(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：基本事实的应用
题型二：空间两条直线的位置关系
题型三：立体几何中的截面问题
题型四：异面直线所成角
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：与平面有关的基本事实及推论
1、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,.
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言：,,且,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
数学语言：,且 ,且
2、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
知识点二：空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点三：平行公理和等角定理
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
数学符号语言；若直线,则
2、等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
②图形语言：
③符号语言：,或
④作用：判断或证明两个角相等或互补
知识点四：异面直线所成角
（1）异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
（2）异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
（3）异面直线的判定
①定义法 ②两直线既不平行也不相交
（4）异面直线所成角取值范围：
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：基本事实的应用
典型例题
例题1．（2022·山东·高密三中高二阶段练习）已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（ ）
A．一个B．四个C．一个或四个D．无法确定平面的个数
【答案】C
【详解】若空间中的四点共面，则经过其中的三点的平面只有一个，
若空间中的四点不共面，设这四点为，由于无三点共线，所以由公理2，可知过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，所以经过其中三点的平面有4个，
综上，空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有1个或4个，
故选：C
例题2．（2022·河南三门峡·高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面
【答案】D
【详解】解：A. 由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；
B. 一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；
C. 两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；
D. 梯形可确定一个平面，所以该选项正确.
故选：D
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个．
【答案】1或3
【详解】当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面；
当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面.
故答案为：1或3
题型二：空间两条直线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若直线和没有公共点，则与的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．平行或异面
【答案】D
【详解】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，
故选：D.
例题2．（多选）（2022·广东广州·高一期中）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．直线在平面内D．相切
【答案】AC
【详解】如图1所示，与平行，，而直线在平面内，
如图2所示，与平行，，而.
综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.
故选：AC
例题3．（多选）（2022·云南师大附中高三阶段练习）《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（ ）
A．秋千绳与墙面始终平行B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直D．秋千板与道路始终垂直
【答案】ACD
【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．
故选：ACD.
题型归类练
1．（2022·全国·高一单元测试）空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．1条或3条
【答案】D
【详解】三个平而可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：
故选：D
2．（多选）（2022·云南大理·模拟预测）若直线∥平面，直线，则与的位置关系可以是（ ）
A．与相交B．C．D．与异面
【答案】BCD
【详解】直线∥平面，直线与平面无公共点，
又直线，直线与直线无公共点，
由线与线的位置关系可知，直线与直线平行或者异面，也可能异面垂直.
故选：BCD
题型三：立体几何中的截面问题
典型例题
例题1．（多选）（2022·河北·衡水市第十四中学高二阶段练习）平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（ ）
A．等腰梯形B．非矩形的平行四边形C．正五边形D．正六边形
【答案】ABD
【详解】解：画出截面图形如图：
C，D分别是所在棱的中点，四边形ABCD为等腰梯形，故A有可能；
如图作截面EFGH，E，G分别是所在棱的中点，
由平面与平面平行的性质可得EFGH，FGEH，
四边形EFGH为平行四边形，但不是矩形，故B有可能；
经过正方体的一个顶点去切正方体可得五边形，一定不是正五边形，故C不可能；
六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形，故D有可能.
故选：ABD.
例题2．（2022·上海大学附属南翔高级中学高二开学考试）正方体中，棱长为分别是、的中点，是底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为___________.
【答案】##
【详解】
连接，因为分别是、的中点，
所以，因为，所以，
因为是的中点，所以过作截面，所得截面为梯形，
因为正方体的棱长为，所以，，，
所以梯形的高为，其面积为，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·山西长治·高三阶段练习）正方体中，用平行于的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（ ）
A．两个三棱柱B．两个四棱台
C．两个四棱柱D．一个三棱柱和一个五棱柱
【答案】B
【详解】在正方体中，连接，

因为，平面，平面，
所以平面，则截面把正方体截成两个三棱柱；
分别取的中点，连接，
则可得，又平面，平面，
∴平面，则截面把正方体截成一个三棱柱和一个五棱柱；
分别在上取点使，
同理可得平面，则截面把正方体截成两个四棱柱；
不存在平行于的截面将正方体截成两个四棱台.
故选：B.
2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））用一个平面去截直三棱柱，交分别于点. 若，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形
【答案】②④⑤
【详解】为直三棱柱，则面面，截面过面、面，则交线，
当不与平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形为梯形；
当时，此时截得的，，
当时，四边形为矩形；当时，四边形为正方形；
故答案为：②④⑤
题型四：异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以异面直线与所成角即或其补角，
因为异面直线所成角的范围为，
所以异面直线与所成角的大小为.
故选：B.
例题2．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期末）在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】画出图象如下图所示，
根据正方体的性质可知，
所以是直线与所成角，
由于三角形是等边三角形，所以，
即直线与所成角的大小为.
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】取的中点的中点，
则，
∴为与所成角，
由题可知直三棱柱为正棱柱,
设，则，
在中，可得,
∴与所成角的余弦值为．
故选：A．
例题4．（2022·山东·高密三中高二阶段练习）如图，在正方体中，是侧面的中心，则异面直线与的夹角大小为______．
【答案】##
【详解】如图，连接，则，则即为所求异面直线夹角（或其补角），
连接，，，则，
所以是等边三角形，则．
O是中点，则由等边三角形的性质可知平分，即．
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河北唐山·高一期末）在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
平移到,再连接，则或其补角为异面直线与所成的角，
设正方体的棱长为2，易得，，，
由余弦定理得
故选：A.
2．（2022·内蒙古包头·高一期末）正方体中，P、Q分别为棱、的中点，则异面直线与BD所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【详解】连接，∵P、Q分别为棱、的中点，
∴，故即为所求，
由正方体的性质可知为等边三角形，
所以，即异面直线与BD所成角的大小为.
故选：C.
3．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，作正方体，如下图所示：
连接，，
∴异面直线与即所成的角为.
由题可得为等边三角形，.
∴异面直线与所成的角为60°.
故选：B.
4．（2021·北京·中国农业大学附属中学高二期中）如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【详解】如图，连接，
由题意，，所以异面直线与所成的角是或其补角，
由正方体性质知是等边三角形，，
所以异面直线与所成的角是．
故选：B．
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言

相交关系
图形语言
图形语言
独有关系
图形语言
图形语言
与是异面直线