初中数学人教版（2024）九年级下册27.1 图形的相似复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级下册27.1 图形的相似复习练习题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（ ）
A．两个等边三角形B．有一个角是35°的两个等腰三角形
C．两个正方形D．两个圆
3．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，与相交于点H，若，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．《几何原本》中有一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形，取AD的中点E，连结，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是（ ）

A．B．C．D．不能确定
5．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个梯形
C．两个等腰三角形D．两个等边三角形
7．已知点是线段的黄金分割点（），，那么的长约为（ ）
A．0.618B．1.382C．1.236D．0.764
8．如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（ ）
A．B．C．D．
9．若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，则线段d的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．6cm
10．以下四组线段，成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在平行四边形中，分别是的中点，分别交，于点，．给出下列结论中：①；②； ③；④，正确的是（ ）
A．②③B．③④C．①②③D．②③④
12．下列四条线段能成比例的是( )
A．a=4， b=6， c=5，d=10B．a= ，b=3，c=2，d=
C．a=2，b= ，c= ，d=D．a=1，b=2，c=3， d=4
二、填空题
13．若，则 ．
14．如图，中，点D，E分别为中点，，则 .
15．我校设有三个校区，杨老师欲从槐北路校区步行去槐安路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
16．如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．

17．如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是46厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
三、解答题
18．（1）解不等式．
（2）如图，在中，D、E在边上，，，，，求的长度．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），A（4，0）．
(1)画出将△OAB绕原点逆时针旋转后所得的，并写出点（A的对应点）、的坐标；
(2)若点B、关于某点中心对称，则对称中心的坐标为______．
(3)连接交y轴于C，直接写出的面积．
20．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
21．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______；
(2)补全研究报告中“……”部分的内容；
(3)由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”）
22．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答）
23．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点,以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC=AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF．
（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若AF：BC=3：8，BE=4，求⊙O的直径．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了相似图形的定义，理解相似图形的形状相同是解答本题的关键，本题中只要判断两个图形的形状是否相同，即可得到答案．
【详解】A．两图形形状不同，不符合题意；
B．两图形形状相同，符合题意；
C．两图形形状不同，不符合题意；
D．两图形形状不同，不符合题意．
故选：B．
2．B
【详解】选项A,B,D中形状都相同，选项B中35°可能是底角，也可能是顶角，所以不一定相同.选B.
3．A
【分析】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质．根据可得，再代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了正方形的性质，线段的黄金分割，熟记正方形的性质是解答此题的关键．
根据正方形的性质及黄金分割的定义的得，进而得到．
【详解】解：由题意得，，
∵是线段AB的黄金分割点，
∴，
∵，
∴．
故选：C ．
5．C
【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据比例的性质得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．
【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意；
因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意；
因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意；
因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】根据黄金分割点的定义，由题意知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可．
【详解】解：∵线段AB=2，点是线段的黄金分割点（），
∴AP=AB=≈1.236
故选：C
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
8．D
【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键．
【详解】解：根据题意得，
∵，
∴，
∵物体A的质量为，
∴，
故选：D
9．C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb，
代入a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，
解得：d=5.
故线段d的长为5cm.
故选：C.
【点睛】本题主要考查成比例线段，解题突破口是根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入计算.
10．A
【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．
【详解】A、因为2：4=3：6，则是比例线段，所以A选项正确；
B、因为2：6≠4：8，则不是比例线段，所以B选项错误；
C、因为4：6≠3：5，则不是比例线段，所以C选项错误；
D、因为4：6≠6：8，则不是比例线段，所以D选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
11．C
【分析】先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线定理、平行线分线段成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由，不难发现④错误．
【详解】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，
∴∠BAM=∠DCN，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠AMB=∠EMN=∠FNM=∠CND，
在△ABM和△CDN，
∴△ABM≌△CDN（AAS），故①正确；
∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，
∴NF∥BM，
∵F为BC的中点，
∴NF为三角形BCM的中位线，
∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，
∴AM=AC，DN=2NF，
S△AMB=S△ABC
故②③正确，④错误；
综上所述，正确的结论是：①②③，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、及平行四边形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．注意，三角形中位线定理的应用．
12．C
【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c:d.只要代入验证即可.
【详解】解：A.4：6≠5：10，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；
B. ：3≠2：，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；
C.2：＝：，则a：b＝c：d，即a，b，c，d不成比例；
D.1：2≠3：4，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；
【点睛】本题主要考查了成比例的定义，关键在于理解线段成比例时，各个线段的顺序.
13．
【分析】本题考查求代数式的值，先用含a的式子表示b，再代入化简即可．解题的关键是掌握比例的基本性质：如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】连接DE，过点Q作BC的平行线，分别交AB、AC于点M、N，由中位线定理可知，且，进而可证明；再根据、可证明，因为D为中点，即有，则，即可得出，之后借助“平行线分线段成比例”可得；设，则，可有，解得，然后求出，即可获得最终答案．
【详解】解：如下图，连接DE，过点Q作BC的平行线，分别交AB、AC于点M、N，
∵点D，E分别为中点，
∴，且，
∴，即，
∵，
又∵，
∴，即，
∵点D为中点，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了中位线定理以及平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线，灵活运用中位线定理以及平行线分线段成比例定理是解题关键．
15．120
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
【详解】解：实际路程为，
当比例尺为时，图示距离为，
当比例尺为时，图上距离为，
∴，
故答案为： ．
16．或
【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．
【详解】解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，
∴，，
∴
设，则，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵为等腰三角形，
当时，，
当时，
∵，
∴点与点重合，
∴，

不存在的情况；
综上：的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键．
17．
【分析】根据成比例的线段，列出比例式，代入数据可直接得出实际距离．
【详解】解：根据题意，设实际距离为，,
∴
解得：厘米千米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．
18．（1）．
（2）
【分析】(1)按照解不等式的基本步骤解答即可．
(2)根据三角形相似的判定和性质，列出比例式计算即可．本题考查了解不等式，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】(1) ，
去分母，得
，
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
．
(2)∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得,
故的长度是．
19．(1)见解析，（0，4），（－2，4）
(2)（1，3）
(3)
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点A1、B1，从而得到△OA1B1，然后写出点A1（A的对应点）、B1的坐标；
（2）连接BB1，然后写出其中点坐标即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理计算出A1C，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】（1）如图，△即为所求，点 的坐标为（0，4），点的坐标为（－2，4）；
（2）如图，点B、关于点（1，3）中心对称
（3）过B作BD⊥y轴交于点D



【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
21．(1)直径
(2)见解析
(3)会
【分析】（1）根据直角所对的弦是直径即可求解；
（2）进而得出，即可得出，进而即可求解；
（3）根据（2）的结论，即可求解．
【详解】（1）∵，∴是的直径
故答案为：直径．
（2）如图，连接，，．
∵C为的中点，∴．
∵，∴是的中位线，
∴．
∵，∴是的直径，
∴，∴，
∴．
∵，∴．
∵C为的中点，，
∴，
∴
∴，
（3）∵
∴由研究报告，可知仰视读数和俯视读数会产生误差．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线的性质，直角所对的弦是直径，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．公里
【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一．
根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里．
【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有：
：：，
解得．
答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里．
23．（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）连接CE，根据垂径定理和平行线的判定可得AD∥FG，根据CF是直径，得到∠CEF=90°，∠CAF=∠ACD=90°，AF//BC，即可得到平行四边形；
（2）首先证明，推出BG：DG=2：3，利用平行线分线段成比例定理求出AE，AC利用勾股定理求出BC，CD即可得出结论．
【详解】证明：（1）连接CE，如图所示：
∵AC=AE，
∴，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF=90°，
∴FG⊥CE，
∴AD//FG，
∵CF，AD是直径，
∴，
∴，
∴AF//BC，
∴平行四边形,
（2）∵，
∴，
∴，
∵四边形平行四边形,
∴AF=DG，
∴CD=DG，
∵AF：BC=3：8，
∴BG：DG=2：3，
∴EG//AD，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，BG：DG=2：3，
∴，，
∴，
∴的直径为．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．见解析.
【分析】依据AD∥BC，即可得出=，再根据AD∥BC，即可得到===，进而得到结论．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴=，
∵AD∥BC，
∴===，
∴=，
∴AM=MD．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
仰视、俯视读数是否有误差的数学解释
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？
通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为．
求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下：
如图，连接，，．
∵C为的中点，∴．
∵，∴是的中位线，
∴．
∵，∴是的___▲___，
∴，∴，
∴．
∵，∴．
∵C为的中点，……
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
C
C
D
C
D
C
A
题号
11
12








答案
C
C