中职高考数学一轮复习讲练测9.4 空间几何体的表面积和体积（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．棱柱、棱锥的概念
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱）．
(2)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥）．
2.棱柱、棱锥的性质
(1)棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形．
(2)正棱锥的性质：侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．
3．圆柱、圆锥
(1)圆柱、圆锥的概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥．
(2)圆柱、圆锥的性质：圆柱、圆锥的轴截面分别是矩形、等腰三角形；平行于底面的截面都是圆．
4．球
(1)球面与球的概念：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心．
(2)球的截面性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为d＝eq \r(R2－r2)．
5．表面积、体积
(1)柱体、锥体的表面积
①直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ eq \f(1,2)Ch′(其中C为底面周长,h为高，h′为斜高)．
②圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)．
③柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和．
(2)柱体、锥体的体积
①棱柱、棱锥的体积：V棱柱＝Sh， V棱锥＝eq \f(1,3)Sh (其中S为底面积，h为高)．
②圆柱、圆锥的体积：V圆柱＝πr2h， V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h (其中r为底面圆的半径，h为高)．
(3)球的表面积与体积：①半径为R的球的表面积S球＝4πR2． ②半径为R的球的体积V球＝eq \f(4,3)πR3.
考点一 空间几何体的面积
【例题】（1）已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为，故选：D.
（2）若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为x，则，即，所以正方体的全面积为，故选：A.
（3）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】正方体的对角线是球的直径，所以，则，所以球的表面积，故选：D.
（4）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为圆锥的轴截面是直角边长为的等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为，底面直径长为，半径为，则此圆锥的侧面积为，故选：B．
（5）半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（ ）
A．100B．400C．100D．400
【答案】D
【解析】设大金属球的半径为，则，所以其表面积为，故选：D.
（6）三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】以线段为相邻的三条棱为长方体，连接,,,即为三棱锥，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为，则，解得，则，故答案为:.
【变式】（1）已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（ ）
A．20B．47C．60D．94
【答案】D
【解析】长方体的长、宽、高分别为5，4，3，所以该长方体的表面积为，故选：D.
（2）用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（ ）
A．8πB．16πC．24πD．32π
【答案】B
【解析】若以边长4为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积，若以边长2为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积，故选：B.
（3）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是，故选：B.
（4）已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形可知：圆锥的底面圆半径，母线长，所以圆锥的表面积为，故选：D.
（5）长､宽､高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为其外接球的直径，则，故该球的表面积为，故答案为：.
（6）已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．
【答案】3∶2
【解析】设球的半径为R，由题意得圆柱的底面半径为R，高为2R，∴圆柱的表面积为：S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，球的表面积为：S2＝4πR2，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为：，故答案为：3∶2.
考点二 空间几何体的体积
【例题】（1）已知某圆柱的高为5，底面半径为，则该圆柱的体积为（ ）
A．6πB．9π
C．12πD．15π
【答案】D
【解析】由题意得该圆柱的体积为，故选：D.
（2）若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆锥的底面半径为1，母线长为，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：C.
（3）如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积，三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=，故选：A.
（4）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是 .
【答案】
【解析】不妨设，，，且两两互相垂直，，又，，平面，，平面，，故答案为：.
（5）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，O为外接球球心，母线BB1长度为2，底面半径r=O2B=1，易得外接球半径，∴外接球体积，故选：B.
（6）已知一个圆柱的表面积等于侧面积的，且其轴截面（过其轴的一个平面与该圆柱形成的截面）的周长为16，则该圆柱的体积为 .
【答案】
【解析】令圆柱高为，底面半径为，则，可得，所以圆柱的体积为，故答案为：.
【变式】（1）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的底面半径为r，则高为2r，，则，
故圆柱的体积为，故选：D.
（2）若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（ ）
A．倍B．4倍C．倍D．倍
【答案】C
【解析】若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的倍，则球体积扩大为原来的倍，故选：C.
（3）已知一个圆锥的母线长为6，侧面积为，则此圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，得，所以圆锥的高为，
因此该圆锥的体积，故选：C．
（4）一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示，
在中，，，球的半径，球的体积，故选：B.
（5）在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2π，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】设圆锥每线长为，底面半径为，则圆锥侧面展开图的面积为，得，所以圆锥的体积为，故答案为：.
（6）“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设球的半径为R，则圆柱的体积为：，
球的体积为，所以圆柱的体积与球的体积之比为，故选：B.
【方法总结】
1．几何体的展开与折叠
(1)几何体的表面积，除球以外，一般都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．(2)多面体的展开图①直棱柱的侧面展开图是矩形；②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．(3)旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
2．空间几何体的表面积的计算方法
有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法．(1)计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积，可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
3．空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面，特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握．(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．