2025年中考数学二轮复习专题：四边形与相似三角形综合练习

这是一份2025年中考数学二轮复习专题：四边形与相似三角形综合练习，共71页。
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
2．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝ktanβ．
（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．
3．已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO＝NO；
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM＝AB；
（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2＝NC•AC．
4．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．
6．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
7．如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN＝，求的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图①，求证：MA＝MN；
（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；
（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
9．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．
10．如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；
（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．
11．如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．
12．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；
（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求tan∠GFH的值．
14．如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
16．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．
19．在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
20．某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD．
21．正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1＝∠2，AE＝EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．
（1）如图1，求证：△ABE≌△EGF；
（2）如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
②当时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB＝6，求BE的值．
22．如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（0＜t≤3）．
（1）求证：△AEP∽△CEQ．
（2）当△EPQ是直角三角形时，求t的值．
（3）连接AQ，当tan∠AQE＝时，求△AEQ的面积．
参考答案
1．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；
（2）先证△ABC∽△DCA得CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；
（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，结合AB•BC＝AC2知BD2＝AC2，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，
①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；
②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；
③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；
所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
又∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴＝，即CA2＝BC•AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC•AB，
∴△ABC是比例三角形；
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB＝AD，
∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴＝，即AB•BC＝BH•DB，
∴AB•BC＝BD2，
又∵AB•BC＝AC2，
∴BD2＝AC2，
∴＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．
2．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝ktanβ．
（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAG＝∠DAE，进而得出△ADE≌△BAF，即可得出结论；
（2）先判断出△ABG∽△DEA，进而得出＝k，再根据锐角三角函数即可得出结论；
（3）方法1、先判断出S1＝•S△BHG，再判断出S2＝S△BHG，即可得出结论．
方法2、先表示出S2＝BC×CD﹣k×h＝﹣kh，S1＝AD×h'＝h'，即可得出结论．
方法3，先判断出S1＝S△ADH＝S△CHD，进而得出S△CHG＝﹣S△BHG，再判断出S△BHG＝k2S△AHD＝k2S1，进而得出S2＝S1﹣k（k﹣1）S1＝﹣（k2﹣k﹣1）S1，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAG＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
（2）由（1）知，∠BAG＝∠EDA，
∵∠ABG＝∠DEA，
∴△ABG∽△DEA，
∴，
∴＝＝k
在Rt△DEF中，EF＝DE•tanα，
在Rt△BEF中，EF＝BF•tanβ，
∴DE•tanα＝BF•tanβ，
∴tanα＝•tanβ＝•tanβ＝ktanβ；
（3）方法1、如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，AD＝BC，
∵＝k，
∴＝k，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝＝（）2＝，
∴S1＝•S△BHG，
设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h'，
∴△ADH∽△GBH
∴＝＝k，
∴h＝kh'，
∴＝＝×＝k×＝，
∴S△BCD＝S△BHG，
∴S2＝S△BCD﹣S△BHG＝S△BHG，
＝＝﹣k2+k+1＝﹣（k﹣）2＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为，
方法2、如图1，
设正方形的边长为1，
连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，
设HN＝h，HM＝h'，
∴h+h'＝1，
∵＝k，
∴BG＝k，＝k，
S2＝BC×CD﹣k×h＝﹣kh，
S1＝AD×h'＝h'，
∴
＝
＝
＝
＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为．
方法3、如图，连接CH，
∵BD是正方形的对角线，
∴S1＝S△ADH＝S△CHD，
∴S2＝S四边形CDHG＝S△CHD+S△CHG＝S1+S△CHG，
∵＝﹣＝，
∴S△CHG＝﹣S△BHG，
∴S2＝S1+S△BHG
∵△ADH∽△BHG，
∴
∴S△BHG＝k2S△AHD＝k2S1，
∴S2＝S1﹣k（k﹣1）S1＝﹣（k2﹣k﹣1）S1，
∴＝﹣（k2﹣k﹣1）＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出S2＝•S△BHG是解本题的关键．
3．已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO＝NO；
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM＝AB；
（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2＝NC•AC．
【分析】（1）先判断出OD＝OA，∠AOM＝∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN＝∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；
（2）方法1、先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN＝22.5°，即可判断出∠AMB＝67.5°，即可得出结论；
方法2、先判断出点A，D，E，N在以AE为直径的圆上，得出∠1＝∠3，即：∠2＝∠3，即可得出结论．
（3）先判断出△DEN∽△ADE得出DE2＝AD•EN，再判断出AC＝AD，EN＝CN，AN＝DE，代换即可得出结论．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，
∴OD＝OA，∠AOM＝∠DON＝90°，
∴∠OND+∠ODN＝90°，
∵∠ANH＝∠OND，
∴∠ANH+∠ODN＝90°，
∵DH⊥AE，
∴∠DHM＝90°，
∴∠ANH+∠OAM＝90°，
∴∠ODN＝∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM＝ON；
（2）连接MN，
∵EN∥BD，
∴∠ENC＝∠DOC＝90°，∠NEC＝∠BDC＝45°＝∠ACD，
∴EN＝CN，同（1）的方法得，OM＝ON，
∵OD＝OD，
∴DM＝CN＝EN，
∵EN∥DM，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴▱DENM是菱形，
∴DE＝EN，
∴∠EDN＝∠END，
∵EN∥BD，
∴∠END＝∠BDN，
∴∠EDN＝∠BDN，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BDN＝22.5°，
∵∠AHD＝90°，
∴∠AMB＝∠DME＝90°﹣∠BDN＝67.5°，
∵∠ABM＝45°，
∴∠BAM＝67.5°＝∠AMB，
∴BM＝AB；
方法2、如图2，∵NE∥BD，
∴∠ENO＝90°，
∵∠2+∠OND＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠ADC+∠ANE＝180°，
∴点A，D，E，N在以AE为直径的圆上，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵∠2+∠4＝∠2+∠5＝90°，
∴∠3+∠MAB＝90°，
∴∠MAB＝∠5，
∴BA＝BM
（3）如图3，
∵DN⊥AE，∴∠DEH+∠EDH＝90°，
∵∠DAE+∠DEH＝90°，
∴∠DAE＝∠EDH，
∵EN⊥CD，
∴∠DEN＝90°＝∠ADE，
∴△DEN∽△ADE，
∴，
∴DE2＝AD•EN，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACD＝∠BAC＝45°，
∴CN＝EN，AC＝AD，
延长EN交AB于P，
∴四边形ADEP是矩形，
∴DE＝AP，
∵AN＝AP＝DE，
∴AN2＝AC•CN．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．
4．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．
【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形ABCD与四边形EFCD相似，证明DE＝AE即可解决问题．
【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且＝，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴＝，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，
∴＝＝＝，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2中，
∵四边形ABFE与四边形EFCD相似．
∴＝，
∵EF＝OE+OF，
∴＝，
∵EF∥AB∥CD，
∴＝，＝＝，
∴+＝+，
∴＝＝，
∵AD＝DE+AE，
∴＝，
∴2AE＝DE+AE，
∴AE＝DE，
∴四边形ABFE与四边形EFCD相似比为1
∴＝1．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．
【分析】（1）作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（AAS），即可解决问题．
（2）由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．
（3）连接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出＝＝3，推出＝＝2，由△PNF∽△PME，推出＝＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴FH＝AB，MQ＝BC，
∵AB＝CB，
∴FH＝MQ，
∵EF⊥MN，
∴∠EON＝90°，
∵∠ECN＝90°，
∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°
∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，
∴△FHE≌△MQN（AAS），
∴MN＝EF，
∴k＝MN：EF＝1．
（2）∵a：b＝1：2，
∴b＝2a，
由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，
∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，
当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．
（3）连接FN，ME．
∵k＝3，MP＝EF＝3PE，
∴＝＝3，
∴＝＝2，∵∠FPN＝∠EPM，
∴△PNF∽△PME，
∴＝＝2，ME∥NF，
设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，
①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．
∵∠MPE＝∠FPH＝60°，
∴PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，
∴＝＝＝．
②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝m，
∴HC＝PH+PC＝13m，
∴tan∠HCE＝＝＝，
∵ME∥FC，
∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，
∵∠B＝∠D，
∴△MEB∽△CFD，
∴＝＝2，
∴＝＝＝，
综上所述，a：b的值为或．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA＝PF即可解决问题．
（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．
（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APB＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∵PA＝PF，
∴四边形AGFP是菱形．
（2）证明：如图②中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴AE•AB＝DE•AP；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，
∴AE＝，
∴DE＝＝，
∵AE•AB＝DE•AP；
∴AP＝＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN＝，求的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；
（2）先证明△EFM≌△GFM得出EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在证明△EFH≌△GFN得出HF＝NF，由三角函数得出GF＝EF＝3HF＝3NF，得出GH＝2HF，作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，得出＝，＝＝，PN＝HF，即可得出结果；
（3）假设EM＝，先判断出点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM＝GM＝，得出GM＝，再判断出BM＜，得出CM＞，进而得出CM＞GM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A＝∠DCG＝90°，
∴CD⊥CG；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，
∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，
在△EFM和△GFM中，
∴△EFM≌△GFM（SAS），
∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，
在△EFH和△GFN中，，
∴△EFH≌△GFN（ASA），
∴HF＝NF，
∵tan∠MEN＝＝，
∴GF＝EF＝3HF＝3NF，
∴GH＝2HF，
作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，
∴＝，＝＝，
∴PN＝HF，
∴＝＝＝＝；
（3）EM的长不可能为，
理由：假设EM的长为，
∵点E是AB边上一点，且∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴点G在BC的延长线上，
同（2）的方法得，EM＝GM＝，
∴GM＝，
在Rt△BEM中，EM是斜边，
∴BM＜，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC＝1，
∴CM＞，
∴CM＞GM，
∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，
∴假设错误，
即：EM的长不可能为．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明EM不可能为是解本题的难度．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图①，求证：MA＝MN；
（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；
（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD＝∠DBC＝45°，由角平分线的性质得出MF＝MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG＝90°，证出∠AMF＝∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出＝（）2，求出AN＝2，由勾股定理得出BN＝＝4，由直角三角形的性质得出OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出＝，求出OP＝，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF＝MH，求出AF＝BD＝×6＝3，得出MH＝3，MN＝2，由勾股定理得出HN＝＝，由三角形面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所示：
∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵MF⊥AB，MG⊥BC，
∴MF＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FBGM是正方形，
∴∠FMG＝90°，
∴∠FMN+∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMF+∠FMN＝90°，
∴∠AMF＝∠NMG，
在△AMF和△NMG中，，
∴△AMF≌△NMG（ASA），
∴MA＝MN；
（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，
∴∠MAN＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠MAN＝∠DBC，
∴Rt△AMN∽Rt△BCD，
∴＝（）2，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
∴BD＝6，
∴＝，
解得：AN＝2，
∴在Rt△ABN中，BN＝＝＝4，
∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，
∴OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，
∴∠AOP＝90°，
∴∠AOP＝∠ABN，
∵∠PAO＝∠NAB，
∴△PAO∽△NAB，
∴＝，即：＝，
解得：OP＝，
∴PM＝OM+OP＝+＝；
（3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图③所示：
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAM+∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF+∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
在△AFM和△MHN中，，
∴△AFM≌△MHN（AAS），
∴AF＝MH，
在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，
∴AF＝BD＝×6＝3，
∴MH＝3，
∵AM＝2，
∴MN＝2，
∴HN＝＝＝，
∴S△HMN＝MH•HN＝×3×＝3，
∴△HMN的面积为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
9．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．
【分析】（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论；
（2）设AB＝CD＝BC＝2a，先求出EA＝EB＝AB＝a，进而得出CE＝a，再求出BG＝a，CG＝a，再判断出△CHD≌△BGC（AAS），进而判断出GH＝CH，即可得出结论；
（3）先求出CH＝a，再求出DH＝a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM＝a，再用勾股定理求出GH＝a，最后判断出△GHN∽△CHG，得出HN＝＝a，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB+∠CBG＝90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，
∴∠FBA+∠CBG＝90，
∴∠GCB＝∠FBA，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，
设AB＝CD＝BC＝2a，
∵点E是AB的中点，
∴EA＝EB＝AB＝a，
∴CE＝a，
在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，
∴BG＝a，
∴CG＝＝a，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠CBF，
∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，
∴△CHD≌△BGC（AAS），
∴CH＝BG＝a，
∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，
∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，
∴△DGH≌△DCH（SAS），
∴CD＝GD；
（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，
S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，
∴CH＝＝a，
在Rt△CHD中，CD＝2a，
∴DH＝＝a，
∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，
∴∠MDH＝∠HCD，
∴△CHD∽△DHM，
∴＝，
∴HM＝a，
在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，
∴GH＝＝a，
∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，
∴∠CGH＝∠CNG，
∴△GHN∽△CHG，
∴，
∴HN＝＝a，
∴MN＝HM﹣HN＝a，
∴＝
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．
10．如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；
（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．
【分析】（1）由正方形性质得出∠ABC＝90°，AB＝BC，证出∠EAB＝∠FCB，由ASA证得△ABE≌△CBF，即可得出结论；
（2）由正方形性质与角平分线的定义得出∠CAG＝∠FAG＝22.5°，由ASA证得△AGC≌△AGF得出CG＝GF，由直角三角形的性质得出GB＝GC＝GF，求出∠DBG＝∠GBF，即可得出结论；
（3）连接BG，由正方形的性质得出DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，推出AC＝DC，证出∠DCG＝∠ABG，由SAS证得△DCG≌△ABG得出∠CDG＝∠GAB＝22.5°，推出∠CDG＝∠CAG，证得△DCM∽△ACE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠EAB+∠AEB＝90°，
∵AG⊥CF，
∴∠FCB+∠CEG＝90°，
∵∠AEB＝∠CEG，
∴∠EAB＝∠FCB，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴BE＝BF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CAB＝45°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，
在△AGC和△AGF中，，
∴△AGC≌△AGF（ASA），
∴CG＝GF，
∵∠CBF＝90°，
∴GB＝GC＝GF，
∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝∠GBF，
∴BG平分∠DBF；
（3）解：连接BG，如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，
∴AC＝DC，
∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠DCG＝∠ABG，
在△DCG和△ABG中，，
∴△DCG≌△ABG（SAS），
∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，
∴∠CDG＝∠CAG，
∵∠DCM＝∠ACE＝45°，
∴△DCM∽△ACE，
∴＝＝．
【点评】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．
11．如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．
【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
（2）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；
（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，证△MGN∽△CGB得＝，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，
则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；
（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，
∴＝＝＝，
∴AF＝2.4，CE＝2.4，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN＝EC＝2.4，
∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，
∴AN＝4BN；
（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD＝6，
∴DM+MG+BG＝12a＝6，
∴a＝，
∴BG＝，MG＝，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴＝，
∴CG•NG＝BG•MG＝．
【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
12．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；
（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得＝，由此即可解决问题．
（3）首先证明tanα+tanβ＝+＝+＝＝，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）设EC＝x，
由翻折可知，AD＝AF＝4，
∴BF＝＝＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴EC＝．
（3）∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴tanα+tanβ＝+＝+＝＝，
设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，
∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，
∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴BF＝，CF＝＝，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴b2+x2＝（2a﹣x）2，
∴a2﹣ax＝b2，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴a2﹣ax＝•，
∴b2＝•，
整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，
∴（4a2﹣3b2）2＝0，
∴＝，
∴tanα+tanβ＝＝．
【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求tan∠GFH的值．
【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；
（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH＝8，AH＝12，则可得出答案；
（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，
∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，
∴∠EGC＝∠GFH，
∴△EGC∽△GFH．
（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，
∴GH：AH＝2：3，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，
∴AG＝AB＝GH+AH＝20，
∴GH＝8，AH＝12，
∴AD＝AH＝12．
（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，
由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得：x＝6，
∴HF＝6，
在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
14．如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE＝8，进而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出＝，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF＝﹣（x﹣5）2+，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，
∴BE＝8，
∴FG＝CG，
∴EG＝CE+CG＝2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝8，
∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；
（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝10﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，
当EC＝5时，S△ECF最大＝．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 ＝ 四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
【分析】（1）分别用含a，b的代数式表示出四边形EBHP和四边形GPFD的面积作比较即可；
（2）由（1）得边的比例关系，先证△PP2F∽△PP1H得∠PFP2＝∠PHP1，得再根据对顶角相等即可得出△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2，FH，先证△P1PP2∽△CFH得出线段比例关系，从而得面积比例关系，再证△P1QP2∽△FQH，得出面积比例关系，最后根据面积关系得出值即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE•PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG•PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE•PH＝2ab，PG•PF＝2ab，
∴PP2•PH＝PP1•PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝（）2＝，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝（）2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，根据相似三角形的判定定理可得出结论；
②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，则可得出答案；
（2）①如图3，当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形．设AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；
②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，设OB＝OC＝m，由相似三角形的性质得出，证明△EOC∽△ECB，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案．
【解答】（1）①证明：如图1，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
②解：如图2，若BE⊥CD，
在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．
过点D作DH⊥BC于点H，
设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，
在Rt△DCH中，DC＝2m，
∴CH＝m，
∴BC＝BH+CH＝3m，
∴；
（2）①如图3，当点E在AD上时，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COB（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形．
设AD＝CD＝x，
∵DE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CD2﹣DE2，
∴62﹣（x﹣2）2＝x2﹣22，
解得x＝1+，或x＝1﹣（舍去）．
∴CD＝1+．
②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，
设OB＝OC＝m，
∵OE＝3，
∴EB＝m+3，
∵△DAC∽△OBC，
∴，
∴，
∴．
又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，
∴△EOC∽△ECB，
∴，
∴，
∴，
∴m＝，
将m＝代入，
整理得，x2﹣6x﹣10＝0，
解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．
∴CD＝3+．
综合以上可得CD的长为1+或3+．
【点评】本题是相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．
【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；
（2）利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的长，可得答案；
（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
【解答】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∴BM＝CE＝DE，
∵AB＝CD，
∴AM＝CE；
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴；
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
由（2）同理得，，
∴，
解得AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
19．在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；
（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系．
【解答】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴DP＝CP＝＝1，
设EP＝AE＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得x＝，
∴EP＝AP＝x＝，
∴ED＝AD﹣AE＝，
∵△EDP∽△PCH，
∴，即，
∴PH＝，
∵PG＝AB＝2，
∴GH＝PG﹣PH＝．
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴HP＝PM＝y，
在Rt△PCH中，CH＝＝y，
∴BC＝2CH＝y，
∴AD＝BC＝y，
在Rt△APD中，AP＝＝y，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
∴＝，
∴BG＝y，
∴＝，
∴AB＝BG．
【点评】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
20．某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD．
【分析】（1）如图1，设DE与CF交于点G，根据正方形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，根据余角的性质得到∠CFD＝∠AED，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，根据矩形的性质得到∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，求得∠CDG＝60°，得到CE＝＝CD，BD＝2CD，于是得到＝＝；
（3）如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，根据矩形的判定定理得到四边形ABCH为矩形，根据矩形的性质得到AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论．
【解答】（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠CDG＝60°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴CE＝＝CD，BD＝2CD，
∴＝＝；
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DE•AB＝CF•AD．
【点评】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
21．正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1＝∠2，AE＝EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．
（1）如图1，求证：△ABE≌△EGF；
（2）如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
②当时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB＝6，求BE的值．
【分析】（1）利用AAS即可证明△ABE≌△EGF；
（2）①证明△AEF是等腰直角三角形，再证明A、B、E、P四点共圆，求得∠ABP＝∠AEP＝45°，即可证明结论成立；
②由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线 上，证明△ABP∽△HDP，根据相似三角形的性质即可求解；
③证明四边形MNEH是平行四边形，推出△PHQ和△HDP都是等腰直角三角形，设PM＝PH＝a，则 MQ＝2a，ME＝2MQ＝4a，由△APM∽△ADH，再计算即可．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，
∵FG⊥BC，
∴∠G＝90°，
由∠B＝∠G，∠1＝∠2，AE＝EF，
得△ABE≌△EGF（AAS）；
（2）①证明：连BP．
由（1）得△ABE≌△EGF，
∴∠AEB＝∠EFG，
∴∠AEB+∠GEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，
即∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵EM⊥AF，
∴∠APE＝90°，∠AEP＝∠FEP＝45°，
∵∠ABE＝90°，
∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠ABP＝∠AEP＝45°，
∵∠ABE＝90°，∠ABP＝∠CBP＝45°，
∴点P在∠ABC的平分线上；
②＝m+1．
理由如下：
由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线上，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB∥HD，
∴△ABP∽△HDP，
∴＝，
∵＝m，
∴HC＝mHD，
∴DC＝DH+HC＝（m+1）HD，
∴＝＝＝m+1；
③由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线上，
∴∠PDH＝45°，
同理M、D、H、P四点共圆，
∴∠PMH＝∠PDH＝45°，
∵∠AEP＝∠NEM＝45°，
∴∠EMH＝∠NEM＝45°，
∴MH∥EN，
∵MN∥HE，
∴四边形MNEH是平行四边形，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△PHQ和△PHM都是等腰直角三角形，
设PM＝PH＝a，则MQ＝2a，ME＝2MQ＝4a，
∵PM＝PH，PA＝PE，
∴AH＝ME＝4a，
∴AP＝3a，
则AE＝3a，
∴BE＝＝，
∵∠APM＝∠ADH，
∴△APM∽△ADH，
∴＝＝＝，
∴DH＝，
∴AH＝＝2，
∵AH＝4a，
∴4a＝2，
∴a＝，
∴BE＝＝3．
【点评】本题考查了相似形综合题，运用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，是解题的关键．
22．如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（0＜t≤3）．
（1）求证：△AEP∽△CEQ．
（2）当△EPQ是直角三角形时，求t的值．
（3）连接AQ，当tan∠AQE＝时，求△AEQ的面积．
【分析】（1）首先推导出∠PAE＝∠QCE＝45°，然后推导出＝＝，进而得证；
（2）过点E作 EM⊥AB于点M，过点E作 EN⊥BC于点N．分别求得EP2＝t2﹣4t+8，PQ2＝5t2﹣36t+72，EQ2＝4f2﹣16t+32，分三种情况讨论：①当∠EPQ＝90°时，②当∠PEQ＝90°时，③当∠PQE＝90°时，分别解答即可；
（3）过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．首先推导出△AGF∽△EGQ，得到＝，进一步推导出△AGE∽△FGQ，得到∠AEG＝∠FQG，∠FQE＝90°，进而得到AB∥EQ，△EQC是等腰直角三角形，利用＝，解得QC＝QE＝4，最后利用S△AEQ＝S△AQC﹣S△EQC解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAE＝∠QCE＝45°，
∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t，
∴＝＝，
∴△AEP∽△CEQ；
（2）解：方法一：过点E作EM⊥AB于点M，过点E作 EN⊥BC于点N．
由题意知AE＝，AM＝ME＝2，EN＝CN＝4，AP＝t，
CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，MP＝|t﹣2|，BP＝6﹣t，QN＝|2t﹣4|，
∴EP2＝EM2+MP2，即EP2＝22+（2﹣t）2＝t2﹣4t+8，
PQ2＝BP2+BQ2，即PQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2＝5t2﹣36t+72，
EQ2＝EN2+NQ2，即EQ2＝42+（2t﹣4）2＝4f2﹣16t+32，
①当∠EPQ＝90°时，则EQ2＝EP2+PQ2，
即4t2﹣16t+32＝t2﹣4t+8+5t2﹣36t+72，
整理得t2﹣12t+24＝0．
解得t1＝6﹣，t2＝6+（不合题意，舍去），
②当∠PEQ＝90°时，则PQ2＝EP2+EQ2，
即5t2﹣36t+72＝t2﹣4t+8+4t2﹣16t+32，
整理得t﹣2＝0，
解得t＝2；
③当∠PQE＝90°时，则EP2＝PQ2+EQ2，
即t2﹣4t+8＝5t2﹣36t+72+4t2﹣16t+32，
整理得t2﹣6t+12＝0，该方程无实数解，
综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为秒或2秒；
（3）解：方法一：过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．如图2，
∵AF⊥AC，∠ACF＝45°，
∴AF＝AC，
又∵CE＝2AE，
∴＝＝，
∴tan∠AFE＝，
∵tan∠AQE＝，
∴∠AFE＝∠AQE，
∵∠AGF＝∠EGQ，
∴△AGF∽△EGQ，
∴＝，
∵∠AGE＝∠FGQ，
∴△AGE∽△FGQ，
∴∠AEG＝∠FQG，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠FQG+∠EQG＝90°，即∠FQE＝90°，
∴AB∥EQ，△EQC是等腰直角三角形，
∴＝，即＝，
∴QC＝QE＝4，
∴S△AEQ＝S△AQC﹣S△EQC
＝QC•AB﹣QC•EQ
＝×4×6﹣×4×4
＝4（cm2）．
方法二：∵AF⊥AC，∠ACF＝45°，
∴AF＝AC，
又∵CE＝2AE，
∴＝＝，
∴tan∠AFE＝，
∵tan∠AQE＝，
∴∠AFE＝∠AQE，
∴A，F，Q，E四点共圆，直径为EF，如图3，
∴∠FQE＝90°，
∴AB∥EQ，△EQC是等腰直角三角形，
∴＝，即＝，
∴QC＝QE＝4，
∴S△AEQ＝S△AQC﹣S△EQC
＝QC•AB﹣QC•EQ
＝×4×6﹣×4×4
＝4（cm2）．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形．