（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第10章 第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
题型一：离散型随机变量
【例题1-1】下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【解析】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.
【例题1-2】下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯泡的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
【答案】B
【解析】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.故选：B.
【变式1-1】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．
【变式1-2】对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
【答案】D
【解析】由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.故选D.
题型二：求离散型随机变量的分布列
【例题2-1】数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 ．
【答案】
【解析】的可能取值是0、1、2、4，
，，，.
的分布列为：
故答案为：
【例题2-2】假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数的分布列是 ．
【答案】
【解析】据题意，的可能取值为1，3，5，7，9，11，
＝1时，还需走5个两阶，共六步走完，所以共有种不同的走法；
同理，＝3时，有种；＝5时，有种；＝7时，有种；
＝9时，有种；＝11时，有1种，
所以，走完这段楼梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144种不同的走法．
，，，
，，，
的分布列如下：
故答案为：
【变式2-1】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的分布列是 ．
【答案】
【解析】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则.由已知，可取.
表示事件“甲连胜两局”或“乙连胜两局”，所以.
表示事件“甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜丙胜”，
所以.
表示事件“甲胜丙胜乙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜甲胜”，
所以.
表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜甲胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜乙胜”，
所以.
表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”，所以.
所以，的分布列是
故答案为：
【变式2-2】从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为： ．
【解析】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知：
，故答案为：
【变式2-3】设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为 ．
【答案】
【解析】正方体的12条棱中任取两条共有种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，共有对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，ξ的可能取值为0，1，，分别求出其概率即可.ξ的可能取值为0，1，.
若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以P(ξ＝0)＝＝，
若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，则P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，所以随机变量ξ的分布列为：
故答案为：
【解题方法总结】
求解离散型随机变量分布列的步骤：
（1）审题
（2）计算
计算随机变量取每一个值的概率
（3）列表
列出分布列，并检验概率之和是否为.
（4）求解
根据均值、方差公式求解其值.
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
【例题3-1】已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 .
【答案】
【解析】由题意可知，解得.故答案为：.
【例题3-2】某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为 ．
【答案】0.3
【解析】由已知得：，解得，故．
故答案为：0.3．
【例题3-3】已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
若，则 .
【答案】
【解析】因为,①且,②，
所以①②可得，，故答案为：.
【变式3-1】设随机变量的概率分布列为
则常数 ．
【答案】
【解析】由题意得且所以，解得． 故答案为：
【变式3-2】随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 .
【答案】0
【解析】根据概率的性质可得解得，
所以，所以.
故答案为:0.
【变式3-3】已知离散型随机变量X的分布列为
若，则正整数a＝ ．
【答案】1
【解析】0.2＋0.4＋b＝1，得，所以，则，正整数a＝1；
故答案为：1.
【解题方法总结】
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确．
题型四：离散型随机变量的均值
【例题4-1】一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X表示取出的3个球中最大编号，则 ．
【答案】4.5
【解析】从中任取3个球，共有，，，，，，，，，10中情况，所以可能取值为，，，，
所以.故答案为：.
【变式4-1】现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是 元.
【答案】2
【解析】设每张彩票的中奖金额为随机变量，则.
由题意可知，，，，，，
所以.所以，的分布列为
所以，.故答案为：2.
【变式4-2】一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则 .
【答案】
【解析】由题意，随机变量的所有可能取值为，则；；，所以期望为.故答案为：.
题型五：离散型随机变量的方差
【例题5-1】设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差 .
【答案】
【解析】成等差数列，,由变量的分布列，
知：，解得，.故答案为：
【例题5-2】离散型随机变量X的分布为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ．
①；②；③；④．
【答案】①③
【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，
则，
，所以①③正确；
又由离散型随机变量Y满足，所以，，所以②④错误，故答案为：①③．
【例题5-3】已知离散型随机变量的分布如下表：
若随机变量的期望值，则 ．
【答案】11
【解析】由表中数据得：，解得，又，，
所以，所以．故答案为：11．
【变式5-1】随机变量的分布列如下表：
其中a，b，c成等差数列，则的最大值为 .
【答案】
【解析】依题意，，，所以，，
所以，
所以，
所以当时，有最大值.故答案为：．
【变式5-2】随机变量X的分布列如表所示，若，则 .
【答案】5
【解析】依题意可得，解得，所以，所以.故答案为：5.
【变式5-3】甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；
(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
【解析】（1）甲胜利的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜.
甲胜概率为：. 则甲胜利的概率为.
（2）设甲所胜的局数为，.
，，
，则分布列为：
所以.
（3）.
【解题方法总结】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
题型六：决策问题
【例题6-1】某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
【解析】（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：，
根据题意可得：的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
，，
，，
，，，
所以的分布列为：
所以；
（2）当每两天进16十盒时，利润为，
当每两天进17十盒时，利润为，
，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．
【例题6-2】甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中．
(1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围．
【解析】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A，小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件，根据题意可得， .
（2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为，
根据题意可知，，则，，
，，
，则随机变量的分布列为
，若，则，
故，即的取值范围是
【变式6-1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求的分布；
(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与18之中选其一，应选用哪个？并说明理由．
【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3，则，，
，，，
所以随机变量的分布列为
（2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），
当时，可得
当时，可得
因为，所以当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
【变式6-2】强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，
根据题意可得，.
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为，
根据题意可知，，则，，
，
，，
则随机变量的分布列为
，
若，则，故，即的取值范围是.
【解题方法总结】
均值与方差在决策中的应用
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征
1．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张B．2张C．3张D．4张
【答案】B
【解析】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则
若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为，，
若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为，，
若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为，，
若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为，，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选：B.
2．随机变量的分布列如下表，且，则（ ）
A．10B．15C．40D．45
【答案】D
【解析】由题意得，得，所以，解得，
所以，所以故选：D.
3．已知离散型随机变量的分布列如下表：
则其数学期望（ ）
A．1B．0.3C．2.3D．3.2
【答案】D
【解析】分布列中出现的所有的概率之和等于1．，，随机变量的数学期望．故选：D.
4．已知随机变量X的分布列为：
则（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【解析】由，解得，则.故选：C.
5.将字母a，a，b，b，c，c放入如图所示的3×2的表格中，每个格子各放一个字母，若字母相同的行的个数为，则的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同结果有种，随机变量的可能值为，
，
所以的数学期望为.故选：B
6．设，则随机变量的分布列是
则当在内减小时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】C
【解析】根据题意可得，，
所以在单调递减，在单调递增，所以先减小后增大.
故选：C.
7．一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】A
【解析】设原数据随机变量为X，根据题可知原数据方差，则新数据随机变量可表示为，根据方差公式可知.故选：A.
8．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，可能取值为2，3，包含事件为取出的两个球为1，2，所以
包含事件为取出的两个球为1，3或2，3，所以，，
.故选：A.
9.某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得1分；如果两人都没投中，则小组得0分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为 ．
【答案】
【解析】根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为,则可取的值为0、1、2、3、4、6,
在一轮活动中,该小组得3分的概率，该小组得1分的概率，
该小组得0分的概率，则有,，
，则，即该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为，故答案为：.
10．一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为 .
【答案】
【解析】设有白球个，因为从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，
所以，解得或（舍去）.故答案为：5
11．现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是 ．
【答案】
【解析】由题知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，则
，
．所以X的分布列为：
所以X的数学期望为：．故答案为：．
12．素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式．它重视人的思想道德素质、能力培养、个性发展、身体健康和心理健康教育．由此，某校的一位班主任在其班的课后服务课中展开羽毛球比赛，采用五局三胜制，经过一段时间紧张激烈的角逐，最终甲、乙两人进行总决赛，在总决赛的比赛中，甲每局获胜的概率为，且各局比赛之间没有影响．
(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛结束时，甲比赛的局数为，求的分布列及其期望．
【解析】（1）甲获胜有三种情况，第一种甲以3：0获胜，其概率为；
第二种甲以3：1获胜，其概率为；
第三种甲以3：2获胜，其概率为．
所以甲获胜的概率为：．
（2）由题知，的所有可能的取值为3，4，5．
，，
，所以的分布列为
所以．
0
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1
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2
3
0
1
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.1
X
0
2
a
P
0.2
0.4
b
0
2
10
50
100
1000
0.8545
0.1
0.03
0.01
0.005
0.0005
-1
0
1

0
1
2
4
5

0
2
P
a
b
n
n＋1
n＋2
P
a
b
c
X
－1
0
1
P
a
b
0
1
2
0.16
0.192
0.648
日销售量/十盒
7
8
9
10
天数
8
12
16
4
14
15
16
17
18
19
20
Y
0
1
2
3
P
16
17
18
19
20
0.09
0.24
0.34
0.24
0.09
Y
0
1
2
3
P
0
2
1
3
5
0.3
0.4
X
0
2
3
P
m
2m
0
1
X
0
1
2
3
4
5
P
3
4
5