2025年中考数学二轮复习专题代数新定义练习

这是一份2025年中考数学二轮复习专题代数新定义练习，共10页。试卷主要包含了若抛物线L，y＝f的“奇妙点”．等内容，欢迎下载使用。
（1）①若A（1，2），B（3，4），则＝ ．
②若点A（x1，2），B（x2，﹣6），当A、B都在函数y＝2x的函数图象上时，＝
③若点A（x1，2），B（x2，﹣4），当A、B都在函数y＝﹣的函数图象上时，＝ ．
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，在第一象限内交双曲线y＝（k＞0）于C，D两点，且满足＝＝．若k﹣b+≥m恒成立，求m的最大值．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣2bx﹣3c（b≠0）在同一坐标平面内交于A（x1，y1），B（x2，y2），且满足下列两个条件：①a＞2b＞3c，②抛物线过（1，0），试求的取值范围．
变式1.我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A，B两点）作x轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x轴上的“垂足距”，记作．根据该约定，完成下列各题：
（1）若一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象上有两点A（x1，k），B（x2，2k2﹣2），当＝k时，求k的值．
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2bx﹣3c（b≠0）在同一坐标平面内交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且同时满足下列两个条件：①a＞b＞c，②抛物线经过点（1，0），试求的范围．
例2.若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b
满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫作直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
例3.y＝f（x）表示以x为自变量的函数，则f（m）表示当x＝m时函数y＝f（x）的值．例如，一次函数y＝3x+2可记作f（x）＝3x+2，当x＝m时，函数值f（m）＝3m+2现给出新定义：对于函数y＝f（x），若存在实数m，使得f（m）＝2m+12成立，则称点（m，f（m））是函数y＝f（x）的“奇妙点”．
（1）求函数y＝4x+6的奇妙点；
（2）当a，b为何值时，函数y＝2ax+3b﹣2存在“奇妙点”？
（3）若二次函数y＝ax2﹣2x+8（a≠0）有且只有一个“奇妙点”A，其图象与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），P是y轴上一动点当△PAB的周长最短时，求点P的坐标及△PAB的周长．
例4.我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点值，点（1，0）是函数y＝x﹣1的零点．
（1）已知函数y＝﹣1，则它的零点坐标为 ；
（2）若二次函数y＝x2﹣2x+m有两个零点，则实数m的取值范围是 ；
（3）已知二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的两个零点都是整数点，求整数k的值．
变式2.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
例5.若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下图所表示的函数的界高为4．
（1）求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高；
（2）已知m＞﹣2，若函数y＝x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数y＝x2﹣2ax+3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．
变式1.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．
（1）分别判断函数y＝﹣（x＜0）和y＝2x﹣3（x＜2）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
变式2.若y是x的函数，h为常数（h＞0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a＜b）时，总有|y1﹣y2|≤h，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．
（1）函数：①y＝2x，②，③y＝x2在﹣1≤x≤1时为有界函数的是 （填序号）；
（2）若一次函数y＝kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高
为b﹣a，请求出此一次函数解析式；
（3）已知函数y＝x2﹣2ax+5（a＞1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
变式3.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数”．
（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“X（n）函数”的打“×”．
①（m≠0）
②y＝|2x|
③y＝x2+2x﹣5
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（2）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，A在B的左边，xB﹣xA＝4，求m的值；
（3）若关于x的“X（n）函数”y＝ax2+bx+4（a，b为常数）经过点（﹣1，1），且n＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝2，求t的值．
例6.已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数．例如，y1＝和y2＝为关于y＝x的对称函数．
（1）判断：①y1＝3x和y2＝﹣x；②y1＝x+1和y2＝x﹣1；③，其中为关于y＝x的对称函数的是 （填序号）．
（2）若y1＝3x+2和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数．
①求k、b的值．
②对于任意的实数x，满足x＞m时，y1＞y2恒成立，则m满足的条件为 ．
（3）若y1＝ax2+bx+c（a≠0）和y2＝x2+n为关于y＝x的对称函数，且对于任意的实数x，都有y1＜y2，请结合函数的图象，求n的取值范围．
变式1.在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，都有点（x，y1）和（x，y2）关于点（x，x）中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y＝x上，所以称这两个函数为关于直线y＝x的特别对称函数．例如：和为关于直线y＝x的特别对称函数．
（1）若y＝3x+2和y＝kx+t（k≠0）为关于直线y＝x的特别对称函数，点M（1，m）是y＝3x+2上一点．
①点M（1，m）关于点（1，1）中心对称的点坐标为 ．
②求k、t的值．
（2）若y＝3x+n和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2，求n的值．
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c和y＝x2+d为关于直线y＝x的特别对称函数．
①直接写出a、b的值．
例7.设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”
（1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．
（2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．
变式1.设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式；
（3）若二次函数y＝x2﹣﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，直接写出实数a，b的值．
课后练习
1.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
2.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．函数y＝3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
3.在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．若函数（为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数的值与相应“中国结”的坐标；
4.在平面直角坐标系中，若点P的纵坐标比横坐标多3，则称点P为“梅花点”，
例如点（﹣3，0），（2，5），（，+3），…都是“梅花点”
1.函数y＝kx+1（k为常数，且k≠0）的图象上存在“梅花点”吗？若存在，请求出“梅花点”的坐标（用含k的代数式表示）；若不存在，请说明理由；
2.若二次函数y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“梅花点”，令s＝（2﹣t）b+4a，当0≤b≤2时，试求s的最小值（用含t的代数式表示）
5.已知y是x的函数，若其图象经过点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的
“奇点”．例如：直线y＝2x+1上存在“奇点”P（1，3）．
（1）求直线y＝x+3上所有“奇点”的坐标．
（2）在双曲线y＝（k≠0）上是否存在“奇点”？若存在，请求出“奇点”坐标（用k表示），若不存在，请说明理由．
（3）若二次函数y＝+（m﹣t+1）x+n+t的图象上存在唯一的“奇点”，且当﹣2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．