(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第05讲 第六章 数列综合检测（基础拿分卷）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（ ）
A．9802B．9991C．10001D．10202
【答案】C
【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，
所以第100个数为，
故选：C
2．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））在等差数列中，若，则数列的前项和（ ）
A．15B．20C．30D．35
【答案】D
【详解】.
故选：D
3．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））“”是“1，，9成等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若1，，9成等比数列，则有，解得；
而是的充分不必要条件，
等价于“”是“1，，9成等比数列”的充分不必要条件.
故选：B.
4．（2022·广西柳州·三模（理））我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，．
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an．
则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于（ ）
A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)
【答案】C
【详解】
故选：C．
5．（2022·全国·高二单元测试）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有斤棉花全部赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止.在这个问题中，第个孩子分到的棉花为（ ）
A．斤B．斤C．斤D．斤
【答案】C
【详解】解：设第一个孩子分配到斤棉花，
则由题意得：，
解得＝65，
故选：C.
6．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））已知数列是各项均为正整数的等差数列，记是的前项和.若，则（ ）
A．2022B．2023C．4049D．4054
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，则.由等差数列的性质，得，即，则.因为为正整数，且，所以9，故.
故选：C
7．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（ ）
A．4B．12C．16D．20
【答案】C
【详解】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：
，得，
显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，
所以需要的天数至少为16.
故选：C
8．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，若，数列的前n项和为，则（ ）
A．4950B．4953C．4956D．4959
【答案】D
【详解】由，且，根据累加法可得：
，
所以.
所以.
当时,；
当时，；
当时,；
当时, .
因此.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项比公差多B．数列的首项比公差少
C．数列的首项为D．数列的公比为
【答案】AD
【详解】设的公差为，由，
得，化简得，
所以A正确，B错误．
设的公比为，由，得，化简得，
所以C错误，D正确，
故选：AD.
10．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】根据题意，可知，且，故A错误，B正确，
因为，所以
，
所以，C正确；
因为，故D错误.
故选：BC
11．（2022·广东韶关·高二期末）设公差小于0的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．的最大值为或
【答案】ACD
【详解】因为为等差数列，且，
对于A：由性质可得，解得，故A正确；
对于B：，，故B错误
对于C：，故C正确；
对于D：因为，且公差，
所以的最大值为或，故D正确
故选：ACD
12．（2022·山东日照·高三开学考试）已知函数定义域为R，且.
当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】ABD
【详解】令，得到.
由已知，，则的周期为2.
其大致图像如图所示，由图可知，
令，得到.
①当时，零点为1､3､5､7､…，满足题意；
②当时，零点为0､2､4､6､…，满足题意；
③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.
由，得，此时；
④当时，函数无零点，不符合题意.
故选：ABD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______.
【答案】7
【详解】当时，；
当时，.
所以，所以.
故答案为：
14．（2022·四川泸州·高一期末）已知数列的前项和（其中为常数，），写出使不为等差数列的一个通项公式___________.
【答案】（其中c不为零均可）
【详解】当时，，
当时，，
令，则，故当，即时，
不是等差数列，当时，，数列是等差数列.
故答案为：（其中c不为零均可）
15．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的各项均为正数，，，则______．
【答案】
【详解】由题意可得，，所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列，所以，得．
故答案为：
16．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（文））设为数列的前项和，已知，，则________，________.
【答案】
【详解】，令，则，
∴又，，∴；
①，②，
①减②得：，
∴，∴.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司高三开学考试）在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
（1）
解：设公差为，
因为，，成等比数列，
所以，
即，解得（舍去），
所以；
（2）
解：，
因为，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
是以.
18．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在等差数列中，已知，，
(1)求此数列的通项公式；
(2)若从此数列中依次取出第二项，第四项，第八项，……，第项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式与前项和.
【答案】(1)
(2)，.
（1）
解：设的公差为，依题意可得.
解得，，
所以.
（2）
解：依题意，
所以
.
19．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，求数列{}的前项和为．
【答案】(1)
(2)
(1)解：设等差数列的公差为，
由题意有，解得，
所以；
(2)解：由（1）知，
所以.20．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
（1）
由题意知，当时，，即，
时，由得即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（2）
由题意知，，
所以，所以，
当时，
.
所以.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若______，求数列的前n项和.
在①，②，③
这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)若选①，；若选②，；若选③，
（1）设等比数列的公比为，因为，所以，
则，解得，
所以数列的通项公式.
（2）若选①，
则，
所以.
若选②，
则，
所以.
若选③，
则
所以，
则，
两式相减，得
则.
22．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知正项递增的等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，的前n项和为，求.
【答案】(1)
(2)
(1)设等比数列的公比为，则
因为数列为正项递增等比数列，所以，
又，，
∴，解得，或（舍）；
所以等比数列的通项公式为.
(2)由（1）知，
所以，
所以
.
所以的前n项和为.