(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第02讲 用样本估计总体 (高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：百分位数的估计
题型二：总体集中趋势的估计
角度1：样本的数字特征
角度2：频率分布直方图中的数字特征
题型三：总体离散程度的估计
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：总体百分位数的估计
（1）第百分位数的定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.
（2）计算一组个数据的第百分位数的步骤：
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算.
第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
知识点二：样本的数字特征
（1）众数
一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.
（2）中位数
一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.
（3）平均数
一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为
（4）标准差与方差
如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差：
知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值
(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
知识点四：平均数，方差的线性关系：
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：百分位数的估计
典型例题
例题1．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知是1，2，3，4，5，6的第75百分位数，随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高一期末）某城市抽样了户居民月均用水量（单位：），并作出频率分布表
估计百分位数为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·湖北·沙市中学高二阶段练习）数据的第63百分位数是，则实数的取值范围是__________.
例题4．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）某校高二年级一名学生一学年以来七次月考数学成绩（满分100分）依次为84，86，78，82，84，89，96，则这名学生七次月考数学成绩的第70百分位数为________．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）某读书会有5名成员，寒假期间他们每个人阅读的节本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的分位数为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
2．（2022·全国·高三专题练习）一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，，11，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2022·全国·高三专题练习）在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78，85，，82，75，80，他们的平均成绩为81，则他们成绩的75%分位数为_________．
4．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高一期中）某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的下四分位数是______.
题型二：总体集中趋势的估计
角度1：样本的数字特征
典型例题
例题1．（2022·天津·高一期末）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.记这组数据的中位数为，平均数为，众数为，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·广东实验中学附属江门学校高一开学考试）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇个村的得分如下：，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高一期中）10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）
A．B．C．D．
例题4．（多选）（2022·江苏常州·高一期末）某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数的（ ）
A．众数为2和3B．平均数为3
C．标准差为D．第85百分位数为4.5
例题5．（多选）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）某位同学连续抛掷质地均匀的骰子8次，向上的点数分别为1，3，3，3，4，6，6，6，则这8个数（ ）
A．众数为3和6B．中位数为3C．平均数为4D．第65百分位数为4
例题6．（2022·全国·高二课时练习）如图是2020年某大学自主招生面试环节中，7名评委为某考生打出的分数的茎叶图，该组数据的众数为___________.
例题7．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为______________．
例题8．（2022·上海·高二单元测试）某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538
乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531
(1)用茎叶图表示两学生的成绩；
(2)分别求两学生成绩的中位数和平均数．
同类题型归类练
1．（2022·浙江丽水·高一期末）从某中学抽取名同学，他们的数学成绩如下：，，，，，，，，，(单位：分)，则这名同学数学成绩的众数，第百分位数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·广西·高二学业考试）下图是某城市5月24日到6月7日共15天的空气质量指数的茎叶图，则该城市15天的空气质量指数的众数为（ ）
A．12B．15C．30D．32
3．（2022·全国·高三专题练习）某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班名学生，调查得到这名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是，，，，，，，，，，，，，，，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．（2022·河南·宁陵县高级中学高一阶段练习）一组数据1，10，5，2，x，2，且，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
5．（2022·江西赣州·二模（理））一组数据按从小到大排列为2，3，3，x，7，10，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法错误的是（ ）
A．B．众数为3C．中位数为4D．方差为
6．（2022·贵州·高三阶段练习（理））如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内的日产量数据（单位：箱）.已知这两组数据的平均数分别为，，若这两组数据的中位数相等，则（ ）
A．B．
C．D．，的大小关系不确定
7．（2022·广东广州·高二期中）已知数据的平均数为，则数据的平均数为（ ）
A．B．C．D．
8．（多选）（2022·福建·石狮市第八中学高一阶段练习）给定一组数，，，，，，，，，，则这组数据的（ ）
A．中位数为B．方差为C．众数为和D．第分位数为
9．（2022·天津·南开中学高一期末）某次数学考试中20个人的成绩如下：101，103，107，110，112，113，116，123，124，125，125，125，126，128，134，135，137，139，144，148，若这组数据的众数为，中位数为，极差为，则___________.
10．（2022·江西·九江市同文中学高二期中）如图，茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则，y的值分别为_________.
11．（2022·山东·高密三中高三阶段练习）数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，中位数为，60%百分位数为，则__________，__________．
角度2：频率分布直方图中的数字特征
典型例题
例题1．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为84分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）某校统计了高二年级1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生期末成绩的平均分估计值为______（精确到整数）
例题3．（2022·全国·高一单元测试）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对该班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据按照，，，，分成5组．得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求该班学生该周末的学习时间不少于8小时的人数；
(2)试估计这40名同学该周末学习时间的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
例题4．（2022·四川广安·高二期末（文））冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），
其中样本数据分组区间．
(1)求频率分布直方图中的值：
(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）
例题5．（2022·全国·高一期末）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计总体中成绩落在中的学生人数；
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；
同类题型归类练
1．（多选）（2022·山东菏泽·高一期末）某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.005
B．估计这100名学生成绩的中位数约为77
C．估计这100名学生成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为160
2．（2022·吉林·长春外国语学校高一期中）2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了100名学生进行笔试（试卷满分100分），记录下他们的成绩，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计100名学生成绩的中位数（精确到0.1）.
3．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，旨在进一步提高世界各国人民对防治荒漠化重要性的认识，唤起人们防治荒漠化的责任心和紧迫感.为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚集联合国2030可持续发展目标——实现全球土地退化零增长.自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了400株树苗的高度（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中实数的值和抽到的树苗的高度在的株数；
(2)估计苗圃中树苗的高度的平均数和中位数.（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）
4．（2022·全国·高一课时练习）今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.
（1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？
（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；
（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识､健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率.
5．（2022·新疆·江苏中学高二期中）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).
题型三：总体离散程度的估计
典型例题
例题1．（2022·四川·川大附中高三期中（理））已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
例题2．（多选）（2022·贵州六盘水·高一期末）在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩统计如下表：
记这两个班数学成绩的总平均分为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）以下是甲、乙两名运动员的射击成绩（单位：环）：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．则______（用“甲”或“乙”填空）的稳定性更佳．
例题4．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高一期末）为参加数学选拔赛，某校对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：
理科：80 79 81 79 94 92 85 90
文科：94 80 90 81 73 84 90 80
(1)计算出理科、文科两组同学成绩的平均数；
(2)通过计算理科、文科两组同学成绩的方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好．[备注：方差]
例题5．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播､自媒体､配音，还有电竞､电商这些新兴产业上.只要有网络､有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲､乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，其10种表现得分如下表：
(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；
(2)在（1）的条件下，从10种表现得分中，任取一种，求甲的评分大于乙的评分的概率；
(3)在（1）的条件下，判断甲､乙两人哪个的表现更稳定.
同类题型归类练
1．（2022·新疆·江苏中学高二期中）如果的方差为2，则，，的方差为（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（2022·江西·高三阶段练习（文））如果，，，，的方差是64，则，，，，的方差为______．
3．（2022·河南·信阳高中高二期末（文））已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数__________.
4．（2022·甘肃省会宁县第四中学高一期中）从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：
甲
乙
(1)分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数：
(2)选派谁去参赛更好？请说明理由.
5．（2022·山西大附中高一阶段练习）某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”．该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环境知识测试，他们取得的成绩(满分100分)如下：
甲班：75、78、80、89、85、92、96．
乙班：75、80、80、85、90、90、95．
求甲、乙两班学生成绩的方差，并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛．数据
平均数
方差
，，，
，，，
，，，
，，，
分组
频数
频率
班级
人数
平均分
方差
甲
85
2
乙
90
3
甲
8
9
7
9
7
6
10
10
8
6
乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
a