(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：离散型随机变量分布列的性质
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的均值与方差
角度1：期望、方差的计算
角度2：决策问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，．
知识点二：离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列．
知识点三：离散型随机变量的分布列的性质
①，
②
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
知识点四：离散型随机变量的均值与方差
（1）离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectatin),数学期望简称期望.
（2）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
则称
为随机变量的方差，有时也记为.
称为随机变量的标准差.
知识点五：均值与方差的性质
（1）
（2）
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：离散型随机变量分布列的性质
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）随机变量的分布列如下表，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）设X是一个离散随机变量，其分布列为：
则实数的值为______.
例题4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设随机变量的分布列为，（，2，3），则的值为___________.
例题5．（2022·江苏常州·模拟预测）设随机变量的分布列如下：
且数列满足，则______________．
同类题型归类练
1．（2022·山东济宁·高二期末）已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东济南·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为：
则（ ）A．B．C．D．
4．（2022·全国·高二课时练习）设随机变量的分布列为，则___________.
5．（2022·天津市求真高级中学高二期末）已知随机变量的概率分布列为：
已知的数学期望为，则____________.
题型二：求离散型随机变量的分布列
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·四川·成都七中三模（理））一个袋中有个红球，个白球，个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则
A．B．
C．D．
例题3．（2022·全国·高二单元测试）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．
(1)求、的分布；
(2)比较甲、乙的射击技术．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（ ）
A．176B．182C．184D．186
2．（2022·辽宁辽阳·高二期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．AB．BC．CD．D
3．（2022·全国·高二课时练习）已知两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为，，则产生故障的电脑台数的数学期望为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：离散型随机变量的均值与方差
角度1：期望、方差的计算
典型例题
例题1．（2022·浙江金华第一中学高二阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是______．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）某厂一批产品的合格率是98%．
(1)求从中抽取1件产品为正品的数量的方差；
(2)若从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的标准差．（保留两位小数）
例题5．（2022·全国·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，，．
(1)求的分布列，并求的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
同类题型归类练
1．（2022·广西河池·高二期末（理））随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（多选）（2022·江苏苏州·高二期末）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知某小学生参加了暑期进行的游泳培训，分别学习自由泳和蛙泳，经过一周训练后，她每次自由泳训练及格的概率为，蛙泳及格的概率为．考核采用积分制，每次自由泳、蛙泳及格分别得1分、2分，不及格均得0分，每次游泳的结果相互独立．若该小学生每天进行3次考核训练，其中自由泳2次，蛙泳1次．
(1)求“该小学生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”的概率；
(2)若该小学生的总得分为X，求X的分布列和数学期望．
4．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
5．（2022·陕西西安·高二期末（理））如图，小明家住H小区，他每天早上骑自行车去学校C上学，从家到学校有，两条路线，路线上有，，三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，且，路口遇到红灯的概率分别为，.
(1)若走路线，求遇到3次红灯的概率；
(2)若走路线，变量X表示遇到红灯次数，求X的分布列及数学期望.
角度2：决策问题
典型例题
例题1．（2022·陕西西安·高二期末（理））某理财公司有两种理财产品和，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）
产品
产品（表中，）
甲要将家中闲置的10万元人民币进行投资，方案1：购买理财产品；方案2：购买理财产品．
(1)如果按方案1进行投资，求一年后投资的平均收益；
(2)如果按方案2进行投资，用表示一年后投资收益的期望值；
(3)若以一年后投资收益的期望值为决策依据，你认为选哪种方案较为理想？
例题2．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知某工厂的一种机器有两个相同的易损配件，当两个配件都正常工作时（两个配件损坏与否互不影响），该机器才能正常运转.该工厂计划购买一批易损配件，现有甲、乙两个品牌的配件供选择，甲、乙两个品牌的配件可以搭配使用，甲品牌配件的价格为400元/个，乙品牌配件的价格为800元/个.现需决策如何购买易损配件，为此收集并整理了以往购买的甲、乙两个品牌配件各100个的使用时间的数据，得到如下柱状图.分别以甲、乙两种配件使用时间的频率作为概率.
(1)若从2个甲品牌配件和2个乙品牌配件中任选2个装入机器，求该机器正常运转时间不少于2个月的概率.
(2)现有两种购置方案：方案一，购置2个甲品牌配件；方案二，购置2个乙品牌配件.试从性价比（机器正常运转的时间的数学期望与成本的比值）的角度考虑，哪一种方案更实惠?
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）某蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（）．以频率作为概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望大，则的最小值是______．
2．（2022·广东·广州市天河中学高二期中）根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05．今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元，为保护设备，有以下3种方案：
方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水；
方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水；
方案3：不采取措施
工地的领导该如何决策呢？
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
1
3
4
5
6
－1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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3
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X
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1
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P
0.08
0.14
0.78
X
0
1
2
P
0.06
0.24
0.56
X
0
1
2
P
0.06
0.56
0.38
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
A
B
C
D
8
9
10
0.3
0.2
0.5
8
9
10
0.2
0.4
0.4
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
前8小时内的销售量
15
16
17
18
19
20
21
频数
10
16
16
15
13