中职高考数学一轮复习讲练测7.3 平面向量的内积（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))csθ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b _，即a·b＝__|a||b|csθ___，其中θ是a与b的夹角，|a|csθ(|b|csθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))与b在a的方向上的投影eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))csθ的乘积．
2．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0；
3．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
① e·a＝ |a|csθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|
特别地，a·a＝|a|2或eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a). ④ csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)
4．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)； eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
考点一 平面向量内积的定义
【例题】（1）已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为向量，，若与的夹角为，所以，故选：B.
（2）若，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，，，得，所以，故选：C.
（3）已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【解析】因为与均为单位向量，且与的夹角为，所以，故选：D.
（4）若平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于选项A, ,所以该选项不正确；对于选项B, ,所以，所以该选项正确；对于选项C, ,所以该选项不正确；对于选项D, ，所以该选项不正确，故选：B.
（5）若，且，则 .
【答案】
【解析】因为，且，所以，故答案为：.
（6）向量，满足，，，则向量与夹角的大小为 .
【答案】
【解析】设与夹角为，由得，即，又，，带入得，故，因为，所以，故答案为：
【变式】（1）已知向量与满足，且，则与的夹角等于 ．
【答案】
【解析】依题意， ，∴ 与 的夹角为，故答案为： .
（2）已知向量满足，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得.
故选：A.
（3）已知，且，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量的夹角为，因为，所以．
故选：B.
（4）已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因为向量的夹角为，所以，故选：B.
（5）已知单位向量满足，且，，则_________.
【答案】2
【解析】，故答案为：2.
（6）平面向量与的夹角为，，则 .
【答案】
【解析】，所以，故答案为：.
考点二 平面向量内积的坐标运算
【例题】（1）已知向量，若，则（ ）
A．4B．4C．1D．1
【答案】D
【解析】因为向量，，所以，得，故选：D.
（2）设向量，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，故选：A.
（3）设向量，，且，则=（ ）
A．1或3B．3C．1或5D．5
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以或，故选：C.
（4）已知向量，，且，则（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【解析】因为向量，，且，所以，所以，
所以，所以，所以，故选：D.
（5）已知向量，，若，则___________.
【答案】
【解析】因为，，所以，因为，所以，解得，故答案为：.
（6）已知向量，，，若与垂直，则 .
【答案】
【解析】由题意得：因为与垂直，所以，即，所以，解得，故答案为：.
【变式】（1）已知，是两个平面向量，，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，故答案为：.
（2）已知向量，，则______.
【答案】5
【解析】由，得，故答案为：5.
（3）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是 ．
【答案】
【解析】因为与的夹角为，所以，所以所以，故答案为：.
（4）若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为与的夹角是锐角，所以且与不共线，即：，解得且，
故选：D.
（5）已知向量，，且与垂直，则实数 .
【答案】或
【解析】因为与垂直，所以，所以，所以，所以或，故答案为：或.
（5）已知向量,，若的夹角为，则= .
【答案】
【解析】由,得,得，故答案为：.
【方法总结】
1．平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数．
2．注意平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若ab＝0，则a，b中至少有一个为0.但在向量的数量积中，由a·b＝0不能推得a＝0或b＝0，因为当两个非零向量a，b垂直时，也有a·b＝0.应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
3．注意向量0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；0的方向是任意的，并非没有方向．
4．注意两个非零向量a，b的夹角与a，b所在直线的夹角的区别．前者的取值范围是[0，π]，后者的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
5．求向量模的常用方法：利用公式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))eq \s\up12(2)＝a2即|a|＝eq \r(a2)将模的运算转化为向量的数量积．