中职高考数学一轮复习讲练测9.3 空间中的垂直关系（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．线线垂直
如果两条直线所成的角是 (无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说 ，记作 ．直线l叫做 ，平面α叫做 ．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做 ．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的 ．
(2)判定定理：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.
(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ．
3．直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角．
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是 ．
4．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的 叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是 ．
5．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直．
(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直．
考点一 线线垂直、线面垂直、点到面的距离
【例题】（1）以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（ ）
A．直线l与平面内无数条直线垂直
B．直线l与平面内两条平行直线垂直
C．直线l与平面内两条直线垂直
D．直线1与平面内两条相交直线垂直
（2）若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面B．相交C．平行D．平行或异面
（3）在正方体的六个面中，与垂直的平面有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（4）已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
（5）已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，，其中正确的命题是 ．（填序号）
【变式】（1）若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（ ）
①四边形的两边 ②正六边形的两边 ③圆的两条直径 ④三角形的两边
A．①②B．①③C．②③D．③④
（2）设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
（3）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直B．与垂直
C．与异面D．与异面
（4）如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
（5）平行四边形的对角线交点为O，点P在平行四边形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是 ．
考点二 面面垂直、线面角、二面角
【例题】（1）已知空间中两平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（ ）
A．B．C．D．
（3）长方体中，，，则二面角为（ ）
A．B．C．D．
（4）在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
（5）如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面平面； ②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面.
【变式】（1）下列命题错误的是（ ）
A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线
B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行
C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角
（2）以下说法正确的是（ ）
A．空间异面直线的夹角取值范围是 B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是 D．向量与向量夹角的取值范围是
（3）如图，在棱长为2的正方体中，､分别为棱､的中点，则与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
（4）如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
（5）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
（6）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有 ．(写出全部正确命题的序号).
①平面平面；
②平面平面；
③平面平面，且平面平面；
④平面平面，且平面平面.
【方法总结】
1．判断(证明)线线垂直的方法
(1)根据定义；(2)如果直线a∥b，a⊥c，则b⊥c；(3)如果直线a⊥面α，c⊂α，则a⊥c；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．
2．证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理：两相交直线a，b⊂α，a⊥c，b⊥c⇒c⊥α；(2)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m，a⊂α，a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m⇒m⊥γ.
3．证明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β；(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ.
4．平面与平面垂直的性质的应用
当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．
5．注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化
6．线面角、二面角求法
求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．