人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用习题，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（ ）
A．7kmB．13kmC．19kmD．10−33km
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以计算出A，B两点的距离为（ ）
A．502mB．503mC．252mD．2522m
3．如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定C处，测得AB=30米，∠ABC=75°,∠BAC=45°，则该河流的宽度是（ ）
A．15+53米B．103+10米C．153−15米D．103−10米
4．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD=1km，∠ADB=∠CDB=30°，∠DCA=45°，∠ACB=60°，则AB两点距离是（ ）

A．33kmB．10−22kmC．15−52kmD．22km
二、填空题
5．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约
为 米（四舍五入，保留整数.参考数据：2≈1.414，3≈1.732）.
6．某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15°,∠BDC=135°,CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB= m.
7．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．已知飞机在A点时，测得∠MAN=∠BAN=30°，在B点时，测得∠ABM=60°，∠NBM=75°，AB=2千米，则MN= 千米．
8．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=50m，则山高MN= m．
9．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小，AB=6cm,AC=10cm,∠BCM=π3，则tanθ的最大值是 .（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）
参考答案
1．B
【详解】如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意知AM=8×1560=2,BN=12× 1560=3,MB=AB−AM=3−2=1，所以由余弦定理，得MN2=MB2+BN2−2MB× BNcs120°=1+9−2×1×3×−12=13，所以MN=13km.
故选：B.
2．A
【详解】因为∠ACB=45°，∠CAB=105°,所以∠ABC=180°−45°−105°=30°，
在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,即ABsin45°=50sin30°，解得AB=502.
所以A，B两点的距离为502m.故选：A.
3．A
【详解】在△ABC中，由∠ABC=75°,∠BAC=45°，得∠ACB=60∘，sin75∘=sin(45∘+30∘)=22×32+22×12=6+24，由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，即AC=30×6+2432=5(32+6)，
因此△ABC边AB上的高为ACsin∠BAC=5(32+6)×22=15+53，所以该河流的宽度是15+53米.故选：A
4．C
【详解】在△ACD中，∠CAD=75°，sin75°=sin(45°+30°)=22×32+22×12=6+24，
由正弦定理可得AC=CD⋅sin60°sin75°=32−62，在△BCD中，∠CBD=45°，BC=CD⋅sin30°sin45°=22，
在△ABC中，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs60°=5(4−23)4，可得AB=5(3−1)2=15−52．
故选：C．
5．26
【详解】△AOB中，△OAB=60°，△ABO=45°,AB=36.所以△AOB=105°.
在△AOB中，运用正弦定理，可得ABsin∠AOB=AOsin∠ABO，代入值求得AO=36×sin45°sin105°=36×sin45°sin(60°+45°)=36(3−1)≈26，由于△AOP为等腰直角三角形，则PO=OA=26，则此塔的高度约为26米.故答案为：26.
6．206
【详解】因为在△BCD中，CD=20m，∠BDC=135°，∠BCD=15°，所以∠CBD=180°−135°−15°=30°，由正弦定理得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即2012=BC22，解得BC=202m，
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，所以AB=BCtan60°=206m，故塔高AB=206m.
故答案为：206.
7．6+2
【详解】由题意可得△ABM是等边三角形，BM=2千米.记直线AN与直线BM的交点为O，
∠AOB=180°−∠BAN−∠ABM=90°，所以AN⊥BM，O为BM的中点，所以△BMN为等腰三角形，由cs75°=cs45°+30°=6−24，所以BN=MN=OBcs∠NBM=6+2千米.
故答案为：6+2.
8．752
【详解】在△ABC中，因∠CAB=30°,∠ABC=90°,BC=50m，则AC=50sin30°=100m，
在△AMC，∠MAC=75°,∠MCA=60°，则∠AMC=45°，
由正弦定理可得AMsin∠ACM=ACsin∠AMC，即AMsin60°=100sin45°，解得AM=506m，
在Rt△AMN中，∠ANM=90∘，∠MAN=60°，则MN=AM⋅sin∠MAN=506×32=752(m)．所以山高MN为752m.故答案为：752.
9．533
【详解】过点P在平面BCM内作直线BC的垂线，垂足为点D，如图，

则由仰角的定义得∠PAD=θ ，由题意BC=AC2−AB2=102−62=8 ，设CD=x x>0，则PD=CDtan∠BCM=3x ，当点D与B不重合时，在Rt△ABD 中，AD=AB2+BD2=62+8−x2 ，当点D与B重合时，上式也成立，
在Rt△APD 中，tanθ=PDAD=3x62+8−x2 =3100x2−16x+1 =310x−452+925 ，
当x=252时，tanθ 取最大值533，综上，tanθ的最大值为533.故答案为：533.