人教版（2024）七年级下册（2024）7.1.2 两条直线垂直教案设计

这是一份人教版（2024）七年级下册（2024）7.1.2 两条直线垂直教案设计，共7页。
解题大招一 利用垂直或垂线相关的概念或性质解题
1.由垂直形成的角是直角（90°）结合对顶角或邻补角的性质解题
例1 如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，且OD平分∠BOE，则∠AOD的度数是（ D ）
A.120° B.125°
C.130° D.135°
解析：因为OE⊥AB，所以∠BOE=90°.因为OD平分∠BOE，所以∠BOD=∠BOE=45°.由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-45°=135°.故选D.
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O.若∠DOE:∠BOE=1:3，则∠AOC的度数为60°.
解析：因为EO⊥AB，所以∠BOE=90°.因为∠DOE∶∠BOE=1:3，所以∠DOE=30°.所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=90°-30°=60°.由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=60°.
2.垂线的性质的应用
例3 如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ C ）
A两点确定一条直线
B在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D两点之间，线段最短
3.点到直线的距离的判断
点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.
例4 已知P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离不可能是（ D ）
C.2cm D.4cm
解析：2＜4＜5，由垂线段最短可知，当PC⊥l时点P到直线l的距离为2cm，当PC与l不垂直时点P到直线l的距离小于2cm，因此点P到直线l的距离小于或等于2cm.故选D.
解题大招二 “垂线段最短”的实际应用
生活中往往会遇到“垂线段最短”问题，解题时正确理解这一性质是关键.垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言的.
例5 如图①，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？请说明依据.
解：（1）如图②，因为“两点之间，线段最短”，所以连接AD，BC交于点H，则点H为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小.
（2）如图②，过点H作HG⊥EF，垂足为G，沿线段GH开渠最短，依据是“垂线段最短”.
培优点 解决与垂直相关的稍复杂几何图形问题
例1 如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数（用含α的式子表示）.
解：（1）由邻补角的定义，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-40°=140°.
因为OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.
由对顶角相等，得∠DOE=∠COF=70°.
因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°.
所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=70°-50°=20°.
（2）由邻补角的定义，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-α.
因为OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=90°-α.
由对顶角相等，得∠DOE=∠COF=90°-α.
而∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°-α-(90°-α)= α.
例2 如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.
（1）若∠BOC=40°，请依题意补全图形，并求∠BOE的度数；
（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的式子表示）.
解：（1）补全图形如图所示.
因为OA⊥OB，所以∠AOB=90°.
因为OD平分∠BOC，∠BOC=40°，所以∠COD=∠BOD=∠BOC=×40°=20°.
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+20°=110°.
因为OE平分∠AOD，所以∠DOE=∠AOD=×110°=55°.
所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=55°-20°=35°.
（2）∠BOE=45°-α.
解析:同（1）可得∠COD=∠BOD=α，∠AOD=α+90°，∠DOE=∠AOD=α+45°，则∠BOE=∠DOE-∠BOD=α+45°-α=45°-α.教学目标
课题
7.1.2两条直线垂直
授课人
素养目标
1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离.
教学重点
掌握垂直中角度和位置的双重含义；理解垂线的基本事实并会利用所学知识进行简单的推理；理解“垂线段最短”，并能运用于生活实际.
教学难点
过直线上（外）一点作已知直线的垂线，对点到直线的距离的理解.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：回顾旧知，新课导入
【回顾导入】
在前面我们学习了两条直线相交形成的四个角，这四个角形成了4对邻补角和2对对顶角.大家还记得邻补角和对顶角的定义吗？
如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线有怎样的特殊关系？下面的图片是日常生活中存在这种关系的一些实例.今天我们就来研究这个问题.
【教学建议】
教师带领学生回顾相交线的知识，以所成角的特殊情况引入对垂直的探究.
设计意图
回顾相交线所成的角，以生活实例引入垂直的概念.
活动二：问题引入，自主探究
探究点1 认识垂线和垂直
问题 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化.在b转动的过程中，当∠α=90°时，木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？
其他三个角的度数都是90°.
概念引入：
一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”.
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
【教学建议】
学生动手探究两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相
设计意图
通过对相交线模型的探究，引入垂线的相关知识.
教学步骤
师生活动
由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直.如图，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.这个推理过程可写成什么形式？
因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.
反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程.
因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°.
这说明垂直的定义具有双重含义.
请找出“活动一”图片中互相垂直的直线.
学生自行回答即可.
【对应训练】
1.教材P6练习第1题.
2.如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（ C ）
A.40° B.45° C.50° D.55
垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.
设计意图
探究点2 垂线的基本事实(垂线的性质1)
问题 如图，现有一条已知直线l，用三角尺或量角器分别过直线上一点A和直线外一点B，画l的垂线，这样的垂线你能画出几条？
通过实际操作，我们得出：经过直线上一点能画 1 条直线与已知直线垂直；经过直线外一点能画 1 条直线与已知直线垂直.
归纳总结：将上述结论合并在一起，我们得到关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
例1 （教材P5例2）如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
解：如图所示.
【对应训练】
1.下列说法正确的有 （ B ）
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知
【教学建议】
学生独立思考并动手操作，教师总结常规画法.画垂线的方法多种多样，对于学生使用的其他正确的方法，教师应予以肯定与鼓励.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可以在线段（射线）上，也可以在线段的延长线（射线的反向延长线）上.
通过回顾垂线的画法，引入对垂线性质的探究.
教学步骤
师生活动
直线垂直；
③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；
④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.教材P6练习第2题.
设计意图
探究点3 垂线的性质2——垂线段最短
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
对于这个问题，我们可以将其简化为求点P到直线l的最短路线.
对此，我们进行如下探究：如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O.A是直线l上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？
PO的长度小于PA的长度.改变点A的位置后，测量各线段的长度，比较得出：线段PO的长度最短，即当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是过点P作直线l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.
归纳总结：如果我们规定，当PO⊥直线l时，线段PO为点P到直线l的垂线段，即可得出如下结论（垂线的性质2）：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
问题1 我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形有什么区别与联系？
垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.
问题2 以前我们学习过两点之间的距离，大家还记得怎样才能得到两点之间的距离吗？
测量连接两个点的线段的长度.
问题3 类比两点之间的距离，一个点到一条直线的距离又该如何确定？
确定点到直线的距离，应该测量点到直线的垂线段的长度.
概念引入：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
【对应训练】
1.现在，你知道本探究点中如何挖渠能使渠道最短吗？
解：应从点P处向河岸作垂线，这样得到的垂线段即为最短的渠道.
2.教材P6练习第3题.
【教学建议】
教师先引导学生将实际问题抽象成几何图形，然后通过图形探究垂线的性质，得出结论，最后可让学生举例说明“垂线段最短”在日常生活中的应用.
教师也可以利用几何画板构图，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系，让学生有更直观地感受.
对于“点到直线的距离”应强调说明：距离指的是长度，是一个数量，而垂线段是图形，两者不能混淆.
以实际生活问题为例，引出垂线段及点到直线的距离的概念并探究其性质.
教学步骤
师生活动
活动三：重点突破，提升探究
例2 如图，直线AB,CD相交于点O，MO⊥AB于点O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数.
解：(1)因为MO⊥AB,所以∠AOM=90°.
所以∠1+∠AOC=90°.
又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.
所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.
(2)由已知条件∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,
所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.
由邻补角的定义，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.
【对应训练】
如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于点O.
（1）若∠COF=50°，求∠COE的度数；
（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度数.
解：（1）因为FO⊥AB，所以∠AOF=90°.
因为∠COF=50°，
所以∠AOC=∠AOF-∠COF=90°-50°=40°.
由邻补角的定义，得∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.
因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.
所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.
（2）因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.
又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.
因为∠AOD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=36°.
由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，
所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°.
【教学建议】
学生独立思考作答，教师统一答案.教师应提醒学生注意：垂直和直线夹角成90°是相互对应的关系，但两者存在一定的区别，垂直是两条直线的位置关系，90°是角的度数.
设计意图
利用垂直的定义，结合邻补角、对顶角等知识解决角度问题.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是垂线？如何用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线？垂线的基本事实是什么？
2.“垂线段最短”和点到直线的距离的含义是什么？垂线段和垂线之间有哪些区别和联系？
教学步骤
师生活动
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P8习题7.1第2，3，4，6，8题.
2.相应课时训练.
板书设计
7.1.2 两条直线垂直
1.垂直及垂线的相关概念.
2.垂线的画法：①靠；②过；③画.
3.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.垂线的性质2——垂线段最短.
5.点到直线的距离：垂线段的长度.
教学反思
本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直，可类比前面两条直线相交时的一般情况学习新知识.之后复习垂线的画法来探究过一点画已知直线的垂线的情况，通过实际动手操作，体会垂线的存在性和唯一性.最后通过“挖渠”这一实际问题的解决过程，逐步探究得出“垂线段最短”这一性质，并明确点到直线的距离这一概念，渗透了“数学源于生活，又服务于生活”的理念.其中，应加深学生对于“垂线段最短”这一性质的理解，为后面学习三角形的高做好铺垫.