人教版（2024）九年级下册27.1 图形的相似同步达标检测题

这是一份人教版（2024）九年级下册27.1 图形的相似同步达标检测题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，一张矩形纸片ABCD的长，宽将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a： )
A．2：1B．2：1C．3：3D．3：2
2．如图，，下面等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．边数相同的两个正多边形相似
B．边数相同且对应角相等的两个多边形相似
C．边数相同且对应边成比例的两个多边形相似
D．边数相同、周长相等且对应角相等的两个多边形相似
4．如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
7．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
8．过的顶点的两条直线分三角形边上的中线所成的比，则这两条直线分边所成的比为（ ）
A．4:5:3B．3:4:2C．2:3:1D．1:1:1
9．如图，下列几组图形相似的是（ ）
A．①③B．③④C．①②D．①④
10．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36cmB．13.6cmC．32.386cmD．7.64cm
11．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A．B．C．D．
12．彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（ ）
A．（2n﹣1，2n）B．（2n﹣，2n）
C．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
二、填空题
13．已知三条线段的长分别是，和，则再加一条 的线段，才能使这四条线段成比例．
14．相似图形：
①定义：形状相同的图形叫做 ．
②性质：两个图形相似是指它们的形状相同，与他们的 无关．
全等图形与相似图形的联系与区别：全等图形是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
15．如图，，如果，那么 ．
16．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高．将△ADC绕点D顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，点C的对应点为点．在旋转过程中，当点落在直线EC上时，的长为 ．
17．两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，如果它们的面积之和是，则较小的五边形面积是 ．
三、解答题
18．如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
（1）若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长；
（2）若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长．
19．已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
20．已知x：y＝2：3，求：
（1）的值；
（2）若x+y＝15，求x，y的值．
21．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD=20，求BG的长；
（2）求的值．
23．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求: 的值；
（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．
24．如图，，，，点、分别在、上，且，设到、的距离为、，则有：
（1）当时，有；当时，有；
当时，有；当时，有；
当时，有；当时，有；
（1）当时，有______；当时，有______；（，均为正整数）
（2）猜想当时，有______，并证明你的猜想．
《27.1图形的相似》参考答案
1．B
【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可．
【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴，即，
∴a∶b＝.
所以答案选B.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，，然后根据比例的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
∴，，
∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE；CE•BF=AE•DF．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．A
【分析】根据相似多边形的概念：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，进行逐个判定，A正确，B、C、D错误.
【详解】A选项，边数相同的两个正多边形对应角相等，对应边成比例，相似，故A项正确；
B选项，矩形和正方形的边数相同且对应角相等，但矩形和正方形不相似，故B项错误；
C选项，菱形和正方形边数相同且对应边成比例，但菱形和正方形不相似，故C项错误；
D选项，由周长相等的矩形和正方形不相似，易知D项错误.
故选A.
【点睛】此题主要考查相似多边形的性质，熟练掌握，即可解题.
4．B
【详解】试题分析：根据比例的基本性质，可知B正确.
故选：B.
5．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可．
【详解】解：∵∥，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵∥，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键．
6．D
【分析】本题考查了成比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断是解题的关键．
【详解】解：A、，不成比例，故不符合题意；
B、，不成比例，故不符合题意;
C、，不成比例，故不符合题意；
D、，成比例，故符合题意；
故选D．
7．D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
8．B
【分析】根据AD是中线得点D是中点，过点D作DM∥AC交BG、BH于点N、M，则N、M也是边BG与边BH的中点，然后根据平行线分线段成比例定理列式求出AG与AC的关系，CH与AC的关系，再求出GH与AC的关系，然后即可求出AG：GH：HC的比值．
【详解】如图，过点D作DM∥AC交BG、BH于点N、M，
∴，，
∵AE：EF：FD=4：3：1，
∴，，
∴DN=AG，DM=AH，
又∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴点N是BG的中点，点M是BH的中点，
∴DN=CG，DM=CH，
∴AG=CG，CH=AH，
∵AG+CG=AC，CH+AH=AC，
∴AG=AC，CH=AC，
∴GH=AC-AG-CH=AC-AC-AC=AC，
∴AG：GH：HC=AC：AC：AC=3：4：2．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线等于第三边的一半的性质，作出平行线，用AC表示出AG、GH、HC是解题的关键，本题难度较大，灵活性较强，是道不错的好题．
9．C
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，以选项一一分析，排除错误答案．
【详解】①形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
②形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
③形状不同，不符合相似定义，故错误；
④形状不同，不符合相似定义，故错误.
故①②正确，
故选C.
【点睛】此题考查相似图形，解题关键在于掌握其性质定义.
10．A
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金比例的应用，掌握黄金比例的比值是解题的关键．
11．C
【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．
【详解】如图，
可假设，
∵
∴，故A选项错误，
，故D选项错误；
反过来，当时，不能得到，故B选项错误；
当时，能得到，故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
12．A
【分析】根据矩形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求出的坐标，然后求出的坐标，...，最后根据点的坐标特征的变化规律写出的坐标即可.
【详解】，
相似矩形的长是宽的倍，
点的坐标分别为，
，
点在直线上，
，
解得，
，
点在直线上，
，
点的坐标为，
点的横坐标为，
点，
…,
的坐标为.
故选：.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点的系列坐标判断出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点的系列坐标的变化规律是解题的关键.
13．或或
【分析】运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式中的任何一项，进行计算即可．
【详解】解：设所加的线段是x，则得到：
或或
解得：或x=8或2
故答案为或x=8或2．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论．
14． 相似图形 位置
【解析】略
15．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.
【详解】解：∵，∴，即，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，属于基本题型，熟练掌握该定理是解题关键.
16．或
【分析】分两种情况进行讨论，当点落在点C右侧时，当点落在点E左侧时，过点D作交于点，根据勾股定理，中位线定理，平行线分线段成比例定理求出和的长度即可得出答案．
【详解】解：当点落在点C右侧时，过点D作交于点，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴根据等边三角形三线合一可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将△ADC绕点D顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴；
当点落在点E左侧时，过点D作交于点，
同理可得，，
∴ ，
故的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关基础知识，熟练运用相关定理是解本题的关键．
17．10
【分析】根据相似多边形的性质：面积的比等于相似比的平方，即可解决．
【详解】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n，
则，
∴．
根据面积之和是，得：．
解得：，
故答案为；10．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．
18．(1)；(2)．
【详解】试题分析：（1）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF即可．
试题解析：（1）∵a∥b∥c，
∴，即，
解得；
（2）∵a∥b∥c，
∴，
∴，
解得．
考点：平行线分线段成比例．
19．(1)见解析；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．
【详解】（1）、
补全图形如下图所示：
（2）证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴，即．
∴AC∶AB=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（1）-2；（2）x＝6，y＝9
【分析】（1）结合题意，设x＝2k，y＝3k，代入代数式计算，即可得到答案；
（2）由（1）得x＝2k，y＝3k，结合x+y＝15，可计算得k的值，从而得到答案．
【详解】（1）由x：y＝2：3，设x＝2k，y＝3k
2；
（2）由（1）可知，x＝2k，y＝3k
∵x+y＝15
∴2k+3k＝15
∴k＝3
∴x＝6，y＝9．
【点睛】本题考查了比例、一元一次方程、分式的知识；解题的关键是熟练掌握成比例线段、一元一次方程和分式的性质，从而完成求解．
21．
【详解】【分析】设AD＝x.根据正方形性质和相似多边形性质，可得＝，即＝，求解即可.
【详解】解：由题意知，四边形ABEF是正方形．设AD＝x.
∵AB＝1，∴FD＝x－1，FE＝1.
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
解得x1＝，x2＝ (舍去)，
经检验x＝是原方程的解且符合题意，
∴AD＝.
【点睛】本题考核知识点：相似多边形，正方形. 解题关键点：理解相似多边形性质.
22．(1)8;(2)
【分析】（1）由GF∥BC，可证，结合，整理可求出的值；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∥CD，AB=CD，从而，整理可求出，根据比例的性质可求出的值.
【详解】(1) ∵GF∥BC，
∴，
∵BD=20，，
∴ ；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
23．（1）;（2）6.
【分析】（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.
(2)根据黄金比值是计算即可．
【详解】（1）∵
即
化简得x2+x=5
∴=-x2-x+4=-5+4=-1
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB=2()cm,
则AC＝4−2（）＝6.
【点睛】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.
24．（1） , ，证明详见解析；（2），证明详见解析．
【分析】作DN⊥AB于N，交EF于M作DH∥BC，分别交EF、AB于G、H点，如图，利用平行线的性质得到DM⊥EF，则DM=d1，MN=d2，CD=GF=BH，所以AH=AB-CD=a-b，EF=EG+CD=EG+b，
（1）当时，根据平行线分线段成比例定理可得=，则EG=（a-b），由EF=EG +GF即可求解；当时，=，求出EG，由EF=EG +GF即可求解；
（2）当时，根据平行线分线段成比例定理可得=，则EG=（a-b），由EF=EG +GF即可求解．
【详解】解：作DN⊥AB于N，交EF于M，作DH∥BC，分别交EF、AB于G、H点，
∵，，
∴EF∥CD∥AB，
∴DM⊥EF，DN⊥CD，
∴DM=d1，MN=d2，
∵DC∥GF∥BH，DH∥BC，
∵CD=GF=BH，
∴AH=AB-CD=a-b，EF=EG +GF =EG+CD=EG+b，
（1）当时，
∵EG∥AH，
∴=，
∴EG=（a-b），
∴EF =EG+b =（a-b）+b=；
当时，
∵EG∥AH，
∴=，
∴EG=（a-b），
∴EF =EG+b =（a-b）+b=；
（2），
证明：∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
A
D
D
B
C
A
题号
11
12








答案
C
A