(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第02讲 等差数列及其前n项和 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：等差数列基本量的运算
题型二：等差数列的判断与证明
题型三：等差数列的性质及其应用
角度1：等差数列的性质
角度2：等差数列前n项和的性质
角度3：等差数列的最值问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．
(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）
②等差中项法：
2.等差数列的有关公式
(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．
(2)等差数列的前项和公式(其中)．
3.等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
4.等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．
(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等差数列基本量的运算
典型例题
例题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，
故选:B
例题2．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】D
【详解】依题意，等差数列的通项公式，
，
所以公差为.
故选：D
例题3．（2022·全国·高二课时练习）数列满足，且，则它的通项公式______．
【答案】##
【详解】因数列满足，即，
因此数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
例题4．（2022·江苏·高二课时练习）等差数列的首项为，公差为，项数为．
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，，求；
(4)已知，，，求．
【答案】(1)13(2)8(3)(4)
(1)解：因为数列为等差数列，，，，
所以，所以；
(2)解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
(3)解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
(4)解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得.
题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．-110B．-115C．110D．115
【答案】B
【详解】由题意知，，
得，解得，
所以.
故选：B
2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知等差数列满足，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设公差为，因为，所以
所以，所以
故选：B．
3．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前项和为.
(1)已知，，求.
(2)已知， ，求.
(3)已知，求.
【答案】(1)2700(2)(3)66
(1)
(2)由题意得：公差，故
(3)
4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，，求；
(2)已知，公差，求．
【答案】(1)
(2)
(1)，，
；
(2)，，
．
题型二：等差数列的判断与证明
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高二期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以数列是等差数列，公差为1，
所以.
故选：B
例题2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（ ）
A．671B．672C．673D．674
【答案】D
【详解】∵，，
∴
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴，解得.
故选：D.
例题3．（2022·浙江·杭州四中高二期中）数列的通项公式为，则此数列（ ）
A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列D．是公差为的等差数列
【答案】A
【详解】解：因为，
所以数列{an}是以为公差的等差数列
故选：A.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式．
(1)当和满足什么条件时，数列是等差数列?
【答案】(1)，
（1）若是等差数列，则是一个与n无关的常数，所以，即．所以，时，数列是等差数列．
例题5．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（文））已知正项数列的前n项和为，且和满足：.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
当时，有，得，
由，有，①
∴，②
①－②得.
∴，化简.
∵，∴.
∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
题型归类练
1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，
则.
故选：B
2．（2022·上海·格致中学高二期末）在数列中，，，则___________.
【答案】
【详解】，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
故答案为：.
3．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知数列中，，，则= _________
【答案】
【详解】因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
故答案为：.
4．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
解：因为，，
令 ， 则 ， 即， 解得，
由题知， 由， 两边同除以，得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
5．（2022·四川成都·高一期末（文））已知正项数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
（1）∵，∴数列是以公差为3的等差数列.
又，∴ ，，∴.
题型三：等差数列的性质及其应用
角度1：等差数列的性质
典型例题
例题1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））在等差数列中，若，则其前9项的和等于（ ）
A．18B．27C．36D．9
【答案】A
【详解】因为是等差数列，所以，解得：，
所以.
故选：A
例题2．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（文））已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵数列为等差数列，则
∴
故选：B．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
【答案】C
【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，
当时，，则，
所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．
故选：C.
例题4．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为和是等差数列,故
故选:C
例题5．（2022·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.
【答案】
【详解】若，则；
若，则可设，
所以，，
所以，
故答案为：；
题型归类练
1．（2022·河北保定·高二期中）已知是等差数列{}的前n项和，且，则（ ）
A．数列{}为递增数列B．C．的最大值为D．
【答案】C
【详解】，因为,所以,所以错
公差,所以错
因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以的最大值为,所以C对，,所以D错
故选：C
2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由数列为等差数列，可知.
所以，有.
所以.
故选：B.
3．（2022·广东·广州市番禺区象贤中学高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则_________．
【答案】20
【详解】由题意得，故.
故答案为：20.
4．（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.
【答案】
【详解】解：依题意可得；
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
【答案】2
【详解】因为为等差数列，
所以，
又，所以.
故答案为：2.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，，且，求k的值．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，
又因为，可得，
所以，则，即，解得．
角度2：等差数列前n项和的性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，且，，是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】数列满足，则数列是等差数列，
设等差数列的公差为.
因为，
所以，即.
所以，
所以，，
，
所以，.
故选：B
例题2．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）一个等差数列共有项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4B．8C．12D．20
【答案】B
【详解】根据等差数列的性质得：，，
解得：，故该数列的项数为.
故选：B
例题3．（2022·四川·树德中学模拟预测（理））设是等差数列的前项和，若，且，设，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为 ,由得，
，即 ，
由得，，
即，
解得，
故选：C.
例题4．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，设，则，
因为数列是等差数列，
所以，……，是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
例题5．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知数列和都是等差数列，且其前项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于等差数列的前n项和满足，知道，故.
故选：B.
例题6．（多选）（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A．B．最大C．D．
【答案】ABD
【详解】因为，故，所以，
因为等差数列为递减数列，故公差，
所以，故AB正确.
又，，故C错误，D正确.
故选：ABD.
例题7．（2022·上海·高三专题练习）等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则_______.
【答案】29
【详解】因为等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，
记奇数项之和为，偶数项之和为，
则
.
故答案为：.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）设为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】A
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由 ，得，
解得 ，则.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可知，则，
又，则，
则
因此，故取最大值时的n值为7
故选：A.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）．
A．90B．80C．60D．30
【答案】A
【详解】由等差数列的性质，知，，，
…成等差数列，即，所以．
故选：A．
4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，，.则，，所以.
故选：B.
5．（2022·内蒙古包头·高一期末）等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．8D．9
【答案】D
【详解】因为，，
所以，又，
由，可得，即，
所以使成立的最小正整数n的值为9.
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【详解】由，得，
因为是等差数列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整数n的最小值为.
故选: D.
7．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
【答案】BD
【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选：BD
8．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
【答案】2
【详解】解:由,得,
所以＝5d＝10，所以d＝2.
故答案为：2.
9．（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列的前项和分别是，且，则__________.
【答案】
【详解】由等差数列的性质可知，
则.
故答案为：
角度3：等差数列的最值问题
典型例题
例题1．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，的值为（ ）
A．8B．7C．6D．9
【答案】C
【详解】由，可得，
则等差数列的通项公式为
则等差数列中：
则等差数列的前项和取最小值时，的值为6
故选：C
例题2．（2022·全国·高二课时练习）等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为．
故选：B
例题3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，若，，则使得取最小值的的值为（ ）
A．11B．12或13C．12D．13或14
【答案】B
【详解】由，得，所以，所以，且，所以等差数列的公差，所以，所以使得取最小值的的值为12或13.
故选：B.
例题4．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值.
【答案】（1）；（2）36.
【详解】解：因为为等差数列，令其公差为，
则由题意得，
得，
故
，
即的通项公式为.
（2）由（1）知，，
故
，
所以当，的最大值为.
例题5．（2022·全国·高二课时练习）记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求公差及的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1），；（2），最小值为.
【详解】（1）设的公差为，由题意得.
由得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）得.
所以时，取得最小值，最小值为
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______．
【答案】9
【详解】因为，，
所以，
又，由，可得，即，
所以使成立的最小正整数n的值为9.
故答案为：
2．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为____________.
【答案】
【详解】根据题意，
，
所以当时，有最大值且最大值为：.
故答案为：
3．（2022·福建省福州华侨中学高二期末）设等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值.
【答案】(1)；
(2)，最小值为．
（1）设等差数列的公差为，由等差数列前项和公式可得
因为，所以，解得，
故.
（2）由等差数列前项和公式可得.
因为，所以，则当或时，取得最小值.
4．（2022·四川成都·高一期中（文））已知为等差数列的前n项和，其中，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)
(2)，
(1)解：设等差数列的公差为，
由题可知，所以，
所以．
(2)解：由（1）可得．
所以当时最小，最小值为．
5．（2022·四川·成都市龙泉驿区教育科学研究院高一期中）已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．