【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题36 空间线、面垂直 【中职专用】（讲）.zip

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二、考点梳理
1．直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理及推论
3.直线与平面垂直的性质定理
4、平面与平面垂直的判定定理
5. 平面与平面垂直的性质定理
6. 归纳总结
（1）在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
（2）在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．
（3）几个常用的结论：
①过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
②过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
7.二面角及二面角的平面角
（1）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。如图一：
记法：或PQ。
（图一） （图二）
（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，
在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB
构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
如图二，∠AOB为二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
注意：（1）二面角的平面角的取值范围：，；
（2）在表示二面角的平面角∠AOB时，要做到三点：
①顶点O；②OA，OB；③OA⊥，OB⊥；
（3）∠AOB的大小与点O在上的位置无关。
（3）两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，
三、考点分类剖析
考点一、线面垂直的判定
【例1】下列命题中正确的是（ ）
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
【答案】C
【解析】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确;
一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，
由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确.
故选：C.
【变式练习1】如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点．
(1)求证：平面;
(2)求证：平面．
【答案】(1)见解析, (2)见解析.
【解析】（1）证明：由题知D,E分别是的中点,,
平面平面,
平面,得证;
（2）证明：由题知,D是的中点,
,
平面,平面且,
故平面得证.
【变式练习2】在中，D是边的中点，，⊥平面，，则点E到斜边的距离是________．
【答案】
【解析】
作于点H，连接．
因为平面，所以，
因为，所以平面，
所以，所以即为所求距离．
由，，得．因为D是边上的中点，
所以．
又，所以.
故答案为：.
考点二、线面垂直的性质
【例2】如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．
∴△ABC为直角三角形．
又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，
又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC．
∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．
故选：D.
【变式练习1】已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】C
【解析】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；
若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，
故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.
故选：.
【变式练习2】在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（ ）
A．B．C．与l异面D．与l相交
【答案】B
【解析】：因为平面，且平面，直线l与直线不重合，
所以．
故选：B.
考点三、面面垂直的判定
【例3】如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（ ）
A．平面ABCDB．平面PBC
C．平面PADD．平面PCD
【答案】C
【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
由四边形ABCD为矩形得，
因为，
所以平面PAD．
又平面PCD，
所以平面平面PAD．
故选：C
【变式练习1】空间四边形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADCB．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBCD．平面ADC平面DBC
【答案】D
【解析】∵，，，平面，
∴平面BDC．
又∵AD平面ADC，
∴平面平面DBC．
故选：D
【变式练习2】如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵是半圆直径，∴，
∵四边形是正方形，∴
∵平面平面，且平面平面，
平面，∴平面，
∵平面，∴，∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
考点四、面面垂直的性质
【例4】如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（ ）
A．平行
B．平面
C．相交但不垂直
D．垂直
【答案】D
【解析】：由正方体的结构特征可知，平面平面，
又平面平面，且平面，，
由平面与平面垂直的性质可得，平面．
故与平面的关系是相交且垂直．
故选：D．
【变式练习1】已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
平面，，即平面，平面，
又平面平面，平面平面，
平面.
故选：A.
【变式练习2】已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（ ）
A．异面B．相交但不垂直C．平行D．相交且垂直
【答案】C
【解析】因为α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.
故选：C.
考点五、线面垂直、面面垂直转化
【例5】平面平面，，直线，则直线m与n的位置关系是__________．
【答案】
【解析】在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.
【变式练习1】如图，在长方体中，在平面内，于点，则与的位置关系是________．
【答案】垂直
【解析】在正方体中，可得平面平面，
又因为平面平面，且平面，
所以平面，
又由平面，所以.
故答案为：垂直.
【变式练习2】如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是______．（写出所有满足要求的说法序号）
①平面PAD⊥平面PAB； ②平面PAD⊥平面PCD；
③平面PBC⊥平面PAB； ④平面PBC⊥平面PCD．
【答案】①②③
【解析】①由矩形ABCD所在的平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故①正确；
②由矩形ABCD所在的平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故②正确；
③由矩形ABCD所在的平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故③正确；
④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以,
因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误．
故答案为：①②③．
考点六、二面角与线面角
【例6】在四棱锥中，，，平面平面，，，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】平面平面，平面平面，，
取CD的中点O，连接PO，OA，,平面，
则平面ABCD，平面ABCD可得,
由，，，可得四边形ABCO为正方形，
三角形ADO为等腰直角三角形，取AD的中点E，连接OE,PE，则，,
可得平面PEO，平面PEO，，
则即为二面角的平面角，，，
则,
故选：A
【例7】已知如图，在三棱柱中，底面是等边三角形， ，在底面的射影为的中点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设的中点为，连，则平面，所以，
连，则，，又，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
因为为等边三角形，且为的中点，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过作，则平面，连，则是直线与平面所成的角，
因为，所以，又，所以，
所以，所以，又，所以，
所以，
因为，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：C.
【变式练习1】正方体中，分别是棱的中点，则平面与平面所成角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】连接BD，如图所示，

因为、分别为、的中点，所以，
又因为，
所以，
又因为面，
所以.
又因为，、面，
所以面，
又因为面，
所以面面，
即：平面与平面所成角为.
故选：D.
【变式练习2】正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正方体中，连接，连接，如图，
则有，而平面，平面，即有，
又平面，因此平面，
则是直线与平面所成的角，
在中，，，则有，
所以直线与平面所成的角为.
故选：A
【变式练习3】在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】长方体中，，，
，平面,平面,,
又平面平面，
为二面角所成的平面角，
，
所以二面角的余弦值为.
故选：D.
考试内容
考试要求
1.线面垂直的判定
2线面垂直的性质
3.面面垂直的判定
4.面面垂直的性质
5.显现垂直、线面垂直、面面垂直之间关系
6.二面角平面角的大小
掌握
掌握
掌握
掌握
掌握
掌握
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b)) ⇒l⊥α
推论
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a)) ⇒l⊥α