(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 (高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：二项分布及其应用
题型二：超几何分布及其应用
题型三：正态分布及其应用
角度1：正态分布的概率计算
角度2：正态分布的实际应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：伯努利试验与二项分布
（1）重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
（2）二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
知识点二：两点分布与二项分布的均值、方差
若随机变量服从两点分布,则,.
若,则, .
知识点三：超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.
其中，，，，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
知识点四：正态分布
（1）正态分布定义：
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.
（2）正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
（3）正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：二项分布及其应用
典型例题
例题1．（2022·甘肃临夏·高二期末（理））已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，
得．
故选：C
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量服从二项分布，则______．
【答案】
【详解】依题意，.
故答案为：
例题3．（2022·全国·高三专题练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）
解：由题意得：
设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ；
（2）
设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．
，，
，．
应聘者乙正确完成题数的分布列为
例题4．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为．
（1）求甲投球次，命中次的概率；
（2）若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【详解】解：（1）设“甲投球一次命中”为事件，
则，
故甲投球次命中次的概率为
（2） 设“乙投球一次命中”为事件．
由题意得， 解得，
所以，
由题意得服从，则



例题5．（2022·全国·高二课时练习）在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.
(1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设备数X的分布和数学期望；
(2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)应选择方案2
（1）
解：为正常工作的设备数，由题意可知.
所以，
，
，
，
从而的分布列为：
由，则；
（2）
解：设方案1、方案2的总损失分别为，，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到，由（1）可知计算机网络断掉的概率为，不断掉的概率为，
所以元；
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，
可知计算机网络断掉的概率为，
故元.
因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X服从二项分布，则______.
【答案】##0.375
【详解】因为X服从二项分布，
所以.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.
(1)求两人不申请同一套住房的概率；
(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）设两人申请同一套住房为事件，
，
所以两人不申请同一套住房的概率为；
（2）方法一：随机变量可能取的值为.
，
，
，
所以的分布列为
所以数学期望.
方法二：依题意得，
所以，
所以的分布列为
所以数学期望.
4．（2022·全国·高三专题练习）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．
(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；
(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；
(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)；
(3)分布列见解析，.
【详解】（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人，
所求概率；
（2）设中位数为，
由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为，
故，
，
解得：，
即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为；
（3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为，
则，
所以,
,
,
,
所以的分布列为：
所以.
5．（2022·全国·高三专题练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）
记事件为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，
则；
（2）
由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以的分布列为：
所以.
题型二：超几何分布及其应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
故选：A.
例题2．（2022·广东东莞·高二期中）一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.
(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析.
(1)
设取出的3个球恰有一个红球为事件A，
则
(2)
随机变量X可能取值为0,1,2,
，，，
故X的分布列为：
例题3．（2022·宁夏·银川市第六中学高三期中（理））全国第36届中国化学奥林匹克竞赛已经结束，我校学生取得了优异成绩，为了方便统计，现将学生成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生成绩的中位数；
(2)在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望；
【答案】(1),中位数:65
(2)分布列见解析，数学期望为.
【详解】（1）由题可知，，
解得.
中位数为.
（2）依题意，[70，80），[80，90），[90，100]三组的频率为，
所以[70，80），[80，90），[90，100]三组抽取的人数为，
所以在这10人成绩在[80，90）的有3人，不在的有7人，
所以,
所以列出分布列如下：
所以.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
【答案】(1)
(2)，
(3)
（1）
由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，
所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；
（2）
由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），
所以随机变量的取值可能为，，，
所以，，，
所以可得分布列
期望；
方差；
（3）
由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，
设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，
可知随机变量满足，
所以.
例题5．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）根据北京冬奥组委与特许生产商的特许经营协议，从7月1日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产.现给出某零售店在某日（7月1日前）上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表（假定每人限购一个冰墩墩）：
(1)若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求的最小值；
(2)在取得最小值的条件下，现从购买蓝色冰墩墩的顾客中任选人，从购买粉色冰墩墩的顾客中任选人，且（，），记选到的人中女顾客人数为，求的分布列及数学期望.
附：
【答案】(1)12
(2)分布列答案见解析，数学期望：
（1）
（1）因为有的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，
不妨给出零假设：顾客购买的冰墩墩颜色与其性别无关，
且该假设成立概率小于等于，且由表知，
则，即，又，
所以的最小值为12；
（2）
因为，所以的所有可能取值是，
女生一共有24人，男生一共有12人
所以的分布列为，
且，
所以.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
【答案】2或3
【详解】由题意可知，X服从超几何分布，
且，所以，
所以或3；
故答案为：2或3.
2．（2022·全国·高三专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【详解】（1）设甲测试合格为事件，则.
（2）甲答对的试题数可以为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
.
3．（2022·全国·高二课时练习）某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
（1）
高一高二共推荐名男生和名女生，
高一没有学生入选代表队的概率为，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为.
（2）
根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．
，，，
所以X的分布列为
4．（2022·全国·高三专题练习）某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下：
(1)如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
若，则，，.
【答案】(1)语文10人，数学16人
(2)分布列见解析，
（1）
因为语文成绩服从正态分布，
所以语文成绩特别优秀的概率.
由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率，
所以语文成绩特别优秀的学生大约有（人），
数学成绩特别优秀的学生大约有（人）.
（2）
语文和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有14人，可取的值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
故的分布列为
5．（2022·北京海淀·高二期末）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图一，每年新能源汽车销量占比如表一．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
表一
(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率
(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望；
(3)对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”．请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份．（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)的分布列为：
期望
(3)2019年，2021年
（1）
从2015年到2021年这七年中，汽车总销量不小于5.5万辆的年份有2016，2017，2018，2019，2020，2021共有6年，故从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为
（2）
从2015年至2021年中随机选取两年共有种选法，只有2020年和2021年这两年，新能源汽车销量超过了0.5万辆，其余5年的销量均未超过0.5万辆，
故可取:
;
的分布列为：
期望
（3）
从2015年到2021年这七年中，新能源汽车销量（单位：万辆）分别为： ，
其中，故只有2021，2018，2019连续三年以及2019，2020，2021这三年第三年的销量大于前两年的销量之和，故“爆发年”的年份为：2019，2021年.
题型三：正态分布及其应用
角度1：正态分布的概率计算
典型例题
例题1．（2022·江苏·盐城中学高三阶段练习）随机变量服从正态分布，则（ ）
附：
A．0.8186B．0.4772C．0.84D．0.9759
【答案】A
【详解】由题意可得：
∴
故选：A.
例题2．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【详解】由于随机变量服从正态分布，且，
而，
所以，
所以.
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为.
故选：C.
例题4．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）已知，若为偶函数，则______．
【答案】2
【详解】若为偶函数，
则有，即，
所以.
故答案为：2.
例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，，，则的最小值为____________．
【答案】##
【详解】随机变量服从正态分布，
，由，，
，且
则，
当且仅当，即时等号成立．
的最小值为．
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·北京大兴·高二期末）已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】解：由正态分布密度函数图像的性质可知：越大，图像对称轴越靠近右侧；越大，图像越“矮胖”，越小，图像越“瘦高”.所以由图像可知：，.
故选：A.
2．（2022·北京海淀·高二期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
【答案】D
【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，
又由，则，
则，
故选：D．
3．（2022·安徽·高三阶段练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取1000个零件，并测量其尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布，则可估计所抽取的1000个零件中尺寸高于24的个数大约为__________.
（附：若随机变量服从正态分布，则.
【答案】23
【详解】由正态分布可知：，
，
尺寸高于22的个数大约为.
故答案为：23
4．（2022·福建·厦门双十中学高三阶段练习）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Mivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从．若，则______．
【答案】0.09
【详解】因为X近似服从，所以X的正态分布曲线关于对称，故.
故答案为：0.09.
5．（2022·全国·高二课时练习）设随机变量服从正态分布，若函数没有零点的概率是，则______．
【答案】
【详解】函数没有零点，即关于的方程没有根，，解得，又函数没有零点的概率是，由正态曲线的对称性可得
故答案为：
角度2：正态分布的实际应用
典型例题
例题1．（2022·湖南·高二课时练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用和表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，和的概率密度曲线如图（）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.
（提示：（2）中和的概率密度曲线分别反映的是和的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（）中阴影部分的面积表示的就是取值不大于38min时的概率.）
【答案】(1)李明平时选择骑自行车更稳妥，理由见详解；
(2)如果某天有38min可用，李明应选骑自行车；如果某天有34min可用，应选坐公交车；
理由见详解.
(1)
李明平时选择骑自行车更稳妥，
由已知得坐公交车平均用时30min，骑自行车平均用时34min，差距不大；但是坐公交车的方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选择骑自行车更稳妥.
(2)
由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行车；
由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交车.
例题2．（2022·福建省漳州市第八中学高二期中）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算).
（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：
（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望.
附注：若，则，，.参考数据：.
【答案】（1）千米/时；（2）（i）辆，（ii）.
【详解】（1）由图知：千米/时.
∴这1000辆机动车的平均车速为千米/时.
（2）由（1）及题设知：，则，
（i），
∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆.
（ii）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为，故
∴.
例题3．（2022·福建南平·高二期末）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；
(3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望.
附；若，则，，
【答案】(1)12（件），501.75
(2)0.97725
(3)分布列见解析，
（1）
由频率分布直方图可知，
∵质量超过505克的产品的频率为，
∴质量超过505克的产品数量为（件）
样本平均值
或者样本平均值
或者样本平均值
（2）
由题意可得，
则，
则该批产品质量指标值的概率：
或者
（3）
根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，
该产品的质量超过505克的概率为
所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看二项分布.
故，质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且
∴，
∴，
，
，
∴的分布列为
的均值为
或者
例题4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期中）某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布.
(1)求；
(2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数.
参考数据：，，.
【答案】(1)
(2)约为人
(1)
解：由已知，，则，，
所以，
.
(2)
解：，，
所以，
，
，
所以，该地区名高三学生中，总分落在区间的人数约为.
例题5．（2022·山西吕梁·二模（文））某厂新开设了一条生产线生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10个零件，监测各个零件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
(1)求上表数据的平均数和方差；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是另一天抽检的核心指标数据：
从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
【答案】(1)，；
(2)这天需停止生产并检查设备﹒
(1)
由表中数据，得
，
．
(2)
由(1)可知，故．
∵表中第9个数据，故这天需停止生产并检查设备．
同类题型归类练
1．（2022·福建省福州第八中学高三期中）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
.
（2）
解：参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为，，，
所以，，.
所以的分布列为
∴.
（3）解：由（1）知，，
所以.
得分高于77分的人数最有可能是.
2．（2022·全国·高二课时练习）在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．
(1)求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率；
(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．
注：，，．
【答案】(1)0.9545
(2)大约有13654人
（1）
解：因为），可得，
所以，
即考试成绩位于区间内的概率约为．
（2）
解：因为，
所以，
所以考试成绩在之间的考生大约有13654人．
3．（2022·河南南阳·高三期末（理））学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
【答案】(1)，；
(2)①；②.
(1)
由频率分布直方图可知组距，第三组频数为40，总共有100人，
则第三组频率，根据频率之和为1，
可知第4组的频率为，
所以，
(2)
①，，
②记“6人中至少1人获得表彰”为事件，
则，
所以
4．（2022·全国·高二课时练习）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为，如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人.
（1）请根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
列联表，单位：人
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合原则通过计算概率解释其合理性；
附：
若，，
【答案】（1）列联表答案见解析，有以上的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）答案见解析.
【详解】（1）列联表，单位：人
，
所以有以上的把握认为“长期潜伏”与年龄有关.
（2）因为，
所以潜伏期超过14天的概率很低，因此14天是合理的
5．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待.为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与的人中随机抽取100人，得分情况如下：
（1）得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩”的人数为，求的分布列及数学期望；
（2）由直方图可以认为，问卷成绩值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记表示这2000人中分数值位于区间的人数，利用①的结果求.
参考数据：，，，，.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）①0.1359；②271.8.
【详解】（1）得分80以上的人数为，可能取值为0，1，2
，，，
分布列为：
.
（2）
取，
①
②，0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
时间
人数
6
30
35
19
6
4
0
1
2
3
0
1
2
3
X
0
1
2
P

0
1
2
3

蓝色
粉色
男顾客
女顾客
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
数学成绩
频率
0.16
0.168
0.48
0.16
0.032
0
1
2
3
P
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
1.5%
2%
3%
5%
8%
9%
20%
概率
P(μ－σ≤X＜μ＋σ)
P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)
P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)
近似值
0.6827
0.9545
0.9973
0
1
2
9.7
10.1
9.8
10.2
9.7
9.9
10.2
10.2
10.0
10.2
10.1
10.3
9.7
9.8
10.0
9.8
10.3
10.0
10.7
9.8
0
1
2
50岁以下(含50岁)
50岁以上
总计
长期潜伏
非长期潜伏
总计
50岁以下(含50岁)
50岁以上
总计
长期潜伏
40
60
100
非长期潜伏
80
220
300
总计
120
280
400
0
1
2