数学必修 第二册6.4 平面向量的应用同步测试题

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6.4.3.3正余弦定理应用举例

本节课知识点目录：
1、 求角度；
2、 求距离。
3、 仰角与俯角
4、 求高度
5、综合
-----典例精讲




一、正余弦定理应用1：求角度
方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)


【典型例题】
【例1】今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.
【详解】如图，中，，，，，

由正弦定理得，
所以船与岛的最近距离：
故选：C.
【例2】．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.

【答案】
【分析】先利用勾股定理分别求得，进而利用余弦定理求得结果
【详解】如图，作∥交于，交于，则
,
,
，
在中，由余弦定理得
,
故答案为：


【例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，

则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
【例4】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】利用余弦定理直接求解即可
【详解】依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
故选：B

二、正余弦定理应用2：求距离
【典型例题】
【例1】如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（       ）

A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
【答案】C
【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.
【详解】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.故选：C
【例2】如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于西偏北，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北方向，则A，B两亭子间的距离为（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】由条件解求，在中利用正弦定理解求，在中利用余弦定理求AB，由此可得A，B两亭子间的距离.
【详解】由题意，可得，
∴   ．在等腰直角中，
∴   ，．在中，由正弦定理得，解得．连接AB．
在中，由余弦定理可得，
解得，即A、B两个亭子之间的距离为米．
故选：C.
【例3】如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（       ）

A．6（3+）m B．6（3-）m
C．6（3+2）m D．6（3-2）m
【答案】B
【分析】在Rt△BCD中，根据∠CBA＝60°，用BD表示出CD，在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，得到CD＝AD，根据AD+BD＝12，求出BD，计算出CD，得到答案．
【详解】在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，∵tan∠CBD＝，∴CD＝BD•tan∠CBD＝BD，
在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，则CD＝AD，∵AB＝AD+BD＝12，
∴BD+BD＝12，
解得BD＝6﹣6，CD＝BD＝18﹣6．故选：B
【例4】某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以海里／时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（       ）海里
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】易知，先在中，利用正弦定理求得BC，再由 求解.
【详解】如图所示：

由题意得：，，，
则，，
在中，由正弦定理得：，
所以，
所以，
故选：C
【对点实战】
1.某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（       ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
【答案】B
【分析】根据题设条件画出图形，结合图形利用余弦定理计算即得.
【详解】如图，在中，，

由余弦定理得：，
所以A处与C处之间的距离为千米.
故选：B
2.2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
【答案】70
【分析】画出图形，在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.
【详解】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，
则李华的行走路线，如图所示，
在中，因为，
由余弦定理可得：
米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米.
故答案为：70.
3.已知A船在灯塔北偏东85°且A到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为__________．
【答案】
【分析】根据题意画出图像，求出，根据余弦定理可得|AB|．
【详解】解：

依题意可得，
在三角形中，由余弦定理可得：，
．故答案为：

三、正余弦定理应用3：俯角与仰角
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)


【典型例题】
【例1】在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知AB=a，，则此塔的高CD为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在中用正弦定理求出线段BC长，再在直角中即可求出线段CD长.
【详解】在中，，，如图，

由正弦定理得：，
在中，，，如图，

则有，
所以塔高CD为.
故选：B
【例2】如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知此山的高，小车的速度是，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析出、均为直角三角形，求出、的长，计算出的长，再利用余弦定理可求得的值.
【详解】由题意，得平面，、平面，故，，
所以，、均为直角三角形，且，，
由，可得，．
因为，所以．
故选：A．
【例3】如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）

【答案】
【分析】先求出，的长，再由余弦定理得出B，C两点间的距离.
【详解】图中平面，则
，
在三角形中，
故答案为：

【对点实战】
1.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出平面示意图：且，应用余弦定理求，进而求，即可求该山峰的高度.
【详解】由题设，若且，

∴，
∴由余弦定理知：，又，
∴，则，
∴该山峰的高度米.
故选：B
2.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.

【答案】750
【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出
【详解】在中，，所以，
在中，，则，
由正弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，故答案为：750

四、正余弦定理应用4：求高度
【典型例题】
【例1】如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（       ）


A．米 B．米
C．10米 D．5米
【答案】B
【分析】结合图形由余弦定理可得答案.
【详解】设，则，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，解得或（舍），
故选：B.
【例2】如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（       ）

A．20（）m B．m
C．m D．10（）m
【答案】C
【分析】在直角三角形中表示出，然后由余弦定理求解．
【详解】由已知，得，则在中，由余弦定理，得，即，得.
故选：C．
【例3】如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中，利用正弦定理，结合题干数据，即得解
【详解】，
，．
由正弦定理得，即，
可得．
所以山的高度为
故选：A．
【对点实战】
1.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求树的高度，需求的长度，要求的长度，在中利用正弦定理可得.
【详解】解：在中，
又由正弦定理得：，

树的高度为
故选：C.
2.如图，在离地面高100的热气球M上，观测到山顶C处的仰角为､山脚A处的俯角为，已知，则山的高度BC为___________.

【答案】
【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，由此求得.
【详解】依题意可知三角形是等腰直角三角形，
所以，
，，
由正弦定理得，
所以.
故答案为：
五、正余弦定理应用5：综合
【典型例题】
【例1】为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．

(1)若，求护栏的长度（的周长）；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
【答案】(1)(2)(3)时，的面积取最小值为
【分析】（1）先根据题干条件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设，利用和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到面积关于的关系式，求出最小值.
(1)∵，，，∴，∴，∴，∴，
在中，由余弦定理可得：
，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；
(2)
设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，
由，得，所以，即；
(3)设（），由（2）知，，
中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以
，所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为.
【例2】．如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.

(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的最小面积分别设为，，则和哪一个更小？
【答案】(1)百米(2)答案见解析.
【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得连廊的长；
（2）分别表示出方案②和方案③的面积，利用三角函数求最值以及二次函数求最值即可.
(1)解：点是等腰三角形的顶点，且，
且由余弦定理可得：
解得：又在中，，
在中，由余弦定理得解得，
连廊的长为百米.
(2)解：设图②中的正三角形的边长为，，（）
则，，设，可得

在中，由正弦定理得：，即
即化简得：
（其中，为锐角，且）

图③中，设，平行，且垂直
，，，
，
当时，取得最大值，无最小值，
即
即方案②面积的最小值大于方案③面积的最大值
方案③面积的最小值不存在，但是方案③的面积均小于方案②.
【例3】．依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域建成生态园林城，，，，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，km．

（1）求道路的长度；
（2）如图所示，要建立一个观测站，并使得，，求两地的最大距离．
【答案】（1）km；（2）km.
【分析】（1）先利用余弦定理，可得，再在中，由，即得解；
（2）设，在中，利用正弦定理可得，，再利用，可得，利用三角恒等变换化简结合，即得解.
【详解】
（1）连接，由余弦定理可得，所以，

由，，所以，因为，所以，
在中，，所以，解得，
即道路的长度为；
（2）设，在中，由正弦定理可得，
所以，因为，所以，
所以，，则，
所以，
因为，所以，
所以当，即，取最大值为，
故两地的最大距离为．
【例4】．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.

（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记为，为，求的值.
【答案】（1）2，18平方（2）
【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；
（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.
【详解】
（1）因为，且角为钝角，所以.
在中，由余弦定理得，，
所以，即，
解得或（舍），
所以小岛与小岛之间的距离为.
∵，，，四点共圆，∴角与角互补，
∴，，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴.解得（舍）或.
∴
.
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.
（2）在中，由正弦定理，，即，解得
又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，
所以，又因为，，
所以.
【例5】．现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.

（1）求出所有可能的三角形的面积；
（2）如图，已知平面凸四边形中，，，，.
①求满足的数量关系；
②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值.
【答案】（1），；（2）①；②，.
【分析】
（1）先根据三角形两边之和大于第三边可知所有可能的情况有两种，再分别利用余弦定理求解其中一个内角的余弦，进而得出内角正弦，利用三角形面积公式求解面积即可
（2）①连接，再分别列出和中的余弦定理即可；
②根据可得，再结合①中的，结合三角恒等变换分析的最值即可
【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为、
当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，，
当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，，
（2）①连接，由余弦定理知
∴，∴∴

②
∴
又∵，∴，
∴
故



当且仅当，取得最大值，
此时，，∴，，