人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用习题

6.4.3.3正余弦定理应用举例-----专项检测卷

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（       ）

A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′

C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′

【答案】A

【分析】根据方向角的概念判断即可.

【详解】根据方向角的概念可知A正确．

故选：A.

2.如图，要测量某湖泊两侧A，B两点间的距离，若给出下列数据，则其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是（       ）

A．角A，B和边b

B．角A，B和边a

C．边a，b和角C

D．边a，b和角A

【答案】D

【分析】根据正余弦定理，结合选项，即可判断.

【详解】AB选项，都是两角和其中一角的对边，可求第三角，再结合正弦定理，可唯一确定三角形，C选项，已知两边和夹角，根据余弦定理，唯一确定第三边，只有选项D，

根据正弦定理，可知当已知两边和其中一边的对角时，三角形得出的结果不一定唯一，

故选：D.

3.在高40 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为（       ）

A．m B．m C．m D．m

【答案】B

【分析】根据仰角与俯角概念列式求解.

【详解】如图,由题意得这座塔的高为

，

故选：B.

4.已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（       ）

A．10km B．km C．km D．km

【答案】D

【分析】利用余弦定理解三角形即可.

【详解】由题意可知，

结合余弦定理可得，

所以，故，

所以A，C两地间的距离为，故选；D

5.唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（       ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）

A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24

【答案】A

【分析】根据给定条件求出h值，再代值计算即可得解.

【详解】依题意，，则有，

，

所以晷影长为0.14.故选：A

6.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）

A．150° B．30° C．45° D．60°

【答案】B

【分析】利用正弦定理分析计算即可

【详解】设竹竿与地面所成的角是，影子长为，由正弦定理得，

所以，因为，

所以当，即时，取得最大值，

所以竹竿与地面所成的角为时，影子最长，故选：B

7.如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（       ）

A．120km B．km C．km D．km

【答案】D

【分析】设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．

【详解】设15min后飞机到了处，则，

由题意，，

，，

，所以，所以，

从而，于是

，，

中，，

．

故选：D．

8.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.

【详解】依题意，在中，，，

，可得，

则 ，

在中，，，则，

又中，，由余弦定理可得：

则.

故塔尖之间的距离为.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（       ）

A．与 B．与 C．，与 D．，与

【答案】ABC

【分析】

由A，C在河的同一侧，故可以测量，与，由此即可得答案

【详解】

因为A，C在河的同一侧，所以可以测量，与，

故选：ABC

10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（       ）

A．14米 B．16米 C．18米 D．20米

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用余弦定理求得所求距离的表达式，结合二次函数、三角函数的知识求得距离的取值范围，从而确定正确选项.

【详解】

设改变方向的地点为，终点为，

由于，所以，，

，，

由余弦定理得

.

当时，米.

当时，，

结合二次函数的性质可知当时，

取得最小值，

，，.

结合二次函数的性质可知当或时，

取得最大值.

综上所述，，

所以BCD选项符合.，A选项不符合.

故选：BCD

11．人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（       ）

A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离

B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角

C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和

D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.

【详解】

A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．

B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．

C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；

D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；

故选：BCD.

12．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），画一条基线，测得，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出的高度的是（       ）

A．，，，

B．，，，

C．，，，

D．，，，

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据空间角的位置关系，以及边角所在的三角形，应用正余弦定理及空间角的三余弦定理，判断各选项是否可以求出的高度即可.

【详解】

A：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；

B：在△、△都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求的高度，错误；

C：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；

D：由，可得：，结合由正弦定理求，再由可求的高度，正确；

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．

【答案】

【分析】

设乙的速度为x m/s，根据正弦定理列式＝，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可.

【详解】

依题意，设乙的速度为x m/s，

则甲的速度为x m/s，

因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，

所以＝，解得AC＝1 260 m．

在△ABC中，由余弦定理得，

cos∠BAC＝＝＝，

所以sin∠BAC＝＝＝．

故答案为：.

14．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .

【答案】70

【分析】画出图形，在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.

【详解】

由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，

则李华的行走路线，如图所示，

在中，因为，

由余弦定理可得：

米，

即李华回到自家楼下至少还需走70米.

故答案为：70.

15.为测量河的宽度，在一岸边选定两个观测点和，观测对岸标记物，测得，，，则河宽为______米．

【答案】

【分析】利用正弦定理，把边化角求出，再利用正弦定理和解直角三角形求出河宽CD．

【详解】在中，，，∴∠ACB=，

由正弦定理得．

∵，∴，

作，则CD的长为河宽，

在中，，

∴，

故答案为：.

16.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，在一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若，，，，则该正方形的边长为___________.

【答案】

【分析】在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再结合题意得，进而在中，由余弦定理得，进而得

【详解】解：连接，，

在中，由余弦定理得：

，

∴，

又由正弦定理有，代入数据解得，

∴，

又∵，

∴

，

在中，由余弦定理得：

，

∴，

∴正方形边长为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC且．如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？

【解析】

【分析】

根据题意设 ，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数性质即可得到取得最小值时的值，从而得出结论.

【详解】

如图所示，设，则，

由余弦定理得：，

当时，AC取得最小值为，

即当时，第三边AC的长最短为.

18.（12分）

如图，一艘船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向上，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°方向上，求灯塔S到B处的距离（精确到，参考数据：，）．

【答案】

【分析】根据题意，计算得的值，根据正弦定理计算.

【详解】在中，，，，由正弦定理得，，即，所以灯塔S到B处的距离为

19.（12分）

如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8 m，高2.5 m，房门的宽为1.2 m，高为2.2 m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（，，）

【答案】.

【分析】根据题意，只需，结合已知条件，求得，以及的最大值，即可求得的最大值.

【详解】根据题意，要顺利通过房门，只需，

又，

故，则

又，则，

又，故.

故衣柜的倾斜度要在以下，才能顺利通过房门.

故答案为：.

20.（12分）

如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得，，，，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．

【答案】km

【分析】由题意，先计算得，，，由正弦定理计算，再由余弦定理计算

【详解】∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°

在△ADC中由正弦定理得：

∴

在△CDB中由正弦定理得：

∴

在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×ABcos∠ADB＝2+9﹣2××3×＝5

∴AB＝km

答：A、B两点间的距离为km

21.（12分）

如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为，平行四边形ABCD的顶点C在扇形弧上，D在半径OQ上，A，B在半径OP上，记平行四边形ABCD的面积为S，．

(1)用表示平行四边形ABCD的面积S；

(2)当取何值时，平行四边形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积．

【答案】(1)；

(2)当时，取得最大值.

【分析】（1）过点作交于点，在中可得，在中由正弦定理可得，然后可得答案.

（2）根据正弦函数的知识可得答案.

(1)

过点作交于点，

在中，，所以

在中，，所以

由正弦定理可得，所以

所以

(2)

因为，所以

所以当即时，取得最大值

22.（12分）

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.

(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？

【答案】(1)1040m(2)(3)

【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得.

（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值.

（3）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围.

(1)

由题意，，

在中，，

由正弦定理，得.

所以，索道AB的长为1040m.

(2)

假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，

此时甲行走了，乙距离A处，

由余弦定理得

，

因为，即，

则当时，甲、乙两游客之间距离最短.

(3)

由正弦定理，得，

乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，

设乙步行的速度为，

由题意得，

所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，

乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.