．【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴＝，
∴PB＝＝＝，
∴DP＝﹣6＝．
故答案为：．
14．【解答】（1）证明：∵EF是⊙O的切线，
∴DA⊥EF，
∵BC∥EF，
∴DA⊥BC，
∵DA是直径，
∴，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC．
（2）解：连接DB，
∵BG⊥AD，
∴∠BGD＝∠BGA，
∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°，
∴∠ABG＝∠BDG，
∴△ABG∽△BDG，
∴＝，
即BG2＝AG×DG，
∵BC＝16，BG＝GC，
∴BG＝8，
∴82＝16×AG，
解得：AG＝4，
在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4，
∴AB＝4．
故答案为：4．
15．【解答】（1）证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，则∠M＝∠CND＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，
∵A，B，D，C四点共圆，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴△DCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM，
同理得：AM＝AN，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AM＝DM＝7，
∴AD＝7，
由解法一可得：OE＝．
即点O到AD的距离是．
16．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵EF⊥AB，
∴∠GFA＝90°，
∴∠A+∠AGF＝90°，
∵EG＝EC，OA＝OC，
∴∠EGC＝∠ECG，∠A＝∠OCA，
又∵∠EGC＝∠AGF，
∴∠A+∠EGC＝90°，
∴∠OCA+∠ECG＝90°，
∠OCE＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，
∴＝，
即＝，
解得OC＝2，
∴OD＝6，
∴DC＝＝＝4，
∵点F为OA的中点，OA＝OC，
∴OF＝1，
∴DF＝7，
∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，
∴△EFD∽△OCD，
∴，
即，
解得DE＝，
∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，
即EC的长是．
17．【解答】（1）证明：∵D是BC的中点．
∴，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠CBD，
∵∠D＝∠D，
∴△DBE∽△DAB；
（2）解：由（1）知∠CAD＝∠DAB＝∠CBD，
∵，
∴tan∠CBD＝tan∠DAB＝tan∠DBE＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴＝＝，
∴AD＝2DB，
∵AB＝5，
∴（2DB）2+DB2＝52，
∴，
∵＝，
∴DE＝
∴BE＝＝＝．
答：线段BE的长为．
18．【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD＝4，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径为．
19．【解答】（1）证明：如图1，
∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，
∵△ABC是边长为6等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，
∵DC＝2AD，
∴AD＝2，DC＝4，
∵△CED∽△BAD，
∴，
∴EC＝3DE，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝2EF，
设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，
∴FC＝5x，
在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，
∴（x）2+（5x）2＝42，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴EC＝6x＝．
20．【解答】（1）证明：连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
又∵点C是的中点
∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，
又∵AC＝AC
∴△ACE≌△ACB（ASA），
∴CE＝CB，
∴CE＝CD；
（2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，
∴AE＝AB＝3，
又∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
又∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
即：，
解得：DE＝2，
∴AD＝AE﹣DE＝1．
21．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴∠ODE+∠DEA＝180°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）方法一：证明：连接BD，如图1所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF＝∠ADB＝90°，
∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，
∴∠EFD＝∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF＝EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠DAB，
∴DF＝DB，
∴DF2＝EF•AB．
方法二：作OM⊥DF于点M，连接OF、OD，如图2所示，
∵OD＝OF，OM⊥DF，
∴DM＝MF＝DF，
∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝∠OMD，
又∵∠DEF＝∠OMD，
∴△DEF∽△OMD，
∴，
∴EF•OD＝DF•MD，
∵OD＝AB，DM＝DF，
∴EF•AB＝DF•DF，
∴DF2＝EF•AB．
22．【解答】解：（1）连接OB，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠D+∠BCD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D+∠OBC＝90°，
∵∠D＝∠BAC，∠BAC＝∠CBG，
∴∠CBG+∠OBC＝90°，
即∠OBG＝90°，
∴直线BG与⊙O相切；
（2）∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠COA，CH＝，
∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠EBF＝∠COH，
∵EF⊥BC，OH⊥AC，
∴∠BEF＝∠OHC＝90°，
∴△BEF∽△OCH，
∴，
∵＝，OC＝OD，
∴，
∵CH＝AC，
∴，
23．【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴DK＝KB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，
∴△ODC≌△OBC（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵CD＝AD，
∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．
∵DK＝KB，AO＝OB，
∴OK＝AD＝a，
∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，
∴△CDK∽△COD，
∴＝，
∴＝
整理得：2（）2+（）﹣4＝0，
解得＝或（舍弃），
∵CK∥AD，
∴＝＝＝．
24．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠OBD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDC．
（2）解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴＝．
∵BD＝AD，
∴＝，
∴＝，
又∵AC＝3，
∴CD＝2．