2023年中考数学二轮复习《相似三角形》中档题练习（含答案）

这是一份2023年中考数学二轮复习《相似三角形》中档题练习（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.P是△ABC一边上的一点(P不与A、B、C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB∶AC等于( )
A.BD∶CD B.AD∶CD C.BC∶AD D.BC∶AC
3.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上,这块三角板绕O点旋转,两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F,连接EF,则在运动过程中,△OEF与△ABC的关系是（ ）

A.一定相似 B.当E是AC中点时相似 C.不一定相似 D.无法判断
4.如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为( )
A.4cm2 B.6cm2 C.8cm2 D.10cm2
5.如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P是BC的中点；④BP：B＝2：3.其中能推出△ABP∽△ECP的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则AD：AC的值为( )
A.eq \f(1,2) B.-eq \f(1－\r(5),2) C.1 D.eq \f(1＋\r(5),2)
7.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是( )
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：25
8.如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是( )
A.△ADC∽△CFB B.AD＝DF C.＝ D.＝
9.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O.
则下列结论：
①四边形ABEC是正方形；
②CO：BE＝1：3；
③DE＝eq \r(2)BC；
④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝eq \f(1,2)DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C.设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为( )
A.－eq \f(12x,x－4) B.－eq \f(2x,x－1) C.－eq \f(3x,x－1) D.－eq \f(8x,x－4)
11.如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是eq \(AC,\s\up8(︵))上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝eq \f(4,5)，则AE的长是( )
A.3 B.2 C.1 D.1.2
12.如图，AB是⊙O的直径且AB＝4eq \r(3)，点C是OA的中点，过点C[，作CD⊥AB交⊙O于D点，点E是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AE·AF的值为( )

A.8eq \r(3) B.12 C.6eq \r(3) D.9eq \r(3)
二、填空题
13.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝1，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝ .
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD为AB边上的中线,AE⊥CD于点E,交BC边于点F,若AF=4,AB=8,则线段EF的长为 ．
15.如图，在△ABC中，G是重心.如果AG＝6，那么线段DG的长为 .
16.如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F.
以下结论：①E为AB的中点；②FC＝4DF；③S△ECF＝eq \f(9,2)S△EMN；④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．其中一定正确的是 ．
17.如图，已知点A是双曲线y＝eq \f(1,x)在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝eq \f(k,x)(k＜0)上运动，则k的值是 ．
18.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S1＝ ，S2027＝ .
三、解答题
19.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
20.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB= °．
（2）如图,在△ABC中,AC=2,BC=eq \r(2)，CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长．
21.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长与面积．
22.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
(1)已知BD＝eq \r(2)，求正方形ABCD的边长；
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
23.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长.
答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.C.
6.B.
7.B
8.C.
9.D.
10.A
11.C.
12.B
13.答案为：eq \f(5,3)或eq \f(3,5)..
14.答案为0.8．
15.答案为：3.
16.答案为：①③④．
17.答案为：﹣3.
18.答案为：1；(eq \f(1,4))2026.
19.（1）证明：如图，连接OE． ∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径， ∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，
即ED平分∠BEP；
（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x﹣5，
在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2 ，解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴ PF：BE=EF：AE，
∴PF= eq \f(16,3)，
∴PD=PF﹣DF= eq \f(16,3)﹣2= eq \f(10,3)．
20.解：（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
（2）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴=，
设BD=x，
∴（）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴==
21.证明：(1)∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
(2)如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，∴＝，∴x＝，
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．
22.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB2＝BD2，
∵BD＝eq \r(2)，
∴AB＝1，
∴正方形ABCD的边长为1；
(2)CN＝eq \r(2)CM．证明：∵CF＝CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN＝∠CBN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNB，
∴∠BAF＝∠BCN，在△ABF和△CBN中，
，
∴△ABF≌△CBN(AAS)，
∴AF＝CN，
∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，
∴∠BAF＝∠OCM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABF＝∠COM＝90°，
∴△ABF∽△COM，
∴＝，∴＝＝，
即CN＝eq \r(2)CM．
23.解：(1)AB是⊙O的切线.理由：连接DE、CF.
∵CD是直径，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＋∠ACE＝180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA＝∠CAE＝∠DCF.
∵∠DFC＝90°，
∴∠DCF＋∠CDF＝90°.
∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O的切线.
(2)∵∠CPF＝∠APC，∠PCF＝∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴eq \f(PC,PA)＝eq \f(PF,PC)，
∴PC2＝PF·PA.
设PF＝a，则PC＝2a，PA＝a＋5，
∴4a2＝a(a＋5)，
∴a＝eq \f(5,3)，
∴PC＝2a＝eq \f(10,3).