2025年中考数学二轮复习专题：一次函数综合练习

这是一份2025年中考数学二轮复习专题：一次函数综合练习，共133页。试卷主要包含了在直角坐标系中，O为原点，A，如图，已知点A，如图，在平面直角坐标系中，A，如图，点A的坐标为，如图，已知A点坐标为等内容，欢迎下载使用。
1．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为（ ）
A．（8，2）B．（﹣6，2）C．（﹣8，2）D．（6，﹣2）
2．在直角坐标系中，O为原点，A（0，4），点B在直线y＝kx+6（k＞0）上，若以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，k的值为（ ）
A．B．C．3D．
3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3），CB平分∠ACP，则直线PC的解析式为（ ）
A．y＝x﹣3B．y＝﹣x﹣3C．y＝x﹣3D．y＝﹣x﹣3
5．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是（ ）
A．（﹣，﹣）B．（，）C．（﹣，）D．（，﹣）
7．如图，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP＝90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（ ）
A．3≤m≤4B．2≤m≤4C．0≤m≤D．0≤m≤3
8．如图，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（ ）
A．3B．C．4D．
9．已知一次函数y＝ax+b的图象过（0，2）点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．不确定
10．已知直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于A，B两点，在坐标轴上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）个
A．4B．6C．7D．8
11．如图，已知直线MN：y＝x+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（ ）
A．45°或135°B．30°或150°C．60°或120°D．75°或165°
12．已知A点坐标为A（）点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（ ）
A．（0，0）B．（，﹣）
C．（1，﹣1）D．（﹣，）
二．填空题（共21小题）
13．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
14．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 ．
15．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标 ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 ．
16．直线y＝kx+1与两坐标轴围成的三角形周长为6，则k＝ ．
17．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与y轴，x轴分别交于点A、B．
（1）若点（1，1）在函数图象上，则k＝ ；
（2）若S△OAB＝3，则点B的坐标为 ；
（3）一次函数y＝kx+2的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点．点P在x轴上，当△PBC为直角三角形时，点P的坐标为 ．
18．如图，正方形OA1B1C1，C1A2B2C2，C2A3B3C3，…的顶点A1，A2，A3，…在直线y＝kx+b上，顶点C1，C2，C3，…在x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），那么点A4的坐标为 ，点An的坐标为 ．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝ ．
21．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝ ．
22．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在
BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）．
（1）k的值为 ；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是 ．
24．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．
（1）△OED的面积为 ；
（2）若∠FOG＝45°，则矩形OACB的面积是 ．
25．如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
所有正确结论的序号是 ．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），给出下列四个结论：
①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则k＝；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则OP＝2；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
28．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 ．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点D，直线l2与两坐标轴分别交于点A（0，2），点B（4，0），直线l1与l2交于点C，点P在射线DC上，若△ABP为直角三角形，则点P的坐标为 ．
30．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
31．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B5的坐标是 ．
32．如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ ．
33．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．
（1）求出点C的坐标 ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 ；
（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式 ．
三．解答题（共27小题）
34．如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+2与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点C，求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
35．如图，直线y＝﹣x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（2，3）在直线y＝﹣x+b上，点C是线段OB上一点（不与点O，B重合）．
（1）求点A，B的坐标．
（2）连接PC，将△OPC沿直线PC翻折得到△DPC，点D为点O的对应点，点D在第一象限，且∠OCD＝90°．
①则点D的坐标为 ．
②若直线y＝﹣x+b与CD交于点E，在y轴上是否存在点Q，使△BEQ是以BE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
36．如图，已知正比例函数y＝kx的图象标过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且三角形AOH的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）已知，在直线OA上（除O点外）是否存在点M，使得三角形AHM为等腰三角形？若存在，直接写出OM的长；若不存在，请说明理由．
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx+的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）．
（1）求点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．
38．（1）模型建立：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）；
模型应用：
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式；
探究提升：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标．
39．如图，直线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是OA的中点．
（1）求出点B、点C的坐标及b的值；
（2）在y轴上存在点D，使得S△BCD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
41．如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）填空：k＝ ；n＝ ；b＝ ；
（2）求△ABC的面积；
（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
（4）若△DEF为直角三角形，求点D的坐标．
42．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣2，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若D为AB的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
43．如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点的坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．
（1）求AB的函数表达式．
（2）点P是直线AB上方第一象限内的动点，如图2，当△ABP为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标．
44．平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+3与x轴、y轴分别交于点B、A．直线BC：y＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求△BCA的面积；
（2）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为x轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求E点坐标；
（3）如图2，点P在点A下方的y轴上一点，∠ODB＝∠PDA，直线DP与直线AB交于点M，求M点的坐标．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 ；点D的坐标是 ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
46．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标．
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A的坐标）时，△AOB的面积是3．
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
47．如图1，直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝7．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点P为直线AB上一动点，若有，请求出点P的坐标；
（3）如图2，在x轴负半轴有一点E，将直线l2平移过E点得直线l3，连接BE，若点M为直线l3上一动点，是否存在点M，使得∠MBE＝60°，若存在，请直接写出M交点的坐标，若不存在，请说明理由．
48．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（﹣1，0）、交y轴于点B（0，3）．
（1）求直线l对应的函数表达式；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
49．如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），一次函数图象与y轴的交点为C（0，2），与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如果在一次函数y＝kx+b的图象存在一点Q，使△OCQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（2，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（3）一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3 不能围成三角形，直接写出k的值．
51．已知：如图1，直线AB：y＝﹣x+2分别交x，y轴于点A，B．直线AC与直线AB关于x轴对称，点D为x轴上一点，E为直线AC上一点，BD＝DE．
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）若点D的坐标为（3，0），求点E的坐标；
（3）如图2，将“直线AB：y＝﹣x+2”改为“直线AB：y＝kx+2”，∠E＝∠ABO+∠ADB，xE＝3，其他不变，求k的值．
52．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x、y轴分别交于A、B两点，C在x轴负半轴上，CB＝5．
（1）求CB所在直线的解析式；
（2）已知点D为x轴上一动点，且满足∠CBD＝∠ABO，求D点坐标；
（3）平面内是否存在点P，使得△PAB～△OBC，求P点坐标．
53．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点D是在直线AB上的动点，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由．
54．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．
（1）求线段AP长度的取值范围；∠QAP＝ ；
（2）试问：点P运动的过程中，当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标；
（3）将直线l：y＝x绕着点Q顺时针旋转90°，得到的直线l′恰好经过点A，请直接写出点Q的坐标 ．
55．直线AB：y＝x+3分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在线段OB上存在点P，使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标：
（3）在第一象限内是否存在一点E，使得△BCE为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由．
56．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，a），直线y＝﹣x+3与y轴交于点E，连接AE．
（1）求直线l的解析式；
（2）求△ACE的面积；
（3）Q为直线y＝﹣x+3上一点，若△BEQ为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
57．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（3，0）为正方形ABCD的两个顶点，点C和D在第一象限．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
58．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，AB+OB＝2OA．
（1）如图1，求k值；
（2）如图2，点C在y轴正半轴上，OC＝2OA，过点C作AB的垂线交x轴于点D，点E为垂足，点P在BE的延长线上，点P的横坐标为t，连接PO，PD，△POD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F在OD上，连接FB，FP，若∠OBF+∠BPF＝∠FPD＝45°，求t值．
59．如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC．
（1）求直线AC的函数表达式和△ABC的面积；
（2）若点P为直线AB（不含A，B两点）上一点，连接CP，若△ACP的面积为7，求点P的坐标；
（3）若点P为射线BA（不含A，B两点）上一点，M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
60．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点A（2，4），过点A的直线y＝kx+b（0＜k＜2）与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）直接写出正比例函数的表达式；若△AOB的面积为△BOC的面积的倍，求直线y＝kx+b的表达式；
（2）在（1）的条件下，在线段BC上找一点D，使OC平分∠AOD，求点D的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为（ ）
A．（8，2）B．（﹣6，2）C．（﹣8，2）D．（6，﹣2）
【分析】过A作AP⊥AB交BC于P，过P作PM⊥AC，可得△ABO≌△PAM，有AM＝BO，MP＝AO，即可得出结论．
【解答】解：过A作AP⊥AB交BC于P，过P作PM⊥AC，如图：
∵A（﹣2，0），B（0，6），
∴BO＝6，AO＝2，
∵△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三危形，
∴AP＝AB，∠PAB＝90°，
∴∠BAO＝90°﹣∠PAM＝∠MPA，
∵∠PMA＝90°＝∠BOA，
∴△ABO≌△PAM（AAS），
∴AM＝BO＝6，MP＝AO＝2，
∴OM＝8，
∴P（﹣8，2）．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及旋转变换，全等三角形的判定与旋转，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．在直角坐标系中，O为原点，A（0，4），点B在直线y＝kx+6（k＞0）上，若以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，k的值为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】当使△AOB为直角三角形的点B有且只有三个时可知直线y＝kx+6与以OA为直径的圆相切，利用锐角三角函数可求得k值．
【解答】解：以点A，O，B为顶点的三角形是直角三角形，
当直角顶点是A和O时，直线y＝kx+6上各存在一个点B满足条件，
要以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，直角顶点是B的△AOB只需存在一个，
所以，以OA为直径的圆C与直线y＝kx+6相切，
如图，
设切点为B，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B'、D，连接CB，
在y＝kx+6中令y＝0，得x＝6，
∴OD＝6，且OC＝OA＝2，
∴CD＝4，
在Rt△CDB中，BC＝2，CD＝4，
∴sin∠BDC＝＝，
∴∠ODB'＝30°，
在Rt△OB'D中，∠ODB'＝30°，OD＝6，
∴tan∠ODB'＝，
∴tan30°＝，
∴OB'＝6tan30°＝2，
∵k＞0，
∴B'（﹣2，0），
将点B'（﹣2，0）代入y＝kx+6中，得，﹣2k+6＝0，
∴k＝，
故选：A．
【点评】此题试一次函数综合题，主要考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，解本题的关键是确定出满足条件的直线所在的位置，有一定难度．
3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】当∠BPA＝90°时，即点P的位置有2个；当∠ABP＝90°时，点P的位置有1个；当∠BAP＝90°时，在y轴上共有1个交点．
【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点符合点P的要求；
②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求；
③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．
所以满足条件的点P共有4个．
故选：B．
【点评】主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况．
4．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3），CB平分∠ACP，则直线PC的解析式为（ ）
A．y＝x﹣3B．y＝﹣x﹣3C．y＝x﹣3D．y＝﹣x﹣3
【分析】由题意可得∠OBC＝∠OCB＝45°，证明∠OPC＝∠OCA，然后可得△OPC∽△OCA，求出OP的长度，得出点P的坐标，利用待定系数法可确定直线PC的解析式．
【解答】解：∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠OPC+∠BCP＝∠OBC＝45°，∠OCA+∠ACB＝45°，CB平分∠ACP，
∴∠OPC＝∠OCA，
∴△OPC∽△OCA，
∴＝，即＝，
∴OP＝9，
∴点P的坐标为（9，0），
设直线CP的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线CP的解析式为y＝x﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的综合，解答本题的关键△OPC∽△OCA的证明，得出OP的长度，难度一般．
5．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】对于已知直线，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，由AM为∠BAO的平分线，得到∠BAM＝∠B′AM，利用SAS得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM＝B′M，设BM＝B′M＝x，可得出OM＝8﹣x，在Rt△B′OM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y＝kx+b，将A与M坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式．
【解答】解：对于直线y＝﹣x+8，
令x＝0，求出y＝8；令y＝0求出x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8，
根据勾股定理得：AB＝10，
在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，
∵AM为∠BAO的平分线，
∴∠BAM＝∠B′AM，
∵在△ABM和△AB′M中，
，
∴△ABM≌△AB′M（SAS），
∴BM＝B′M，
设BM＝B′M＝x，则OM＝OB﹣BM＝8﹣x，
在Rt△B′OM中，B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
根据勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OM＝3，即M（0，3），
设直线AM解析式为y＝kx+b，
将A与M坐标代入得：，
解得：，
则直线AM解析式为y＝﹣x+3．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是（ ）
A．（﹣，﹣）B．（，）C．（﹣，）D．（，﹣）
【分析】根据点到直线的距离中垂线段最短，得到AB垂直于直线y＝2x﹣4时最短，过A作AB⊥直线y＝2x﹣4，垂足为B，过B作BD⊥x轴，设B（a，2a﹣4），根据三角形ABD与三角形BCD相似，由相似得比例列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出B坐标．
【解答】解：过A作AB⊥直线y＝2x﹣4，垂足为B，过B作BD⊥x轴，
令y＝0，得到x＝2，即C（2，0），
设B（a，2a﹣4）（a＞0），即BD＝|2a﹣4|，|OD|＝a，
∵∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠BAD＝∠DBC，
∵∠BDC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD2＝AD•DC，即（2a﹣4）2＝（a+1）（2﹣a），
整理得：5a2﹣17a+14＝0，即（5a﹣7）（2﹣a）＝0，
解得：a＝或a＝2（不合题意，舍去），
则B（，﹣）．
故选：D．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，以及解一元二次方程，解题的关键是利用垂线段最短确定出B的位置．
7．如图，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP＝90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（ ）
A．3≤m≤4B．2≤m≤4C．0≤m≤D．0≤m≤3
【分析】令y＝0求出点B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，则OD＝a，PD＝m﹣a，求出△OCD和△CPD相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出m，然后求出m的最小值，再根据点P在线段OB上判断出OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，然后写出m的取值范围即可．
【解答】解：令y＝0，则﹣x+3＝0，
解得x＝4，
所以，点B的坐标为（4，0），
过点C作CD⊥x轴于D，
设点C的坐标横坐标为a，则OD＝a，PD＝m﹣a，
∵∠OCP＝90°，
∴△OCD∽△CPD，
∴＝，
∴CD2＝OD•DP，
∴（﹣a+3）2＝a（m﹣a），
整理得，m＝a+﹣，
所以，m≥2﹣＝3，
∵点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），
∴OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，
∴m的取值范围是3≤m≤4．
故选：A．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，难点在于列不等式求出m的最小值．
8．如图，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（ ）
A．3B．C．4D．
【分析】根据三角函数求出点B的坐标，代入直线y＝x+b（b＞0），即可求得b的值．
【解答】解：由直线y＝x+b（b＞0），可知∠1＝45°，
∵∠α＝75°，
∴∠ABO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴OB＝OA÷tan∠ABO＝．
∴点B的坐标为（0，），
∴b＝．
故选：B．
【点评】本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识，注意直线y＝x+b（b＞0）与x轴的夹角为45°．
9．已知一次函数y＝ax+b的图象过（0，2）点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．不确定
【分析】把点（0，2）代入一次函数y＝ax+b，得b＝2；再令y＝0，得x＝﹣，即它与x轴的交点坐标为（﹣，0）；由图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，所以有|﹣|＝2，解此方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过点（0，2），
即与y轴的交点坐标为（0，2），∴b＝2；
令y＝0，则0＝ax+2，得x＝﹣，即它与x轴的交点坐标为（﹣，0）；
又∵图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，
∴|﹣|＝2，解得a＝±1．
所以a的值为±1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）与两坐标轴交点的坐标的求法，以及等腰直角三角形的性质．令y＝0求出x的值即为一次函数与x轴的交点坐标的横坐标；令x＝0求出y的值即为一次函数与y轴交点的纵坐标．
10．已知直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于A，B两点，在坐标轴上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）个
A．4B．6C．7D．8
【分析】首先分别令y＝0，x＝0求得点A和点B的坐标；若使得△PAB是等腰三角形，则需考虑以下情况：AB是底边或AB是腰．
【解答】解：如图所示，∵直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（1，0），B（0，），
（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线，
∵OA≠OB，
∴AB的垂直平分线与x轴，y轴都有交点，此时有2个；
（2）当AB是腰时，①以A为圆心，以AB为半径画弧，和x轴交于2点，和y轴交于2点（点B除外），即有3个；
②以B为圆心，AB为半径画弧，和x轴交于2点（点A除外），和y轴交于2点，即有3个．
其中有3个点，即（﹣1，0）重合．
共6个．
故选：B．
【点评】此题考查了求作等腰三角形的方法，能够结合图形准确不漏地找到．
11．如图，已知直线MN：y＝x+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（ ）
A．45°或135°B．30°或150°C．60°或120°D．75°或165°
【分析】令y＝0，可得A（﹣2，0），令x＝0，可得B（0，2），利用勾股定理求出AB＝4，可得∠MAO＝30°，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出∠MBO、∠OBC度数，两个角的和差即为所求度数．
【解答】解：∵直线MN：y＝x+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，
令y＝0，则0＝x+2，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
∴AB＝＝4，
∴AB＝2OB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，∠MBO＝120°．
∵B（0，2），OC＝2，
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
如图，分两种情况考虑：
①当点C在x轴正半轴上时，
∠C1BO＝45°，
∴∠MBC1＝120°﹣45°＝75°；
②当点C在x轴负半轴上时，
∠MBC2＝120°+45°＝165°．
故选：D．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键．
12．已知A点坐标为A（）点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（ ）
A．（0，0）B．（，﹣）
C．（1，﹣1）D．（﹣，）
【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短得到AB垂直于直线y＝﹣x时AB最短，此时过B作BD垂直于x轴，由直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，得出∠AOB为45°，再由∠ABO为直角，得到三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到D为OA的中点，BD为斜边OA上的中线，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到BD为OA的一半，由A的坐标求出OA的长，得出BD的长，而三角形BOD也为等腰直角三角形，得到OD＝BD，求出OD的长，最后由B在第四象限，即可确定出B的坐标．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
当AB⊥OB时，AB最短，此时过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，
由直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，得到∠AOB＝45°，
∵A（，0），即OA＝，∠ABO＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OD＝AD，即BD为Rt△AOB斜边上的中线，
∴BD＝OA＝，
又∵∠BOD＝45°，∠BDO＝90°，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝BD＝，
∵B在第四象限，
∴B的坐标为（，﹣）．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及坐标与图形性质，其中找出AB最短时B的位置是解本题的关键．
二．填空题（共21小题）
13．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 （2，0）或（﹣，0） ．
【分析】把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出B、A的坐标，分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，分别求解即可．
【解答】解：∵y＝x+6，
∴当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
分为三种情况：
①当PB＝PQ时，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
∵∠BPQ＝∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ＝180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝CB，
∵B（0，6），C（8，0），
∴BC＝＝10，
∴AP＝10，
∴点P的坐标是（2，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2+OB2，
∴（x+8）2＝x2+62，
解得：x＝﹣，
即此时P的坐标是（﹣，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．
故答案为：（2，0）或（﹣，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
14．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 （0，0）或（﹣2，﹣2）或（2，2） ．
【分析】设点P的坐标为（x，y），分三种情况：①当∠APB＝90°时，②当∠PAB＝90°时，③当∠PBA＝90°时，根据勾股定理分别求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴AB2＝42+42＝32，
设点P的坐标为（x，y），
∵点P在一次函数y＝x的图象上，
∴点P的坐标为（x，x），
分三种情况：
①当∠APB＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AP2+BP2＝AB2，
∴（x+4）2+x2+x2+（4﹣x）2＝32，
∴x＝0，
∴点P的坐标是（0，0）；
②当∠PAB＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AP2+AB2＝PB2，
∴（x+4）2+x2+32＝x2+（4﹣x）2，
∴x＝﹣2，
∴点P的坐标是（﹣2，﹣2）；
③当∠PBA＝90°时，如图，
∵△ABP为直角三角形，
∴AB2+BP2＝AP2，
∴x2+（4﹣x）2+32＝（x+4）2+x2，
∴x＝2，
∴点P的坐标是（2，2）．
综上，点P的坐标是（0，0）或（﹣2，﹣2）或（2，2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查勾股定理、一次函数的性质等，解决问题的关键是分类思想的运用．
15．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标 （2，2） ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 2或4 ．
【分析】（1）当﹣x+3＝x时，求点C的坐标即可；
（2）分两种情况讨论：当CQ⊥OQ时，t＝2；当OC⊥CQ时，t＝4．
【解答】解：（1）当﹣x+3＝x时，解得x＝2，
∴C（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）∵Q点的运动速度为每秒1个长度单位，运动时间为t秒，
∴OQ＝t，
当CQ⊥OQ时，∵∠OCA＝45°，
∴△OCQ为等腰直角三角形，
∴t＝2；
当OC⊥CQ时，∵∠OCA＝45°，
∴△OCQ为等腰直角三角形，
∴Q（4，0），
∴t＝4；
综上所述：t的值为2或4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
16．直线y＝kx+1与两坐标轴围成的三角形周长为6，则k＝ ．
【分析】因为直线为y＝kx+1，所以与x轴的交点坐标为（﹣，0），与y轴的交点坐标为（0，1），两直角边的长为|﹣|，1，从而根据勾股定理可表示出斜边的长，根据周长可列出方程求解．
【解答】解：直线与x轴的交点坐标为（﹣，0），与y轴的交点坐标为（0，1），
斜边长为：．
∴|﹣|+1+＝6，
（5﹣）2＝1+（）2，
解得k＝±．
故答案为：±．
【点评】本题考查一次函数的综合运用，通过找到函数与x，y的交点坐标，求出直角边的长，表示出斜边，根据周长求出解．
17．如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与y轴，x轴分别交于点A、B．
（1）若点（1，1）在函数图象上，则k＝ ﹣1 ；
（2）若S△OAB＝3，则点B的坐标为 （3，0）或（﹣3，0） ；
（3）一次函数y＝kx+2的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点．点P在x轴上，当△PBC为直角三角形时，点P的坐标为 或 ．
【分析】（1）将点（1，1）代入y＝kx+2即可得到k的值；
（2）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标；
（3）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当∠CPB＝90°时，当∠PCB＝90°时，分别求解．
【解答】解：（1）∵点（1，1）在函数y＝kx+2的图象上，
∴k+2＝1，
得k＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）令y＝kx+2中x＝0，则y＝2，
∴A（0，2），
∴OA＝2，
∵，
∴OB＝3，
∴B（3，0）或B（﹣3，0）；
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）；
（3）将代入y＝2x，得，
∴，
∴，
当∠CPB＝90°时，点P的横坐标为，即；
当∠PCB＝90°时，
将点代入y＝kx+2，
∴，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+2，
当y＝0时，x＝2，
∴B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
过点C作CE⊥OB于点E，
∴，
∴点P的横坐标为，
∴，
故答案为：或．
【点评】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，一次函数与图形面积问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的综合知识是解题的关键．
18．如图，正方形OA1B1C1，C1A2B2C2，C2A3B3C3，…的顶点A1，A2，A3，…在直线y＝kx+b上，顶点C1，C2，C3，…在x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），那么点A4的坐标为 （7，8） ，点An的坐标为 （2n﹣1﹣1，2n﹣1） ．
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
代入y＝kx+b得，
解得：，
则直线的解析式是：y＝x+1．
∵A1B1＝1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是：1＝20，A1的横坐标是：0＝20﹣1，
∴A2的纵坐标是：1+1＝21，A2的横坐标是：1＝21﹣1，
∴A3的纵坐标是：2+2＝4＝22，A3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1，
∴A4的纵坐标是：4+4＝8＝23，A4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1，
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
故答案为：（7，8），（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 1或3 ．
【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．
【解答】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
∴GE＝＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝ 2 ．
【分析】只有过正方形对角线交点的直线，才能把正方形分成面积相等的两部分．点B的坐标为（4，4），则y＝mx﹣2经过点（2，2），代入直线解析式得m＝2．
【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分
∴直线必经过正方形的中心
∵点B的坐标为（4，4）
∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝2
【点评】本题用到的知识点为：过平行四边形对角线交点的直线，把平行四边形分成面积相等的两部分．
21．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝ 3 ．
【分析】先求OA和OB的长，再利用相似三角形求OC的长，面积差为所求．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，4），点A（2，0），
即OA＝2，OB＝4，
∵在直角三角形OAB，和直角三角形OAC中，∠1＝∠2，
∴△OAB∽△OCA，
∴，
解得OC＝1，
∴S△ABC＝S△OAB﹣S△OAC＝，
故答案为3．
【点评】本题考查了一次函数综合运用，先求OA和OB的长，再利用相似三角形求OC的长，面积差为所求．
22．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在
BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于 ．
【分析】根据题目已知条件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
【解答】解：∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴OB＝，OC＝1，
∴BC＝2，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，
∴∠COA1＝30°，
∴∠CA1O＝90°．
在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，
同理得：B1A2＝A1B1＝，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数综合题．解题时，将一次函数、等边三角形的性质及解直角三角形结合在一起，从而归纳出边长的规律．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）．
（1）k的值为 ；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是 （2，5）或（﹣2，3） ．
【分析】（1）先求出B的坐标，在用待定系数法可得k的值；
（2）设M（m，m+4），用勾股定理逆定理判断∠ABC＝90°，由∠MAB＝∠ABO可知△AOB∽△MBA，从而有＝，列方程求出m可得答案．
【解答】解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，
∴B（0，4），
把B（0，4），C（﹣8，0）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴k的值为，
故答案为：；
（2）如图：
由（1）知，直线BC：y＝x+4，
设M（m，m+4），则BM＝＝|m|，
在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），
∵B（0，4），C（﹣8，0），
∴AB2＝（2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，AC2＝（2+8）2+（0+0）2＝100，BC2＝（0+8）2+（4﹣0）2＝80，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝2，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB，
若∠MAB＝∠ABO，则△AOB∽△MBA，
∴＝，即＝，
解得m＝2或m＝﹣2，
∴M（2，5）或（﹣2，3），
故答案为：（2，5）或（﹣2，3）．
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握待定系数法和判断∠ABC＝90°．
24．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．
（1）△OED的面积为 8 ；
（2）若∠FOG＝45°，则矩形OACB的面积是 8 ．
【分析】（1）根据一次函数解析式求得OD＝OE＝4，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ODE＝∠OED＝45°，推出∠DOF＝∠OGE，证得△DOF∽△EGO，根据相似三角形的性质得到DF•EG＝OE•OD＝16，过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．根据勾股定理得到DF＝b，GE＝a，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，
∴D（4，0），E（0，4），
∴OD＝OE＝4，
∴△ODE的面积＝OD•OE＝×4×4＝8；
故答案为：8；
（2）∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED＝45°；
∴∠OGE＝∠ODF+∠DOG＝45°+∠DOG，
∵∠EOF＝45°，
∴∠DOF＝∠EOF++∠DOG＝45°+∠DOG，
∴∠DOF＝∠OGE，
∴△DOF∽△EGO，
∴，
∴DF•EG＝OE•OD＝16，
过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．
∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，
设NG＝AC＝a，FM＝BC＝b，
∴DF＝b，GE＝a，
∴DF•GE＝2ab，
∴2ab＝16，
∴ab＝8，
∴矩形OACB的面积＝ab＝8．
故答案为：8．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰直角三角形，求得DF＝b，GE＝a是解题的关键．
25．如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，
∴DH＝＝，
∴当y＝时，＝﹣x+6，
∴x＝，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），给出下列四个结论：
①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则k＝；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则OP＝2；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
其中正确的是 ②③④ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】①由题意可得判断B点既在直线y＝x上又在⊙A上；
②由题意可知直线经过点A，将A点代入y＝kx，即可求k的值；
③画出图形，用勾股定理求解即可；
④过点A作AC∥x轴交圆于C，过点C作CQ⊥AC，过点B作BQ⊥CQ，BQ与CQ交于点Q，此时Q（3，4），当直线y＝kx经过Q点时，k＝，结合图象可知，当k＞时，直线y＝kx向y轴靠近，逐渐CQ也向y轴靠近，C点不在⊙A上，可知k的最大值为．
【解答】解：①当k＝1时，直线l：y＝x，
∵B（4，4），
∴B点在直线y＝x上，
∵A（4，3），
∴AB＝1，
∵⊙A的半径为1，
∴B点在⊙A上，
∴直线l与⊙A相交，
故①选项不符合题意；
②∵直线l是⊙A的一条对称轴，
∴直线l过圆心A，
∴4k＝3，
解得k＝，
故②选项符合题意；
③∵若直线l与⊙A只有一个公共点P，
∴AP＝1，且AP⊥直线l，
∵A点坐标为（4，3），
∴OA＝5，
根据勾股定理，OP＝＝，
故③选项符合题意；
④过点A作AC∥x轴交圆于C，过点C作CQ⊥AC，过点B作BQ⊥CQ，BQ与CQ交于点Q，
∵AC＝AB＝1，
∴四边形ACQB是正方形，
∴BQ＝1，
∴Q（3，4），
当直线y＝kx经过Q点时，k＝，
当k＞时，直线y＝kx向y轴靠近，逐渐CQ也向y轴靠近，C点不在⊙A上，
∴k的最大值为，
故④符合题意；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆的性质，数形结合解题是关键．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为 （﹣1，0） ，点D的坐标为 （0，） ．
【分析】由折叠的性质得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD＝CD，AB＝AC，由一次函数解析式求出A与B坐标，确定出OA与OB的长，由BD+OD＝OB，OC+OA＝AC，在直角三角形COD中，设CD＝x，表示出OD，利用勾股定理求出x的值，即可确定出C与D坐标．
【解答】解：由折叠的性质得：△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC，BD＝CD，
对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝4，
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，即C（﹣1，0）；
在Rt△COD中，设CD＝BD＝x，则OD＝3﹣x，
根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+1，
解得：x＝，
∴OD＝，即D（0，）．
故答案为：（﹣1，0）；（0，）
【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，利用了方程的思想，熟练运用勾股定理是解本题的关键．
28．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 （4，8）或（﹣12，﹣8） ．
【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，
∴E点坐标为（4，8）；
当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，
把A、E坐标代入可得，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（4，0），
∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，
解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，
∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
解得m＝﹣6，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，
由，解得．
∴E（﹣12，﹣8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．
故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC＝BC是解题的关键．本题难度不大，注意考虑全面即可．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点D，直线l2与两坐标轴分别交于点A（0，2），点B（4，0），直线l1与l2交于点C，点P在射线DC上，若△ABP为直角三角形，则点P的坐标为 （6，4）或（1，﹣1）或（4，2） ．
【分析】设P（p，p﹣2），分三种情况①当∠PAB＝90°时，②当∠PBA＝90°时，③当∠APB＝90°时．根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵点P在射线DC上，
∴设P（p，p﹣2）（p≥0），
∵点A（0，2），点B（4，0），
∴AB2＝22+42＝20，PB2＝（p﹣4）2+（p﹣2）2＝2p2﹣12p+20，AP2＝p2+（p﹣2﹣2）2＝2p2﹣8p+16，
①当∠PAB＝90°时，AB2+AP2＝PB2，
∴20+2p2﹣8p+16＝2p2﹣12p+20，
∴p＝﹣4（不合题意，舍去）；
②当∠PBA＝90°时，AB2+BP2＝AP2，
∴20+2p2﹣12p+20＝2p2﹣8p+16，
∴p＝6，
∴点P的坐标为（6，4）；
③当∠APB＝90°时，AB2＝BP2+AP2，
∴20＝2p2﹣12p+20+2p2﹣8p+16，
∴p＝1或4，
∴点P的坐标为（1，﹣1）或（4，2）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（1，﹣1）或（4，2）．
故答案为：（6，4）或（1，﹣1）或（4，2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是分类求解，避免遗漏．
30．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．
【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴A（0，4）；
当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）．
∴OA＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2．
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD．
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，
OD＝OC+CD＝6，
∴点B的坐标为（﹣6，2）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝2，
∴OE＝CE＝AC＝，
∵BC⊥AC，BC＝2，
∴BE＝＝5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，
故答案为：5+．
【点评】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
31．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B5的坐标是 （31，16） ．
【分析】根据题意分别求得B1，B2，B3…的坐标，根据横纵坐标可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴点B3的坐标为（7，4），
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．
则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
∴B5的坐标是（25﹣1，24）．
即：B5的坐标是（31，16）．
故答案为：（31，16）．
【点评】此题主要考查了坐标的变化规律，弄懂题意，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
32．如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ 1 ．
【分析】根据矩形的性质，将矩形OABC分成面积相等的两部分的直线一定经过矩形的中心，再根据点B的坐标求出矩形的中心的坐标，然后代入直线解析式计算即可得解．
【解答】解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线经过矩形的中心，
∵B点坐标为B（12，5），
∴矩形中心的坐标为（6，），
∴×6+b＝，
解得b＝1．
故答案为：1．
【点评】本题综合考查了一次函数与矩形，熟知过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两个部分是解题的关键，也是本题的难点．
33．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．
（1）求出点C的坐标 （2，2） ；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 2或4 ；
（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式 y＝﹣2x+6 ．
【分析】（1）解两函数解析式组成的方程组即可；
（2）分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可；
（3）求出Q的坐标，设出解析式，把Q、C的坐标代入求出即可．
【解答】解：（1）∵由，得，
∴C（2，2）；
（2）如图1，当∠CQO＝90°，CQ＝OQ，
∵C（2，2），
∴OQ＝CQ＝2，
∴t＝2，
②如图2，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ，
过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM＝OM＝2，
∴QM＝OM＝2，
∴t＝2+2＝4，
即t的值为2或4，
故答案为：2或4；
（3）令﹣x+3＝0，得x＝6，由题意：Q（3，0），
设直线CQ的解析式是y＝kx+b，
把C（2，2），Q（3，0）代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
∴直线CQ对应的函数关系式为：y＝﹣2x+6．
故答案为：（1）（2，2）；（3）y＝﹣2x+6．
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．
三．解答题（共27小题）
34．如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+2与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点C，求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点A的坐标求出k的值即可求解；
（2）由勾股定理得出AB2+AC2＝BC2，设OC＝m，则BC＝m+2，求出m得到CO＝，即可求解；
（3）当AB＝AP时，列出方程，解方程即可求解；当AB＝BP或BP＝AP时，同理可解．
【解答】解：（1）∵y＝kx+2与x轴交于点A（﹣1，0），
∴﹣k+2＝0，
∴k＝2，
∴直线AB的表达式为y＝2x+2；
（2）∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
设OC＝m，则BC＝m+2，
∴22+12+12+x2＝（x+2）2，
∴，
∴CO＝，
∴BC＝2+＝，
∴△ABC的面积＝BC×OA＝×1＝；
（3）存在，理由：
设点P（0，y），
由点A、B、P的坐标得，AB2＝5，AP2＝1+y2，BP2＝（y﹣2）2，
当AB＝AP时，
则1+y2＝5，
解得：y＝2（舍去）或﹣2，
即点P（0，﹣2）；
当AB＝BP或BP＝AP时，
则5＝（y﹣2）2或1+y2＝（y﹣2）2，
解得：y＝2±或，
即点P（0，2+）或（0，2﹣）或（0，），
综上，P（0，2+）或（0，2﹣）或（0，）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到勾股定理、等腰三角形的性质等，分类求解是解题的关键．
35．如图，直线y＝﹣x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（2，3）在直线y＝﹣x+b上，点C是线段OB上一点（不与点O，B重合）．
（1）求点A，B的坐标．
（2）连接PC，将△OPC沿直线PC翻折得到△DPC，点D为点O的对应点，点D在第一象限，且∠OCD＝90°．
①则点D的坐标为 （5，5） ．
②若直线y＝﹣x+b与CD交于点E，在y轴上是否存在点Q，使△BEQ是以BE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点P（2，3）代入y＝﹣x+b先求出b的值，即可得点A，点B坐标；
（2）①过点P作PF⊥OB于F，由折叠的性质可得∠OCP＝∠OCD＝45°，OC＝CD，可得CF＝PF＝2，则CD＝OC＝OF+CF＝5，即可求解；
②求出点E的坐标（，5），利用勾股定理得BE＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵点P（2，3）在直线y＝﹣x+b上，
∴3＝﹣×2+b，解得：b＝6，
∴直线的解析式为y＝﹣x+6，
∵直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，6）；
（2）①过点P作PF⊥OA于F，
∵将△OPC沿直线PC翻折得到△DPC，∠OCD＝90°，
∴∠OCP＝∠OCD＝45°，OC＝CD，
∴CF＝PF，
∵点P（2，3），
∴CF＝PF＝2，OF＝3，
∴CD＝OC＝OF+CF＝5，
∴点D（5，5），
故答案为：（5，5）；
②如图：
∵OC＝5，OB＝6，
∴BC＝1，
∵∠OCD＝90°，直线y＝﹣x+6与CD交于点E，
∴5＝﹣x+6，解得x＝，
∴点E的坐标（，5），
∴BE＝＝，
当△BEQ1是以BE为腰的等腰三角形时，BE＝BQ1＝，
∴OQ1＝OB+BQ1＝6+，
∴点Q的坐标为（0，6+）；
当△BEQ2是以BE为腰的等腰三角形时，BE＝BQ1＝，
∴OQ2＝OB﹣BQ2＝6﹣，
∴点Q的坐标为（0，6﹣）；
当△BEQ3是以BE为腰的等腰三角形时，BE＝EQ3，
∵∠OCD＝90°，
∴CE⊥OB．
∴BC＝CQ3＝1，
∴OQ3＝OC﹣CQ3＝5﹣1＝4，
∴点Q的坐标为（0，4）；
综上，存在点Q，使△BEQ是以BE为腰的等腰三角形，点Q的坐标为（0，6+）或（0，6﹣）或（0，4）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法可求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式是解题的关键．
36．如图，已知正比例函数y＝kx的图象标过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且三角形AOH的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）已知，在直线OA上（除O点外）是否存在点M，使得三角形AHM为等腰三角形？若存在，直接写出OM的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当AM＝AH＝4时，当MH＝AH＝4时，当AM＝MH时，分别画出图形，求出结果即可．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，S△AOH＝8，
∴点A的纵坐标为﹣4，
∴点A的坐标为（4，﹣4），
∵正比例函数y＝kx的图象经过点A，
∴﹣4＝4k，
解得k＝﹣1，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x；
（2）在直线OA上（除O点外）存在点M，使得△AHM为等腰三角形，理由如下：
当AM＝AH＝4，点M在点A的上方时，如图，
则OM＝OA﹣AM＝4﹣4；
点M在点A的下方时，OM＝OA﹣AM＝4+4；
当MH＝AH＝4时，
∵OH＝4，
∴点M与点O重合，
∴此时点M不符合题意；
当AM＝MH时，
∵AH＝OH＝4，∠AHO＝90°，
∴∠OAH＝∠AOH＝，
∴∠AHM＝∠MAH＝45°，
∴∠AMH＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴MH⊥OA，
∵OH＝AH，
则AM＝OM＝×AO＝2；
综上分析可知，OM的长为4或4或2．
【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，画出图形，注意进行分类讨论．
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx+的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）．
（1）求点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）当y＝3时，y＝﹣＝3，得到点A（1，3），再由待定系数法即可求解；
（2）当点E在y轴左侧时，由△ADE的面积＝DH×（xA﹣xE）＝×（1﹣m）＝，得到点E（﹣1，）；当点E（E′）在y轴右侧时，则此时点E、E关于点A对称，即可求解；
（3）当点P在y轴左侧时，证明PC＝AC，设点P（x，0），即可求解；当点P（P′）在y轴右侧时，则点P′、P关于点A对称，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝3时，y＝﹣＝3，
解得：x＝1＝a，即点A（1，3），
将点A的坐标代入函数表达式得：3＝k+，则k＝，
则直线l2的表达式为：y＝x+；
（2）如图1，当点E在y轴左侧时，
设直线l2和y轴交于点H（0，），设点E（m，m+），由函数的表达式知，点D（0，），
则DH＝，
则△ADE的面积＝DH×（xA﹣xE）＝×（1﹣m）＝，
解得：m＝﹣1，即点E（﹣1，）；
当点E（E′）在y轴右侧时，
则此时点E、E关于点A对称，
由中点坐标公式得：点E′（3，），
即点E的坐标为：（﹣1，）或（3，）；
（3）存在，理由：由函数的表达式知，点C（﹣3，0），
当点P在y轴左侧时，如图2，
∵∠ACB＝2∠APC，则∠CPA＝∠CAP，
即PC＝AC，设点P（x，0），
由点A、P、C的坐标得，AC＝5，PC＝﹣3﹣x＝5，
解得：x＝﹣8，即点P（﹣8，0），
当点P（P′）在y轴右侧时，
则点P′、P关于点A对称，
由中点坐标公式得：点P′（10，0），
综上，P（﹣8，0）或（10，0）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键．
38．（1）模型建立：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）；
模型应用：
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式；
探究提升：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标．
【分析】（1）证明△ACD≌△CBE即可得到结论；
（2）分点A为直角顶点和点B为直角顶点两种情况求解即可；
（3）过点C作CD⊥OA轴于点D，设OB＝t证明△ACD≌△BAO，表示出点C的坐标，则可得，然后构造轴对称最短距离求解即可．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°．
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE．
（2）以点A为直角顶点时，如图，作CD⊥OA于点D．
∵，
∴x＝0时，y＝8；当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，8）．
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°．
∵CD⊥OA，
∴∠AOB＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
∵CA＝AB，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴AD＝OB＝8，CD＝OA＝6，
∴OD＝6+8＝14，
∴C（14，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+8，把C（14，6）代入，得14k+8＝6，
∴，
∴；
当以点B为直角顶点时，作CD⊥OB于点D．如图，
同理可求：CD＝OB＝8，BD＝OA＝6，
∴OD＝6+8＝14，
∴C（8，14）．
设直线BC的解析式为y＝nx+8，把C（8，14）代入，得8n+8＝14，
∴，
∴．
（3）如图，过点C作CD⊥OA轴于点D，设OB＝t．
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°．
∵CD⊥OA，
∴∠AOB＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
∵CA＝AB，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴AD＝OB＝t，CD＝OA＝3，
∴OD＝t﹣3，
∴C（3﹣t，3），
∴CA+OC＝，
设P（t，0），M（0，3），N（3，3），
则求的最小值可看作点P到点M和点N的距离之和最小，如图，
作点M（0，3）关于x轴的对称点M'（0，﹣3），连接M'N交x轴于点P，连接MP，
则PM+PN＝PM'+PN＝M'N＝．
设直线M'N的解析式为y＝mx﹣3，把N（3，3）代入得3m﹣3＝3，
∴m＝2，
∴y＝2x﹣3，
当y＝0时，，
∴，
∴此时，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，以及轴对称最短距离等知识，数形结合是解答本题的关键．
39．如图，直线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是OA的中点．
（1）求出点B、点C的坐标及b的值；
（2）在y轴上存在点D，使得S△BCD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点C是OA的中点，求得OC＝OA＝2，得到C（2，0），把点A（4，0）代入直线得﹣×4+b＝0，解方程即可得到结论；
（2）设D（0，m），根据三角形的面积公式列方程即可得到D（0，0）或（0，4）；
（3）设x轴存在一点P（m，0），使得△ABP是直角三角形，根据勾股定理得到AB2＝20，AP2＝（4﹣m）2，BP2＝m2+4，△ABP是直角三角形，分两种情况：①∠APB＝90°时，P与原点重合，此时P（0，0）；②∠ABP＝90°时，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵点C是OA的中点，
∴OC＝OA＝2，
∴C（2，0），
∵直线与x轴交于点A（4，0），
∴﹣×4+b＝0，
∴b＝2，
∴B（0，2）；
（2）设D（0，m），
∵S△BCD＝S△ABC，
∴|m﹣2|×2＝×2×（4﹣2），
∴m＝4或m＝0，
∴D（0，0）或（0，4）；
（3）设x轴存在一点P（m，0），使得△ABP是直角三角形，
∵A（4，0），B（0，2），∠AOB＝90°，
根据勾股定理可得：AB2＝OB2+OA2，
∴AB2＝20，
∵AP2＝（4﹣m）2，BP2＝m2+4，
△ABP是直角三角形，分两种情况：
①∠APB＝90°时，P与原点重合，此时P（0，0）；
②∠ABP＝90°时，则AB2+BP2＝AP2，
∴20+m2+4＝（4﹣m）2，
解得：m＝﹣1，此时P（﹣1，0），
综上所述：P（0，0）或（﹣1，0）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
40．如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴C（2，﹣4），
将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC＝×2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，
同理：△QCM≌△BQN（AAS），
∴QN＝CM，BN＝QM，
设Q（m，t），
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t，
∴，解得
∴m＝3；
综上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m的值为4或6或3．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
41．如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）填空：k＝ ；n＝ 4 ；b＝ 8 ；
（2）求△ABC的面积；
（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
（4）若△DEF为直角三角形，求点D的坐标．
【分析】（1）把B（﹣6，0）代入kx+3，得k的值，可得直线AB解析式，把点A（2，n）代入y＝x+3，得n的值，再将点A代入AC的函数解析式即可得b的值；
（2）根据直线AC：y＝﹣2x+8得点C（4，0），根据点A（2，4），点B（﹣6，0）和点C（4，0），可得BC＝10，△ABC的BC边上的高为4，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）过点A作AH⊥y轴于点H，先求解AE2＝AB2＝80，再求解HE＝2，可得OE＝2﹣4，从而可得答案；
（4）由对折得∠E＝∠ABD＝90°，可得△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：当∠EDF＝90°时，过点A作AG⊥BC于G，证明AG＝DG＝4，从而可得答案，当∠DFE＝90°时，先求解AE＝AB＝＝4，可得EF＝4﹣4，设DF＝m，则DE＝8﹣m，再利用勾股定理求解m，再求OD，即可得到答案．
【解答】解：（1）把B（﹣6，0）代入kx+3，
∴﹣6k+3＝0，
∴k＝，
∴直线AB解析式：y＝x+3，
把点A（2，n）代入y＝x+3，
∴n＝4，
∴A（2，4），
把（2，4）代入y＝﹣2x+b得，
﹣4+b＝4，
∴b＝8，
故答案为：；4；8；
（2）∵直线AC：y＝﹣2x+8，
∴点C（4，0），
∵点A（2，4），点B（﹣6，0）和点C（4，0），
∴BC＝10，△ABC的BC边上的高为4，
∴S△ABC＝×10×4＝20；
（3）如图，过点A作AH⊥y轴于点H，
∴AH＝2，AE2＝AB2＝（﹣6﹣2）2+42＝80，
∴HE＝＝2，
∴OE＝HE﹣OH＝2﹣4，
∴E点的坐标为（0，4﹣2）；
（4）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
当∠EDF＝90°时，
如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE＝＝135°，
∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，
过点A作AG⊥BC于G，
∴AG＝DG＝4，
∵OG＝2，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0）；
当∠DFE＝90°时，
由对折得，AE＝AB＝＝4，BD＝DE，
∴EF＝4﹣4，
由A、B两点坐标可得：BF＝2﹣（﹣6）＝8，
设DF＝m，则BD＝8﹣m，
∴DE＝8﹣m，
∴（8﹣m）2＝m2+（4﹣4）2，
∴m＝2﹣2，
∴OD＝DF﹣OF＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴D（4﹣2，0），
综上，D（﹣2，0）或（4﹣2，0）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键．
42．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣2，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若D为AB的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【分析】（1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到OA＝OB，然后再∠COB＝∠POA＝90°，∠OAP＝∠OBC，最后，依据ASA可证明△OAP≌△OBC，得出OP＝OC，从而得出点P的坐标；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，利用AAS证明△COM≌△PON，得出OM＝ON，再根据角平分线得到判定即可得出HO平分∠CHA，从而求出∠OHP；
（3）连接OD，易证△ODM≌△ADN，从而有S△ODM＝S△ADN，进而求解．
【解答】（1）解：∵，，（a﹣6）2≥0，
∴a﹣6＝0，a+b＝0，
解得：a＝6，b＝﹣6，
∴OA＝OB，
∵∠AOP＝∠BOC＝90°，AH⊥BC，
∴∠OAP+∠ACH＝90°，∠OBC+∠ACH＝90°，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP与△OBC中，
∵，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC，
∵C的坐标为（﹣2，0），
∴P（0，﹣2）；
（2）证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，
∵AH⊥BC，OM⊥CB，ON⊥HA，
∴∠OMH＝∠ONH＝∠MHN＝90°，
∴∠MON＝360°﹣∠OMH﹣∠ONH﹣∠MHN＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP，
在△COM与△PON中，
∵，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴；
（3）解：S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于9，理由如下：
如图：连接OD，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD，
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA，
在△ODM和△ADN中，
∵，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
43．如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点的坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．
（1）求AB的函数表达式．
（2）点P是直线AB上方第一象限内的动点，如图2，当△ABP为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）求出点A的坐标，得到OA、OD、AD的长度，根据对称的性质结合勾股定理列方程求出点B的坐标，代入一次函数中即可就出k的值；
（2）分①若∠PAB＝90°，AP＝AB，②若∠ABP＝90°，BA＝BP，③若∠APB＝90°，PA＝PB，根据全等三角形的性质，求出线段长度从而得到点P的坐标．
【解答】解：（1）直线AB的解析式为y＝kx+3，D点的坐标为（4，0），把x＝0代入y＝kx+3，得：y＝3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，OD＝4，
∵∠AOD＝90°，
在直角三角形OAD中，由勾股定理得：，
∵点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，
∴OA＝AC＝3，OB＝BC，
∴CD＝AD﹣AC＝2，
设OB＝BC＝a，则BD＝4﹣a，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得，
∴点B的坐标为，
把代入y＝kx+3，得：
，
解得k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；
（2）点P是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABP为等腰直角三角形时，分以下三种情况讨论：
①若∠PAB＝90°，AP＝AB，过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图1，
∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠BAO＝90°，
∴∠APM＝∠BAO，
∵∠PMA＝∠AOB＝90°，PA＝AB，
∴△APM≌△BAO（AAS），
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②若∠ABP＝90°，BA＝BP，如图2，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠PBM＝90°，
∴∠BAO＝∠PBM，
∵∠AOB＝∠BMP＝90°，BA＝BP，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
③若∠APB＝90°，PA＝PB，如图3，过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作AM⊥PN，垂足为M，
设点P的坐标为（m，n），
∵∠APM+∠PAM＝90°，∠APM+∠BPN＝90°，
∴∠PAM＝∠BPN，
∵∠AMP＝∠PNB＝90°，PA＝PB，
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴AM＝PN，PM＝BN，
即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是理解题意，利用分类讨论思想解题．
44．平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+3与x轴、y轴分别交于点B、A．直线BC：y＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求△BCA的面积；
（2）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为x轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求E点坐标；
（3）如图2，点P在点A下方的y轴上一点，∠ODB＝∠PDA，直线DP与直线AB交于点M，求M点的坐标．
【分析】（1）分别求出A、B、C的坐标，进而得到OB，AC的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）求出D点的坐标是（﹣3，3），设点E的坐标为（t，0），根据题意可得BE＝DE，据此利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）当点P在点A的下方，由∠ODB＝∠PDA，∠ADO＝45°得到∠PDB＝45°，过点B作BN⊥BD交直线DP于点N，过点N作NQ⊥OB于点Q，过点E作DH⊥OB于点H，证明△DHB≌△BQN（AAS），进一步求出，求出直线DN的解析式为，联立直线解析式求出交点M的坐标即可．
【解答】解：（1）在y＝2x+3中，当x＝0时，y＝3，
在y＝﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，，
∴，
∴，
∴；
（2）联立，
解得，
∴D点的坐标是（﹣3，3），
设点E的坐标为（t，0），则，DE2＝（﹣3﹣t）2+（3﹣0）2，
∵△BDE是以BD为底边的等腰三角形，
∴BE＝DE，
∴BE2＝DE2，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）如图，当点P在点A的下方，
∵A（0，3），D（﹣3，3），
∴AD＝OA，AD⊥y轴，
∴∠ADO＝∠ADP+∠PDO＝45°，
∵∠ODB＝∠PDA，
∴∠PDB＝∠ODB+∠PDO＝45°；
过点B作BN⊥BD交直线DP于点N，过点N作NQ⊥OB于点Q，过点D作DH⊥OB于点H，
∴△DBN为等腰直角三角形，
∴DB＝BN，
∵∠BDH+∠DBH＝90°，∠DBH+∠NBQ＝90°，
∴∠BDH＝∠NBQ，
在△DHB和△BQN中，
，
∴△DHB≌△BQN（AAS），
∴，BQ＝DH＝3，
∴，
∴，
设直线DN的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线DN的解析式为，
联立直线AB和DN解析式得到，
解得：即，．
【点评】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 5 ；点D的坐标是 （8，0） ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理得到AB＝5，由折叠的性质可知，AD＝AB＝5，进而得到OD＝8，即可得到点D的坐标；
（2）设OC＝x，由折叠的性质可知，CD＝BC＝4+x，再根据勾股定理，求出x的值，即可得到点C的坐标；
（3）先求出S△COD＝24，设点M的坐标为（0，m），则BM＝|m﹣4|，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标；
（4）分三种情况讨论：①当∠BAP＝90°，AB＝AP；②当∠ABP＝90°，BA＝BP；③当∠APB＝90°，PA＝PB，根据全等三角形的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
由折叠的性质可知，AD＝AB＝5，
∴OD＝OA+AD＝3+5＝8，
∴点D的坐标是（8，0），
故答案为：5，（8，0）；
（2）设OC＝x，则BC＝OB+OC＝4+x，
由折叠的性质可知，CD＝BC＝4+x，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OC2+OD2＝CD2，
∴x2+82＝（x+4）2，
解得：x＝6，即OC＝6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）；
（3）∵C（0，﹣6），D（8，0），
∴OC＝6，OD＝8，
∴，
∵点M是y轴上一动点，
∴设点M的坐标为（0，m），
∴BM＝|m﹣4|，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴点M的坐标为或；
（4）在第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形；理由如下：
①当∠BAP＝90°，AB＝AP，则△PAB为等腰直角三角形，
如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，
∴∠PGA＝∠AOB＝90°，
∵∠BAP＝90°，
∴∠BAO+∠PAG＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠PAG，
在△AOB和△PGA中，
，
∴△AOB≌△PGA（AAS），
∴OA＝PG＝3，OB＝AG＝4，
∴OG＝OA+AG＝7，
∴点P的坐标为（7，3）；
②当∠ABP＝90°，BA＝BP，则△PAB为等腰直角三角形，
如图2，过点P作PH⊥y轴于点H，
同理 可证，△AOB≌△BHP（AAS），
∴OA＝BH＝3，PH＝OB＝4，
∴OH＝OB+BH＝7，
∴点P的坐标为（4，7）；
③当∠APB＝90°，PA＝PB，则△PAB为等腰直角三角形，
如图3，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴∠PNB＝∠PMA＝∠MPN＝90°，
∴∠APN+∠APM＝90°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BPN+∠APN＝90°，
∴∠APM＝∠BPN，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴AM＝BN，PM＝PN，
∴设点P的坐标为（p，p），
∴OM＝ON＝p，
∴BN＝OB﹣ON＝4﹣p，AM＝OM﹣OA＝p﹣3，
∴4﹣p＝p﹣3，
解得：，
∴点P的坐标为，
综上可知，第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，点P的坐标（7，3）或（4，7）或．
【点评】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
46．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标．
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A的坐标）时，△AOB的面积是3．
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别令x与y为0求出对应y与x的值，即可求出B、C两点的坐标；
（2）根据三角形面积公式，可得y的值，将y代入直线，得到x，即可确定出A的坐标；
（3）在②成立的情况下，x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，分OA＝AP，AP＝OP，OA＝OP三种情况讨论．
【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令x＝0，得到y＝1，即C（0，1）；
令y＝0，得到x＝﹣2，即B（﹣2，0）；
（2）∵点A（x，y）是第一象限内的直线上，且S△AOB＝OB•y＝3，
由（1）知B（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴y＝3，
当y＝3时，x＝4，
∴A（4，3）；
（3）在（2）成立的情况下，x轴上存在点P，使△POA是等腰三角形，理由如下：
设P（m，0），
∵A（4，3），
∴，，OP＝|m|，
分三种情况考虑：
当OA＝OP＝5时，即|m|＝5，
解得：m＝5或m＝﹣5，
点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；
当AP＝OP时，即，
整理得：8m＝25，
解得：，
点P的坐标为；
当OA＝AP时，即，
即（4﹣m）2＝16，
4﹣m＝±4，
解得：m＝0（舍去，不符合题意）或m＝8，
点P的坐标为（8，0）；
综上，P的坐标为（8，0）或或（5，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查一次函数综合，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
47．如图1，直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝7．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点P为直线AB上一动点，若有，请求出点P的坐标；
（3）如图2，在x轴负半轴有一点E，将直线l2平移过E点得直线l3，连接BE，若点M为直线l3上一动点，是否存在点M，使得∠MBE＝60°，若存在，请直接写出M交点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当y＝0时，得x＝﹣3，进而可得A（﹣3，0），进而可得C（4，0），再将C（4，0）代入y＝﹣x+b即可求解；
（2）联立方程组，解得，进而可得，过点P作x轴垂线交CD于点Q，设P（t，t+3），则Q（t，﹣t+2），根据S△POD＝S△ACD得SPCD＝•PQ（xC﹣xD）＝|t+1|•＝7，进而可求解；
（3）由（1）得：OA＝3，令x＝0，则y＝0+3＝3，进而可得B（0，3），可得OB＝OA，进而可得∠ABO＝45°，由OE＝，再根据勾股定理得BE＝＝＝2，再利用直角三角形的特征得∠EBO＝30°，再由平移的性质得出直线l3的解析式为y＝﹣x﹣，然后分两种情况分析：当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接BF并延长交l3于点M；当点M在y轴左侧时，过点B作BF∥x轴交交l3于点M，分别利用一次函数的性质及平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵AC＝7，
∴C（4，0），
将C（4，0）代入y＝﹣x+b得b＝2，
∴直线l2的解析式为：y＝﹣x+2；
（2）解方程组得，
∴D（﹣，），
∴S△ACD＝•AC•yO＝，
∴S△POD＝S△ACD＝7，
过点P作x轴垂线交CD于点Q，如图：
设P（t，t+3），则Q（t，﹣t+2），
SPCD＝•PQ（xC﹣xD）＝|t+1|•＝7，
∴|t+1|＝3，
∴t＝或t＝﹣，
∴P（，）或P（﹣，）；
（3）存在，理由如下：
由（1）得：OA＝3，
令x＝0，则y＝0+3＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝OA，
∴∠ABO＝45°，
∵AC＝7，
∴OC＝4，
∵OE＝，
∴E（﹣，0），
在Rt△BEO中，根据勾股定理得，
∴BE＝＝2，
∴OE＝BE，
∴∠EBO＝30°，
∵将直线l2平移过E点得直线l3，
∴直线l2的解析式y＝﹣x+2，
∴设直线l3的解析式为y＝﹣x+m，
将点E（﹣，0）代入y＝﹣x+m得：0＝﹣×（﹣）+m，
解得m＝﹣，
∴直线l3的解析式为y＝﹣x﹣，
在y＝x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接BF并延长交l3于点M，如图所示：
∴F（，0），
∴∠MBO＝∠EBO＝30°，
∴∠MBE＝2∠EBO＝60°，
设直线BM的函数解析式为y＝kx+d，将点B（0，3）、M（，d）代入得：
，
解得，
∴直线BM的函数解析式为y＝﹣x+3，
解方程组得，
∴M（，﹣）；
当点M在y轴左侧时，过点B作BF∥x轴交l3于点M，如图所示：
∵∠EBO＝30°，
∴∠MBE＝∠BEO＝60°，
把B（0，3）代入y＝﹣x﹣得3＝﹣x﹣，
解得x＝﹣6﹣，
∴M（﹣6﹣，3），
综上可得：M（，﹣）或M（﹣6﹣，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含30°角的直角三角形的特征、一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
48．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（﹣1，0）、交y轴于点B（0，3）．
（1）求直线l对应的函数表达式；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当AB＝AC时，列出等式，即可求解；当AB＝BC或AC＝BC时，同理可解．
【解答】解：（1）设直线l的表达式为：y＝kx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣k+3，
解得：k＝3，
则直线l的表达式为：y＝3x+3；
（2）存在，理由：
设点C（x，0），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝10，AC2＝（x+1）2，BC2＝x2+9，
当AB＝AC时，
则10＝（x+1）2，
解得：x＝﹣1，
即点C（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）；
当AB＝BC或AC＝BC时，
则x2+9＝10或（x+1）2＝x2+9，
解得：x＝﹣1（舍去）或1或x＝4，
即点C（1，0）或（4，0），
综上，点C的坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）或（1，0）或（4，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握两点间的距离公式表示各线段的长是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
49．如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），一次函数图象与y轴的交点为C（0，2），与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如果在一次函数y＝kx+b的图象存在一点Q，使△OCQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）先将A（m，4）代入y＝2x，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）先求出点D的坐标，得出OD＝2，再由，即可求解；
（3）设点Q（t，t+2），得出OC2＝22＝4，OQ2＝t2+（t+2）2＝2t2+4t+4，CQ2＝t2+（t+2﹣2）2＝2t2，分三种情况：当OC＝OQ时，当OC＝CQ时，当OQ＝CQ时，分别列出方程，求出结果即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），
∴4＝2m，
解得m＝2，
∴A点的坐标（2，4）；
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，4）和点C（0，2），
则有，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+2；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上存在一点P，使得S△ODP＝3；理由如下：
对于一次函数y＝x+2，令y＝0，得：0＝x+2，
解得x＝﹣2，
∴点D（﹣2，0），
∴OD＝2，
设点P（m，n），
根据题意可知：，
解得n＝±3，
当n＝3时，3＝m+2，
解得：m＝1，
当n＝﹣3时，﹣3＝m+2，
解得：m＝﹣5，
∴P点的坐标（1，3）或（﹣5，﹣3）；
（3）设点Q（t，t+2），
则OC2＝22＝4，
OQ2＝t2+（t+2）2＝2t2+4t+4，
CQ2＝t2+（t+2﹣2）2＝2t2，
当OC＝OQ时，OC2＝OQ2，
∴2t2+4t+4＝4，
解得：t＝﹣2或t＝0（舍去），
此时点Q的坐标为（﹣2，0）；
当OC＝CQ时，OC2＝CQ2，
∴2t2＝4，
解得：或，
此时点Q的坐标为或；
当OQ＝CQ时，OQ2＝CQ2，
∴2t2＝2t2+4t+4，
解得：t＝﹣1，
此时点Q的坐标为（﹣1，1）；
综上分析可知：点Q的坐标为：（﹣2，0）或或或（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论．
50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（2，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（3）一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3 不能围成三角形，直接写出k的值．
【分析】（1）将点C坐标代入次函数y＝﹣x+m可得m的值，设l2的表达式为：y＝nx，由点C（2，4），即可求解；
（2）设M（a，﹣a+5），根据S△AOM＝2S△BOC，即可求解；
（3）当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，即可求解．
【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+m的图象l1与l2交于点C（2，4），
将点C坐标代入y＝﹣x+m得：4＝﹣×2+m，解得：m＝5，
设l2的表达式为：y＝nx，
将点C（2，4）代入上式得：4＝2n，解得：n＝2，
故：l2的表达式为：y＝2x；
（2）点M是直线y＝﹣x+m上的一个动点，
由（1）得m＝5，
∴y＝﹣x+5，
∴A（10，0），B（0，5），
∵C（2，4），
∴S△BOC＝×5×2＝5，
设M（a，﹣a+5），
S△AOM＝2S△BOC＝10，
∴S△AOM＝×10×|﹣a+5|＝10，解得：a＝6或14，
∴点M的坐标为（6，2）或（14，﹣2）；
（3）当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，
即k＝﹣或k＝2，
当l3过点C（2，4）时，l1，l2，l3不能围成三角形，
将点C坐标代入y＝kx+2并解得：k＝1；
故当l3的表达式为：y＝﹣x+2或y＝2x+2或y＝x+2．
故k＝﹣或2或1．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等．解决问题的关键是利用图象求解各问题．
51．已知：如图1，直线AB：y＝﹣x+2分别交x，y轴于点A，B．直线AC与直线AB关于x轴对称，点D为x轴上一点，E为直线AC上一点，BD＝DE．
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）若点D的坐标为（3，0），求点E的坐标；
（3）如图2，将“直线AB：y＝﹣x+2”改为“直线AB：y＝kx+2”，∠E＝∠ABO+∠ADB，xE＝3，其他不变，求k的值．
【分析】（1）利用待定系数法可得直线AC的解析式；
（2）设E（e，e﹣2），根据BD＝DE，列方程可解答；
（3）同理可求得：直线AC的解析式为：y＝﹣kx﹣2，代入可得E（3，﹣3k﹣2），设∠ABO＝α，∠ADB＝β，如图2，连接CD，过点E作EF⊥x轴于F，证明△EFD≌△DOC（AAS），从而可以解答．
【解答】解：（1）由直线AB：y＝﹣x+2得B（0，2），A（2，0），
∵直线AC与直线AB关于x轴对称，
∴C（0，﹣2），
设直线AC的解析式为：y＝mx﹣2，
把点A的坐标（2，0）代入得：2m﹣2＝0，
∴m＝1，
∴直线AC的解析式为：y＝x﹣2；
（2）设E（e，e﹣2），
∵BD＝DE，
∴22+32＝（e﹣3）2+（e﹣2）2，
∴e＝0或5，
∴E（0，﹣2）或（5，3）；
（3）当y＝0时，kx+2＝0，
∴x＝﹣，
∴A（﹣，0），
同理可求得：直线AC的解析式为：y＝﹣kx﹣2，
∵xE＝3，
∴y＝﹣3k﹣2，
∴E（3，﹣3k﹣2），
设∠ABO＝α，∠ADB＝β，
如图2，连接CD，过点E作EF⊥x轴于F，
由对称得：BD＝CD，∠ACO＝∠ABO＝α，∠ODC＝∠ADB＝β，
∵∠AED＝∠ABO+∠ADB，
∴∠AED＝α+β，
∵BD＝DE，
∴CD＝DE，
∴∠AED＝∠ECD＝α+β，
在Rt△COD中，
∵∠OCD+∠ODC＝90°，
∴2α+2β＝90°，
∴α+β＝45°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠EDO＝∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠EDO＝∠OCD，
∵∠EFD＝∠COD＝90°，ED＝CD，
∴△EFD≌△DOC（AAS），
∴DF＝OC＝2，OD＝EF＝3+2＝5，
∴E（3，5），
∴﹣3k﹣2＝5，
∴k＝﹣．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质等知识．解题的关键是熟练掌握待定系数法，全等三角形的判定与性质．
52．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x、y轴分别交于A、B两点，C在x轴负半轴上，CB＝5．
（1）求CB所在直线的解析式；
（2）已知点D为x轴上一动点，且满足∠CBD＝∠ABO，求D点坐标；
（3）平面内是否存在点P，使得△PAB～△OBC，求P点坐标．
【分析】（1）求出B（0，3），OB＝3，由BC＝5，可得OC＝＝4，C（﹣4，0），再用待定系数法可得BC所在直线的解析式为y＝x+3；
（2）分两种情况：当D在线段CA上时，过D作DK⊥BC于K，由△BKD∽△BOA，知BK＝3DK，设DK＝m，则BK＝3m，又△CDK∽△CBO，可得CD＝m，CK＝m，即知m+3m＝5，m＝，从而OD＝OC﹣CD＝，D的坐标为（﹣，0）；当D在线段AC延长线上时，过D作DT⊥BC交BC延长线于T，同理可得D的坐标为（﹣9，0）；
（3）求出AB＝＝，由△PAB～△OBC，可得PA＝，PB＝，设P（p，q），则，解方程组可得答案．
【解答】解：（1）在y＝﹣3x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
∵BC＝5，
∴OC＝＝＝4，
∴C（﹣4，0），
设BC所在直线的解析式为y＝kx+b，
把B（0，3），C（﹣4，0）代入得：，
解得，
∴BC所在直线的解析式为y＝x+3；
（2）当D在线段CA上时，过D作DK⊥BC于K，如图：
在y＝﹣3x+3中，令y＝0得x＝1，
∴A（1，0），
∴OA＝1，
∵∠BKD＝∠BOA＝90°，∠CBD＝∠ABO，
∴△BKD∽△BOA，
∴＝，即＝，
∴BK＝3DK，
设DK＝m，则BK＝3m，
∵∠DCK＝∠BCO，∠DKC＝∠BOC＝90°，
∴△CDK∽△CBO，
∴＝＝，即＝＝，
∴CD＝m，CK＝m，
∵CK+BK＝CB＝5，
∴m+3m＝5，
解得m＝，
∴CD＝×＝，
∴OD＝OC﹣CD＝4﹣＝，
∴D的坐标为（﹣，0）；
当D在线段AC延长线上时，过D作DT⊥BC交BC延长线于T，如图：
同理可得△BTD∽△BOA，BT＝3DT，△CDT∽△CBO，＝＝，
设DT＝n，则BT＝3n，
∴＝＝，
∴CD＝n，CT＝n，
∵BT﹣CT＝BC＝5，
∴3n﹣n＝5，
解得n＝3，
∴CD＝×3＝5，
∴OD＝OC+CD＝4+5＝9，
∴D的坐标为（﹣9，0）；
综上所述，D的坐标为（﹣，0）或（﹣9，0）；
（3）平面内存在点P，使得△PAB～△OBC，理由如下：
∵A（1，0），B（0，3），
∴AB＝＝，
∵△PAB∽△OBC，
∴＝＝，即＝＝，
∴PA＝，PB＝，
设P（p，q），
∴，
解得或，
∴P的坐标为（﹣，）或（，）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，解二元二次方程组等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
53．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点D是在直线AB上的动点，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由．
【分析】（1）根据坐标轴上点坐标特征求出B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据三角形面积求出|yD|＝3，据此求解即可；
（3）如图所示，过点Q作QH⊥x轴于H，根据一线三垂直模型证明△BOP≌△PHQ，得到PH＝OB，OP＝QH，进而证明AH＝QH，得到△AHQ是等腰直角三角形，则∠OAK＝∠QAH＝45°，由此可证明△OAK为等腰直角三角形即可求出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）当y＝0时，3x+6＝0，解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵B（0，6），C（﹣2，0），
∴OB＝6，OC＝2，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴AC＝OA+OC＝8，
，
∵，
∴，
∴|yD|＝3，
∴当yD＝3时，﹣x+6＝3，
解得x＝3，即点D的坐标为（3，3）；
当yD＝﹣3时，﹣x+6＝﹣3，
解得x＝9，即点D的坐标为（9，﹣3）；
综上所述，存在点D的坐标为（3，3）或（9，﹣3）使得；
（3）点K的位置不发生变化，其坐标为（0，﹣6），理由如下：
如图所示，过点Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ＝90°，BP＝QP，
∴∠OPB+∠HPQ＝90°，
又∵∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠OBP＝∠HPQ，
又∵∠BOP＝∠PHQ＝90°，
∴△BOP≌△PHQ（AAS），
∴PH＝OB，OP＝QH，
∴PH+PO＝BO+OP，即OA+AH＝BO+QH，
又∵OA＝OB，
∴AH＝QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH＝∠OAK＝45°，
∴△OAK为等腰直角三角形，
∴OK＝OA＝6，
∴K（0，﹣6）．
【点评】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
54．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．
（1）求线段AP长度的取值范围；∠QAP＝ 30° ；
（2）试问：点P运动的过程中，当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标；
（3）将直线l：y＝x绕着点Q顺时针旋转90°，得到的直线l′恰好经过点A，请直接写出点Q的坐标 （） ．
【分析】（1）作PB⊥x轴于B，作AC⊥OP于C，设P（m，），可得出PB＝m，OB＝m，从而tan∠POB＝，从而得出∠POB＝30°，AC＝OA•sin∠AOC＝2•sin60°＝，从而得出结果；
（2）当点P在第一象限时，当OQ＝OP时，可证得△AOQ≌△APQ，从而∠AQO＝∠AQP＝60°，进而得出结果；当OP＝OQ时，作AG⊥AO，交OP于G，可求得∠APO＝∠PAG＝15°，从而AG＝PG，解Rt△AOG求得OG＝2OA＝4，PG＝AG＝AO＝2，进而的呼出结果；同样方法求得点P在第二象限的情形；
（3）过A点作AV⊥OP于W，交x轴于V，作∠OWV的平分线WQ，交x轴于点Q，则OP绕点Q旋转90°后得到的直线过点A，可推出＝2，进一步得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
作PB⊥x轴于B，作AC⊥OP于C，
设P（m，），
∴PB＝m，OB＝m，
∴tan∠POB＝，
∴∠POB＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣∠POB＝60°，
∴AC＝OA•sin∠AOC＝2•sin60°＝，
∴AP≥，
故答案为：30°；
（2）如图2，
当点P在第一象限时，
当OQ＝OP时，∠QPO＝∠POQ＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠POQ﹣∠QPO＝120°，
∵AQ＝AQ，∠APQ＝∠AOQ＝90°，
∴△AOQ≌△APQ（HL），
∴∠AQO＝∠AQP＝60°，
∴OQ＝＝，
∴Q（，0）
如图3，
当OP＝OQ时，∠OPQ＝∠OQP＝75°，
∴∠APO＝90°﹣∠OPQ＝15°，
作AG⊥AO，交OP于G，
∵∠AOP＝60°，
∴∠PAO＝180°﹣∠AOP﹣∠APO＝105°，
∴∠PAG＝∠PAO﹣∠OAG＝105°﹣90°＝15°，
∴∠APO＝∠PAG，
∴AG＝PG，
在Rt△AOG中，∠AOP＝60°，AO＝2，
∴OG＝2OA＝4，PG＝AG＝AO＝2，
∴OQ＝OG＝OG+PG＝4+2，
∴Q（4+2，0），
如图4，
当点P在第二象限，OP＝OQ时，
∠OQP＝∠POQ＝30°，
∴∠OPQ＝120°，
∴∠APO＝∠OPQ﹣∠APQ＝30°，
∵∠AOP＝∠AOQ+∠POQ＝120°，
∴∠PAO＝30°，
∴∠PAO＝∠APO，
∴OP＝OA＝2，
∴OQ＝OP＝2，
∴Q（﹣2，0），
综上所述：Q（，0）或（4+2，0）或（﹣2）；
（3）如图5，
过A点作AV⊥OP于W，交x轴于V，作∠OWV的平分线WQ，交x轴于点Q，
则OP绕点Q旋转90°后得到的直线过点A，
∴，
由（2）知，
OV＝，，
∴，
∴OQ＝OV＝，
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b中“k”的几何含义，解直角三角形，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是分类讨论．
55．直线AB：y＝x+3分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在线段OB上存在点P，使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标：
（3）在第一象限内是否存在一点E，使得△BCE为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把y＝0代入y＝x+3求出x的值，即可得出点A的坐标；把x＝0代入y＝x+3求出y的值，即可求出B的坐标；根据OB：OC＝3：1，求出OC＝1，即可求出点C的坐标；
（2）连接PC，设PB＝PC＝x，则OP＝3﹣x，在Rt△OPC中，根据勾股定理可得：OC2+OP2＝PC2，据此列出方程求出x的值，进而得出OP，即可求出点P的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：①当BC＝CE时，过点E作EF⊥x轴于点F，通过证明△OBC≌△FCE，得出CF＝OB＝3，OC＝EF＝1，即可得出点E的坐标；②当BC＝BE时，过点E作EG⊥y轴于点G，和①同理可证：△OBC≌△GEB，BG＝OC＝1，OB＝GE＝3，即可求出点E坐标；③当BE＝CE时，过点E作EN⊥y轴于点N，过点E作EM⊥x轴于点M，通过证明△BNE≌△CME，设ON＝ME＝NE＝x，则BN＝3﹣x，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x+3得：0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把x＝0代入y＝x+3得：y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝1，
∴C（1，0）；
（2）连接PC，
∵点P到B，C的距离相等，
∴PB＝PC，
设PB＝PC＝x，则OP＝3﹣x，
在Rt△OPC中，根据勾股定理可得：OC2+OP2＝PC2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）①当BC＝CE时，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠BCE＝90°，
∴∠BCO+∠FCE＝90°，
∵∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠FCE＝∠OBC，
∵∠FCE＝∠OBC，∠BOC＝∠CFE＝90°，BC＝CE，
∴△OBC≌△FCE，
∴CF＝OB＝3，OC＝EF＝1，
∴E（4，1）；
②当BC＝BE时，过点E作EG⊥y轴于点G，
和①同理可证：△OBC≌△GEB，
∴BG＝OC＝1，OB＝GE＝3，
∴E（3，4）
③当BE＝CE时，过点E作EN⊥y轴于点N，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵OB＝3，OC＝1，
∴，
根据勾股定理可得：BE2+CE2＝2BE2＝BC2＝10，
解得：，
∵EN⊥y轴，EM⊥x轴，∠MON＝90°，
∴四边形OMEN为矩形，
∴ON＝EM，∠MEN＝90°，
则∠CEM+∠CEN＝90°，
∵∠BEC＝∠BEN+∠CEN＝90°，
∴∠BEN＝∠CEM，
∵∠BEN＝∠CEM，∠BNE＝∠CME＝90°，BE＝CE，
∴△BNE≌△CME，
∴BN＝CM，NE＝ME，
设ON＝ME＝NE＝x，则BN＝3﹣x，
∵BN2+NE2＝BE2，
∴（3﹣x）2+x2＝5，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴ON＝2或ON＝1（舍），
∴E（2，2）；
综上：E（4，1）或E（3，4）或E（2，2）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，构造全等三角形和直角三角形求解是解题的关键．
56．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，a），直线y＝﹣x+3与y轴交于点E，连接AE．
（1）求直线l的解析式；
（2）求△ACE的面积；
（3）Q为直线y＝﹣x+3上一点，若△BEQ为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据S△ACE＝S△ABE﹣S△BCE，即可求解；
（3）分BQ＝BE、BQ＝EQ、BE＝QE三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3过点C（﹣1，a），
∴a＝1+3＝4，
∴点C（﹣1，4），
直线l过点B（0，6），C（﹣1，4），
则设直线l的解析式为y＝kx+6，
将点C的坐标代入上式得：4＝﹣k+6，解得k＝2，
故直线l的表达式为y＝2x+6；
（2）对于y＝2x+6，令y＝2x+6＝0，解得x＝﹣3，
故点A（﹣3，0），
对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，
故点E（0，3），
∵点C（﹣1，4），B（0，6），
∴S△ACE＝S△ABE﹣S△BCE＝×（6﹣3）×3﹣×（6﹣3）×1＝3；
（3）如图：
设点Q（m，3﹣m），
由点B、E、Q的坐标得：BQ2＝m2+（3﹣m﹣6）2，BE2＝9，QE2＝2m2，
当BQ＝BE时，即m2+（3﹣m﹣6）2＝9，
解得m＝0（舍去）﹣3，
∴点Q的坐标（﹣3，6）；
当BQ＝EQ时，同理可得：m＝﹣，
∴点Q的坐标（﹣，）；
当BE＝QE时，同理可得：m＝±，
∴点Q的坐标（，3﹣）或（﹣，3+）；
综上，点Q的坐标为（﹣3，6）或（﹣，）或（，3﹣）或（﹣，3+）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
57．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（3，0）为正方形ABCD的两个顶点，点C和D在第一象限．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）过D作DE⊥y轴于点E，根据正方形的性质结合题意易证△DAE≌△ABO（AAS），即得出DE＝OA＝4，AE＝OB＝3，从而得出OE＝7，即D（4，7）；
（2）过点C作CF⊥x轴于点F，同理可证得△BCF≌△ABO，即得出CF＝OB＝3，BF＝AO＝4，从而得出OF＝7，即C（7，3）．再利用待定系数法求解即可；
（3）由正方形的性质可得出CD⊥BC，即说明要使△PCD为等腰三角形，只存在CD＝PC．分类讨论：①当点P位于C点下方时，此时点P与点B重合，即P（3，0）；②当点P位于C点上方时，根据中点坐标公式即可求解．
【解答】解：（1）过D作DE⊥y轴于点E，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠OAB＝90°．
又∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠DAE．
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°＝∠AOB．
在△DAE和△ABO中，
，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE＝OA＝4，AE＝OB＝3，
∴OE＝7，
∴D（4，7）；
（2）过点C作CF⊥x轴于点F，如图2，
同理可证得△BCF≌△ABO，
∴CF＝OB＝3，BF＝AO＝4，
∴OF＝7，
∴C（7，3）．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）．
代入B（3，0），C（7，3），得：
，
解得：，
∴；
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD⊥BC．
∵在直线BC上存在点P，使△PCD为等腰三角形，
∴只存在CD＝PC．
分类讨论：①当点P位于C点下方时，
∵CD＝PC，CD⊥BC，
∴此时点P与点B重合，
∴P（3，0）；
②当点P位于C点上方时，如图3，
∵CD＝PC＝BC，
∴点C为PB中点．
∵B（3，0），C（7，3），
∴P（11，6）；
综上可知点P的坐标为（3，0）或（11，6）．
【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
58．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，AB+OB＝2OA．
（1）如图1，求k值；
（2）如图2，点C在y轴正半轴上，OC＝2OA，过点C作AB的垂线交x轴于点D，点E为垂足，点P在BE的延长线上，点P的横坐标为t，连接PO，PD，△POD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F在OD上，连接FB，FP，若∠OBF+∠BPF＝∠FPD＝45°，求t值．
【分析】（1）设OA＝m，可表示出AB，根据AB+OB＝2OA列出方程，求得m的值，从而得出A坐标，进一步得出结果；
（2）可推出∠BCE＝∠BAO，从而tan∠BCE＝tan∠BAO，从而，进而得出，求得OD＝6，进一步得出结果；
（3）作PG⊥AB，交x轴于G，连接BD，作FH⊥AB于H，作PW⊥AD于W，可推出∠DPG＝∠OBF，∠PGD＝∠ABO，从而得出∠ABO+∠OBF＝∠PGD+∠DPG，从而∠ABF＝∠PDF，从而得出点B、F、G、P共圆，从而∠BPF＝∠BDO，故tan∠BPF＝tan∠BDO＝，从而得出tan∠OBF＝，从而得出OF＝1，从而得出AF的长，进而得出AH＝OA＝4，FH＝OB＝3，从而得出PH＝9，从而AP＝13，解直角三角形APW得出PW的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）设OA＝m，
由题意得，
OB＝3，
则AB＝，
由AB+OB＝2OA得，
+3＝2m．
∴m＝4，
∴A（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+3，
∴k＝；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠CEB＝∠AOB，
∵∠CBE＝∠ABO，
∴∠BCE＝∠BAO，
∴tan∠BCE＝tan∠BAO，
∴，
∴OC＝2OA，OB＝3，
∴，
∴OD＝6，
∵P（t，t+3），
∴S＝yP＝t+3）＝+9；
（3）如图，
作PG⊥AB，交x轴于G，连接BD，作FH⊥AB于H，作PW⊥AD于W，
∴∠APG＝90°，
∵∠FPD＝45°，
∴∠DPG+∠BPF＝45°，
∵∠OBF+∠BPF＝45°，
∴∠DPG＝∠OBF，
∵∠APG＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠PGD＝90°，∠BAO+＝∠ABO＝90°，
∴∠PGD＝∠ABO，
∴∠ABO+∠OBF＝∠PGD+∠DPG，
∴∠ABF＝∠PDF，
∴点B、F、G、P共圆，
∴∠BPF＝∠BDO，
∴tan∠BPF＝tan∠BDO＝，
如图2，
∠RTV+∠STV＝45°，tan∠RTV＝，tan∠STV＝，
∴tan∠OBF＝，
∴OF＝，
∴AF＝OA+OF＝5，
∴AB＝AF，
∵∠AHF＝∠AOB＝90°，∠BAO＝∠HAF，
∴△AHF≌△AOB（AAS），
∴AH＝OA＝4，FH＝OB＝3，
∴PH＝，
∴AP＝AH+PH＝4+9＝13，
∴PW＝AP•sin∠BAO＝AP＝13×＝，
由得，
x＝，
∴t＝．
【点评】本题考查了求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等角．
59．如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC．
（1）求直线AC的函数表达式和△ABC的面积；
（2）若点P为直线AB（不含A，B两点）上一点，连接CP，若△ACP的面积为7，求点P的坐标；
（3）若点P为射线BA（不含A，B两点）上一点，M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（4，0）代入求出一次函数解析式为，得到B（0，3），根据BC＝AB＝5，求出C（0，﹣2），根据待定系数法求出函数解析式，根据三角形面积公式求得；
（2）设点P的坐标为，根据S△ABC＝10，△ACP的面积为7，得出点P在线段AB或在线段BA的延长线上，然后分两种情况分别列出方程，解方程即可；
（3）分三种情况：当N点在x轴下方，点P在AB上，∠NPM＝90°时，当点P在线段AB上，N′点在x轴上方，∠PMN′＝90°时，当点P在BA的延长线上时，N′点在x轴上方，∠N′P′M′＝90°时，分别画出图形，求出结果即可．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入得：，
解得：b＝3，
把x＝0代入得：y＝3，
∴B（0，3），
∴，
∵BC＝AB＝5，
∴C（0，﹣2），
设直线AC的解析式为：y＝k1x+b1，把A（4，0），C（0，﹣2）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
．
（2）设点P的坐标为，
∵S△ABC＝10，△ACP的面积为7，
∴点P在线段AB或在线段BA的延长线上，
∴m＞0，
∴，
当点P在线段AB上时，S△ACP＝S△ABC﹣S△BCP，
即，
解得：，
∴，
∴此时；
当点P在线段BA的延长线上时，S△ACP＝S△BCP﹣S△ABC，
即，
解得：，
∴，
∴此时点；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
（3）当N点在x轴下方，点P在AB上，∠NPM＝90°时，如图1所示：
∵BP＝AM，
∴BP+AP＝AM+AP＝AB，
∴PM＝AB＝5，
∵△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形，∠NPM＝90°，
∴PN＝PM＝5，，
设，，
过P点作直线M′N′∥x轴，作MM′⊥M′N′，NN′⊥M′N′，
∴MM′∥OB，
∴∠ABO＝∠PMM′，
在△AOB与△PM′M中，
，
∴△AOB≌△PM′M（AAS），
∴MM′＝OB＝3，PM′＝OA＝4，
∵∠NPN′+∠MPM′＝90°，∠NPN′+∠N′NP＝90°，
∴∠MPM′＝∠N′NP，
在△PNN′与△MPM′中，
，
∴△PNN′≌△MPM′（AAS），
∴PN′＝MM′＝3，NN′＝PM′＝4，
∴M′N′＝7，作MH⊥NN′，则N′H＝MM′＝3，
∴NH＝1，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴
a＝﹣1，
∴，
∴，，
∴b＝6﹣4＝2，
∴，
∴．
当点P在线段AB上，N′点在x轴上方，∠PMN′＝90°时，如图所示：
此时N′M＝PM，
∵∠PMN′＝∠NPM＝90°，
∴PN∥MN′，
∵PN＝MP＝MN′，
∴四边形MNPN′为平行四边形，
∴此时点N′与关于A（4，0）对称，
则，即，
此时；
当点P在BA的延长线上时，N′点在x轴上方，∠N′P′M′＝90°时，如图3所示：
∵BP′＝AM′，
∴BP′﹣AP′＝AM′﹣AP′，
即P′M′＝AB＝5，
∵∠N′P′M′＝90°，
∴N′P′＝P′M′＝5，
根据上一种情况可知，此时点N′的坐标仍然为，点P′的坐标与上一种情况中点M的坐标相同，即此时点P′的坐标为；
综上分析可知：存在或或使△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形．
【点评】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
60．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点A（2，4），过点A的直线y＝kx+b（0＜k＜2）与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）直接写出正比例函数的表达式；若△AOB的面积为△BOC的面积的倍，求直线y＝kx+b的表达式；
（2）在（1）的条件下，在线段BC上找一点D，使OC平分∠AOD，求点D的坐标．
【分析】（1）直接利用待定系数法求正比例函数解析式即可；先根据△AOB的面积为△BOC的面积的倍得出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接OA′，由对称可得OC平分∠AOA′，先求出直线OA′的解析式，再求直线OA′与直线BC的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点A（2，4），
∴4＝2m，
解得m＝2，
∴正比例函数的表达式为：y＝2x；
∵△AOB的面积为△BOC的面积的倍，
∴，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
把A（2，4），C（0，3）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴一次函数的表达式为：；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接OA′，
由对称可知，∠AOC＝∠A′OC，即OC平分∠AOA′，
∴OC平分∠AOD，
由对称可知，A′（﹣2，4），
设直线OA′的解析式为y＝nx，
∴4＝﹣2n，解得n＝﹣2，
∴直线OA′的解析式为y＝﹣2x，
令，解得，
∴，
∴．