2025年中考数学二轮复习专题二次函数与圆的综合练习

这是一份2025年中考数学二轮复习专题二次函数与圆的综合练习，共15页。试卷主要包含了如图，已知直线AB，5≤ND≤+0等内容，欢迎下载使用。
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
例2.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．
①求证：．
②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．
例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．
例4.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点A（﹣4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，4），点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（﹣2，6）时，求四边形AOCP的面积；
（3）当∠PBA＝45°时，求点P的坐标；
（4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．
例5.如图，抛物线与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的
顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）判断△OAB的形状，并说明理由；
（2）连接AC，BE，BO，当∠CAE＝∠OBE时，求AD·AE的值．
例6.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2﹣6x+5经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
如图，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
例7.如图，已知抛物线y＝k（x+1）（x﹣3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，0为坐标原点．
（1）用k表示点C的坐标（0， ）；
（2）若k＝1，连接BE，
①求出点E的坐标；
②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；
（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．
例8.如图，已知直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝x2交于A，B两点．
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；
（2）当k＝﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离．
课后练习
1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，若BM＝，求点P的坐标；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OB＝OC＝2OA．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使∠ABC＝∠BCM，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A，B，D的圆与DF交于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积．
3.如图，抛物线y＝﹣x﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是位于B，C之间抛物线上的动点（包括B，C两点），点E是△ABP的外接圆圆心．
（1）如图1，若动点P为抛物线的顶点，求圆心E的坐标；
（2）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，连接PA，PB．
①求证：的值为定值；
②如图3，连接AQ，BQ，记四边形APBQ，△APH，△BQH的面积依次为S，S1，S2，若满足，求此时点P的坐标．
4.我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数．
（1）下列函数是偶函数的有 （填序号）；
①y＝x+2023；②y＝﹣2001x2+2024；③；④y＝2024x2﹣2023x+6.19．
（2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c，新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若以AB为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式；
（3）如图，已知偶函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2），（2，5），过点E（0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点AB分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，取AB的中点Q，连接CQ、DQ，分别用S1，S2，S3表示△ACQ，△QCD，△QDB的面积，若S2＝S1•S3．
①证明：；
②求直线AB的解析式．
5.已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；
（3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．
课后练习参考答案
1.解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；
（2）①如图1，连接EM，
点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），C（3.0），
∴BM＝EM＝1，
∵BM＝，
∴△BEM为等腰直角三角形，
当点P在x轴上方时，此时点M的坐标为（2，1），
故设直线BP的表达式为：y＝ax+b，将点B（1，0），M（2，1）的坐标代入得：
，
解得：，
故直线BP的表达式为：y＝x﹣1②，
联立①②并解得：x＝3+或x＝3﹣（不合题意，舍去），
∴y＝2+，
此时，点P的坐标为：（3+，2+）；
当点P在x轴下方时，M（2，﹣1），
故设直线BP的表达式为：y＝mx+n，将点B（1，0），M（2，﹣1）的坐标代入得：
，
解得：，
故直线BP的表达式为：y＝﹣x+1③，
联立①③并解得：x＝1+或x＝1﹣（不合题意，舍去），
∴y＝﹣，
此时，点P的坐标为（1+，﹣）；
综上，点P的坐标为（3+，2+）或（1+，﹣）；
②线段DN的长度存在最大值或最小值，理由如下：
连接BN、BD、EM，如图2，
则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，
即﹣0.5≤ND≤+0.5，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．
2.解：（1）设点B（2m，0）（m＞0），
∵OB＝OC＝2OA，
则点C（0，﹣2m）、B（2m，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2m）（x+m）＝（x2﹣mx﹣2m2），
∵C（0，﹣2m），
则﹣m2＝﹣2m，
解得：m＝2，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）存在，理由：
由（1）知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，﹣4），
在抛物线上存在点M，使∠ABC＝∠BCM，理由如下：
过点C作CM∥x轴，交抛物线于点M，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
∵∠ABC＝∠BCM，
∴∠BCM＝45°，
∴∠OCM＝90°，
∴CM⊥y轴，
把y＝﹣4代入y＝x2﹣x﹣4＝﹣4，
解得x1＝2，x2＝0（点C的横坐标，舍去），
∴点M的坐标为（2，﹣4）；
（3）点A的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝6，
设过点A、B、D得圆的圆心为点G，
∵GA＝GB，
∴点G在线段AB的垂直平分线上，
设点G的坐标为（1，t），
同理可得点G在线段DE的垂直平分线上，
∵DE⊥x轴于点F，
∴设D（m，n），则E（m，2t﹣n），
∴S△ABE＝AB•EF＝6×（2t﹣n）＝3（2t﹣n），
∵GD2＝GA2，
∴（1﹣m）2+（t﹣n）2＝（﹣2﹣1）2+（0﹣t）2，
整理得m2﹣2m+1+n2﹣2tn﹣9＝0①，
∵点D在抛物线上，
∴m2﹣m﹣4＝n，
得m2＝2m+2n+8②，
将②代入①得，n2﹣2tn+2n＝0，
∵n≠0，
∴n﹣2t+2＝0，即2t﹣n＝2，
∴S△ABE＝3（2t﹣n）＝6．
3.（1）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣），
当P为抛物线的顶点时，P（1，﹣），
连接EA，设抛物线的对称轴交x轴于点F，如图，
∵P（1，﹣），
∴OF＝1，PF＝．
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴AF＝OA+OF＝3．
设⊙E的半径为r，则EA＝EP＝r，
∴FE＝PF﹣PE＝﹣r．
∵AF2+EF2＝AE2，
则9+（﹣r）2＝r2，
解得：r＝，
∴EF＝﹣＝，
∴E（1，﹣）；
（2）①证明：如图，
∵点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），
∴设P（m，m2﹣m﹣4），则0＜m＜4，m2﹣m﹣4＜0，
∴OH＝m，PH＝﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+4，
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴AH＝m+2，BH＝4﹣m．
由相交弦定理得：
AH•BH＝PH•QH，
∴QH＝＝＝2，
②作EF⊥PQ于点F，连接EQ，
设点P（t，t2﹣t﹣4），则点H（t，0），
则S1＝S△APH＝AH×PH＝（t+2）（t2﹣t﹣4），S＝S四边形APBQ＝6×PQ×＝3PQ，
设S3＝S△AQH，S4＝S△BHP，
∵S＝S1+S2+S3+S4，且，
即S＝S1+S2+2，
则S3+S4＝2，
∵S3＝AH×QH，S4＝PH×BH，
则＝，则S3S4＝S1S2，
则（﹣）2＝0，
则S3＝S4，
∵圆E为△ABP为外接圆，
则EP＝EQ＝EA＝AE，
∵∠PAB＝∠PQB，∠AHP＝∠QHB，
∴△AHP∽△QHB，
即，
则AH•BH＝HP•QH①，
∵S3＝S4，则AH•QH＝HP•BH②，
由①÷②得：BH2＝HQ2，
∵＝2，
则HQ＝2，
则xP＝xH＝2，yP＝4﹣2﹣4＝﹣4，
则点P（2，﹣4）．
4.（1）解：
故答案为：②③；
（2）解：由题意得，
（k+1）x2+（k2﹣1）x+1＝（k+1）（﹣x）2+（k2﹣1）（﹣x）+1，
∴2（k2﹣1）x＝0，
∴k1＝1，k2＝﹣1（舍去），
∴y＝2x2+1，
故设平移后的函数解析式为：y＝2x2+c，
由2x2+c＝0得，
x＝±，
∴﹣c＝，
∴c＝﹣，
∴y＝2x2﹣；
（3）①证明：如图，
过点Q作FG∥CD，交AC于F，交BD的延长线于G，作QH⊥CD于H，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴FG⊥AC，FG⊥BD，
可得四边形OCFQ是矩形，四边形OEGQ是矩形，
∴S△HCF＝S△QCH，S△QHD＝S△QGD，
∵Q是AB的中点，
∴AQ＝BQ，
∵∠AFQ＝∠G＝90°，∠AQF＝∠BQG，
∴△AQF≌△BQG （AAS），
∴S△AQF＝S△BQG，
∴S2＝S△QCH+S△QHD＝S△HCF+S△QDG＝S1﹣S△AQF+S3+S△BQG＝S1+S3，
∵S2＝S1•S3，
∴；
②解：如图，
由题意得：b＝0，
∴，
∴，
∴y＝x2+1，
设A（m，m2+1），B（n，n2+1），则Q（，），
∵直线AB过点E，
∴设AB的解析式为：y＝kx+2，
∴，
∴k＝m+n，
∴（m+n）m+2＝m2+1，
∴mn＝﹣1，
∵QF＝QG＝n﹣＝，
∴S1＝AC•QF＝，S2＝，S3＝，
∵S2＝S1S3，
∴＝•，
∴n﹣m＝4，
∴（m+n）2＝（n﹣m）2+4mn＝16﹣4＝12，
∴m+n＝+2，
∴直线AB的解析式为：y＝2+2或y＝﹣2+2．
5.解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2．
∵将（0，1）代入得：4a＝1，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2．
（2）MN的长不发生变化．
理由：如图1所示，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN．
设点C的坐标为（a，）．
∵CH⊥MN，
∴MH＝HN．
∵HN2＝CN2﹣CH2＝CB2﹣CH2，
∴HN2＝[2﹣]2+（a﹣2）2﹣[]2＝4．
∴HN＝2．
∴MN＝4．
∴MN不发生变化．
（3）如图2所示：
①当点C与点A重合时．
∵MN经过点C，
∴MN为圆C的直径．
∴MC＝2．
∵点C（2，0），
∴M（0，0）．
②如图3所示：
∵△ABM∽△ANB，
∴，即AB2＝AM•AN．
设AM＝a，则4＝a（a+4），解得：a1＝﹣2+2，a2＝﹣2﹣2（舍去），
又∵点A（2，0），
∴2+（﹣2+2）＝2．
∴点M的坐标为（2，0）．
如图4所示：
∵△ABN∽△AMB，
∴AB2＝AN•AM．
设AM＝a，则4＝a（a﹣4），解得：a1＝2+2，a2＝2﹣2（舍去）．
又∵点A（2，0），
∴2﹣（2+2）＝﹣2．
∴点M的坐标为（﹣2，0）．