【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题33 空间几何体（讲）.zip

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二、考点梳理
1．空间几何体的概念
小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等；现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体；它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.
2．多面体相关概念
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；
相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；
棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：
3.旋转体相关概念
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:
轴

4.棱柱的结构特征
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）
5.棱锥的结构特征
有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).
这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；
棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥.
6.棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum f a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.
棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.
7.空间几何体的表面积与体积
（1）圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆的周长,宽是圆柱的高(母线), ，其中为圆柱底面半径,为母线长.
（2）圆锥:侧面展开图为一个扇形,扇形的半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为,,其中为圆锥底面半径,为母线长.
圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,
,S圆台侧=π(r+r')l,S圆台表=π(r2+rl+r'l+r'2).
（4）,其中和分别是柱体的底面积和高.
特别地,,其中和分别是圆柱的底面半径和高.
（5）,其中和分别是锥体的底面积和高.
特别地,,其中和分别是圆锥的底面半径和高.
（6）,其中和分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.
特别地, 其中和分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.
(4)V球=πR3.
8.柱、锥、台的体积计算公式有何关系
从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时,台成为柱.因此只要分别令和便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式.
柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.
(分别为上、下底面面积,为柱、锥、台的高)
三、考点分类剖析
考点一、空间几何体的结构特征
【例1】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱
【答案】C
【解析】对于A ，不是由棱锥截来的，所以①不是棱台，故A错误；
对于B，上、下两个面不平行，所以②不是圆台；故B错误；
对于C，底面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，所以③是棱锥，故C正确.
对于D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故D错误.
故选：C．
【变式练习1】下列几何体中，面的个数最小的是（ ）
A．四面体B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台
【答案】A
【解析】四面体有个面，
四棱锥有个面，
三棱柱有个面，
三棱台有个面，
所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体.
故选：A.
【变式练习2】一个棱柱至少有（ ）个面
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】棱柱有两个底面，侧面个数与底面多边形边数相同，而边数最少的多边形是三角形，只有3边，
因此棱柱侧面个数最少是3个，所以一个棱柱至少有5个面.
故选：D
【变式练习3】根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A．不相交的直线是平行直线B．经过两条平行直线有且只有一个平面
C．不共线的三点确定一个平面D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】A
【解析】对于A，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A错误；
对于B，两条平行直线确定一个平面，B正确；
对于C，不共线的三点确定一个平面，C正确；
对于D，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确.
故选：A
考点二、空间几何体的表面积与侧面积
【例2】圆锥的底面半径为,母线长为,则圆锥的表面积为( ).
π B.2π C.3π D.4π
【答案】C
【解析】因为，，答案选C
【变式练习1】若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】该圆锥的侧面积为.
故选：B.
【变式练习2】一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥侧面展开的扇形面积为，底面圆面积为，
因为，所以，得，
所以圆锥的体积为，
解得，所以，即圆锥的母线长为6.
故选：C.
【变式练习3】已知一圆锥的母线长为，侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设该圆锥的底面半径为，高为，圆锥的侧面积为，解得，
因此，该圆锥的高为.
故选：A.
考点三、空间几何体的体积
【例3】如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，正方体边长为2，
所以点在如图所示的顶点位置，，
三棱锥的体积为.
故选：C
【变式练习1】如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,设圆锥部分的高为米,圆柱部分的高为米,底面圆的半径为米,则该组合体体积为( )
A．立方米B．立方米C．立方米D．立方米
【答案】C
【解析】由题知底面圆的半径，圆柱高，圆锥高.
圆柱的体积.
圆锥的体积.
所以该组合体体积（立方米）.
故选：C
【变式练习2】已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为O，点A为上底面圆周上任意一点，则，
设圆台的高为h，上底面的又球的半径为，
则，
所以圆台的体积．
故选：C．
【变式练习3】若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，
故体积为.
故选：A
考试内容
考试要求
1.空间几何体的结构
2空间几何体的表面积与侧面积
3.空间几何体的体积
掌握
掌握
掌握
结构
图例
棱
柱
(1)两底面相互平行,其余各面都是平行四边形
(2)侧棱平行且相等
圆
柱
(1)两底面相互平行
(2)侧面的母线平行于圆柱的轴
(3)以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体
棱
锥
(1)底面是多边形,各侧面均是三角形
(2)各侧面有一个公共顶点
圆
锥
(1)底面是圆
(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体
棱
台
(1)两底面相互平行
(2)是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分
圆
台
(1)两底面相互平行
(2)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分
球
(1)球心到球面上各点的距离相等(2)以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体