(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (高频考点，精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】考试次数的所有可能取值为1，2，3，
，，，
∴，
即，解得或，
又，故．
故选：B.
2．（2022·浙江·高二期中）已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C.
4．（2022·江西赣州·高二期末（理））若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可得：
故选：C．
5．（2022·辽宁大连·高二期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为：
则的数学期望为（ ）A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由得，，
∴.
故选：B
6．（2022·河南商丘·高二期末（理））已知随机变量X的分布列如下表所示
则当取最大值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由概率的性质知，，即，则，
且，，
所以当时，取得最大值，此时．
故选：D．
7．（2022·广东广州·高二期末）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)
则下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】因为，解得，故A错误；
由分布列知，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
8．（2022·江苏·苏州中学高二期末）设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，
对于A，，故A不正确；
对于B，，
，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D不正确.
故选：C
二、多选题
9．（2022·河北·高二期中）已知随机变量的分布列为
则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由，得，则.
故选：AC.
10．（2022·广东·大埔县田家炳实验中学高二阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】依题意，AB选项正确.
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：ABC
11．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表；
记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（ ）A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】解：由随机变量的分布列知，所以，故B正确；
，故A错误，
函数是偶函数为事件，
满足条件的事件的的可能取值为或，
，故C正确，D错误；
故选：BC．
12．（2022·重庆长寿·高二期末）已知离散型随机变量的分布列如表所示，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的范围是
C．的最小值为8D．若记，则
【答案】AC
【详解】由题意：，所以.
对于A：.故A正确；
对于B：.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
故B错误；
对于C：
（当且仅当时等号成立）
故C正确；
对于D：由题意，；
.
所以，故.故D错误.
故选：AC
三、填空题
13．（2022·江苏徐州·高三期中）设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ______ ．
【答案】
【详解】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，
即，
则，
由等比数列的求和公式，得，
所以，得.
故答案为：
14．（2022·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量的分布如下表：
若随机变量的期望值，则______．
【答案】11
【详解】由表中数据得：，解得，
又，，
所以，
所以．
故答案为：11．
15．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量的分布为，则______．
【答案】##0.4##
【详解】解：由题意知，的分布为，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
16．（2022·山西临汾·高二期中）已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______．
【答案】##0.125
【详解】由，，得，
所以随机变量的数学期望，
则方差
当 时，取到最小值，
故答案为：
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.
【答案】
均值为：
【详解】根据题意，设表示“所得分数”，则的可能取值为，1，3，6.
，
，
，
.
所以的分布列为：
所以.
18．（2022·湖南·高二课时练习）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
(1)
由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，
所以，，，，
所以分布列为
(2)
由（1）得.
B能力提升
19．（2022·全国·高三专题练习）市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．
(1)求李先生的小孩按时到校的概率；
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？
(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．
【答案】(1)
(2)没有
(3)
【详解】（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝，
故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝.
（2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，
甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝，
∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝