初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）第一章 整式的乘除3 乘法公式优秀课后复习题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）第一章 整式的乘除3 乘法公式优秀课后复习题，文件包含专题13乘法公式压轴题专项讲练北师大版2024原卷版docx、专题13乘法公式压轴题专项讲练北师大版2024解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
【典例1】阅读材料：若x满足9−xx−4=4，求9−x2+x−42的值．
解：设9−x=a，x−4=b，则9−xx−4=ab=4，a+b=9−x+x−4=5，
∴9−x2+x−42=a2+b2=a+b2−2ab=52−2×4=17
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足5−xx−2=2，求5−x2+x−22的值．
（2）n−20232+2024−n2=1，求n−20232024−n．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）设5−x=a，x−2=b，则可得出5−x+x−2=3=a+b，根据(5−x)2+(x−2)2=a2+b2=(a+b)2−2ab代入计算即可得出答案；
（2）设n−2023=a，n−2024=b，则可得出(n−2023)−(n−2024)=a−b=1，由a2+b2=(a−b)2+2ab，可计算出ab的值，则(n−2023)(2024−n)=−ab代入计算即可得出答案；
（3）根据题意可得，MF=x−1，DF=x−3，由已知条件可得S长EMFD=x−1x−3=15，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得S阴=S正MFRN−S正GFDH=(x−1)2−(x−3)2，设x−1=a，x−3=b，则可得出(x−1)−(x−3)=a−b=2，由(a+b)2=(a−b)2+4ab=22+4×15=64，即可算出a+b的值，由S阴=S正MFRN−S正GFDH=(x−1)2−(x−3)2=a2−b2=a+ba−b代入计算即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：（1）设5−x=a，x−2=b，
则5−x+x−2=3=a+b，5−xx−2=ab=2
∴(5−x)2+(x−2)2
=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=32−2×2
=5；
（2）解：设n−2023=a，n−2024=b，
则(n−2023)−(n−2024)=a−b=1，
∵a2+b2=(a−b)2+2ab，
∴1=1+2ab，
∴ab=0，
∵(n−2023)(2024−n)
=−(n−2023)(n−2024)
=−ab=0；
（3）解：根据题意可得，MF=x−1，DF=x−3，
∴S长EMFD=x−1x−3=15，
S阴=S正MFRN−S正GFDH=(x−1)2−(x−3)2，
设x−1=a，x−3=b，
则(x−1)−(x−3)=a−b=2，
∵(a+b)2
=(a−b)2+4ab
=22+4×15
=64，
∴a+b=8，
∴S阴=S正MFRN−S正GFDH
=(x−1)2−(x−3)2
=a2−b2
=(a+b)(a−b)
=8×2
=16．
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1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果9x2+m+1xy+y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．5B．±5C．7D．5或−7
2．（2024八年级·全国·竞赛）若x+y−2与x2y2−xy+14互为相反数，则(x−y)6的值为（ ）
A．2B．6C．8D．64
3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知a2+b2=ab+1，则代数式a2+b2+ab的值可能是（ ）
A．−1B．−12C．12D．4
4．（24-25六年级上·上海·期中）设a=x−2023，b=x−2025，c=x−2024，若a2+b2=34，则c2的值是（ ）．
A．16B．12C．8D．4
5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，那么a4+b4+c4的值是（ ）
A．6B．8C．20D．34
6．（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a，b满足12a−22+2=ba−b，则3a2+4b2+1012a−2024b+1的值是（ ）
A．65B．105C．115D．2025
7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数m，n满足m2+n2=4+3mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最小值为（ ）
A．845B．865C．885D．895
8．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）18×3+132+134+1⋅⋅⋅364+1+9的个位数字为（ ）
A．1B．3C．7D．9
9．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①(a−1)(a+1)=a2−1；②(a−1)a2+a+1=a3−1；③(a−1)a3+a2+a+1=a4−1；④(a−1)a4+a3+a2+a+1=a5−1，……，结合你观察到的规律判断22024+⋯+22+2+1的计算结果的末位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
10．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
根据规律计算： 22022−22021+22020−22019+……+24−23+22−2的值是（ ）
A．22023−23B．22023−1C．−22023
11．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有n个依次排列的整式：第1个整式是x2，第2个整式是x2−2x+1，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为m1，记m2=m1+2；将第2个整式与m2相加作为第3个整式，记m3=m2+2，将第3个整式与m3相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①m5=−2x+9；②当x=3时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则x=−4；④第2024个整式为(x−2023)2；⑤当n=100时，m1+m2+⋅⋅⋅+m100=104−200x；以上正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
12．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知a、b、c、d均为常数，e、f均为非零常数，若有两个整式
A=5x3−6x2+10=ax−13+bx−12+cx−1+d，B=x2+ex+f．下列结论中，正确的有（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；
②当多项式A⋅B乘积不含x4时，则e=6；
③a+b+c=17；
④当B能被x−2整除时，2e+f=−4；
⑤若x=2m或m−2时，无论e和f取何值，B值总相等，则m=−2．
A．①③⑤B．①③④C．③④⑤D．①③④⑤
13．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）关于xx≠0的整式xm+ax+b与xn+cx+d，令A=xm+ax+b，B=xn+cx+d，下列说法正确的有（ ）个．
①若A+B是关于x的二次整式，则m+n的值共有3种不同的可能；
②若m=4，A=x−3C，C为整式，则C中除常数项外其余各项系数和为13；
③若m=4，a=4，b=0，n=2，c=1，d=1，则A−4B的最小值为−8；
④若m=1，a=b=0，n=2，c=d=0，令A1=A+B，B1=A×B，且An=An−1+Bn−1，Bn=An−1×Bn−1n≥2，则A8+B8共有89项．
A．1B．2C．3D．4
14．（23-24七年级下·重庆·期末）在整式3a2−1，−5a2+4a，8a2−4a+19前添加“+”或“−”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： −3a2−1−−5a2+4a−8a2−4a+19=−6a2−18=6a2+18=6a2+18，则M=6a2+18，当a=1时，M的化简求值结果为：M=6×12+18=24．下列说法正确的个数为（ ）
①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数；
②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果；
③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时a=−14．
A．0B．1C．2D．3
15．（2024七年级·全国·竞赛）若x=5，y=4，且y−x=y−x，则x2+2xy+y2= ．
16．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知a，b满足a2+1b2+4=8ab，则ab+1b= ．
17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a=2024x+2023,b=2024x+2024,c=2024x+2025，则a2+b2+c2−ab−bc−ac的值为 ．
18．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若(x+1)4=ax4+bx3+cx2+dx+e，则a−b+c−d+e的值为 ．
19．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知14a2+b2+c2=(a+2b+3c)2，那么a:b:c= ．
20．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足x2+y2=1，则x4+xy+y4的最大值与最小值的和为 ．
21．（24-25七年级上·上海·期中）请同学运用计算(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，解决问题：已知x、y、z满足x2+y2+z2=5，求(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2的最大值是 ．
22．（23-24七年级下·四川成都·期中）设12+22+32+…+20232+20242被3除的余数等于m，而被5除的余数等于n，则m+n= ．
23．（2024七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ．
24．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知x2−3x+1=0，下列结论：①x+1x=3；②x2+1x2=7；③x−1x2=5；④2x3−16x+3=−2，其中正确的有 ．（请填写序号）
25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为I1，面积为S1，图2中阴影部分周长为I2，面积为S2，若S2−S1=I1−I222，则c:b的值为 ．
26．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C=411．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+y，则x+y= ；xy= ．
27．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程能验证的等式是_________；
（2）若9x2−16y2=30, 3x+4y=6，求4y−3x的值；
（3）1−1221−1321−142⋯1−19921−11002．
28．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF．
（1）若a−b=3，a2−b2=21，求a+b的值；
（2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；
（3）计算：1+12×1+122×1+124×1+128×⋅⋅⋅×1+1232．
29．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．
【问题解决】
（1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________；
（2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求a+b的值；
【拓展应用】
（3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y(x>y>0)，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积．
30．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d)，我们规定：a,b□c,d=a2+d2−bc．例如：1,2□3,4=12+42−2×3=11．

（1）若x,kx□y,−y是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y=10，且3x+y,2x2+3y2□3,x−3y=84，求xy的值；
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG，若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．
31．（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到a+b2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若x+y=3，x2+y2=5，求xy的值；
【类比应用】（2）填空：①若x3−x=1，则x2+x−32= ；
②若x−3x−4=1，则x−32+x−42= ；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若AD=16，S△AOC+S△BOD=68，求一块直角三角板的面积．

32．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形m>n，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______；
（2）观察图2，直接写出代数式m+n2，m−n2，mn之间的关系：_______
（3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题：
①已知m+n=7，mn=6，则m−n2的值为______；
②已知：4−x5−x=6，求9−2x2的值；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2=34，BE=2，求图中阴影部分面积和．
33．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形.

（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
（2）请直接写出三个代数式：(a+b)2,a2+b2 ,ab之间的一个等量关系 .
（3）若要拼出一个面积为(a+2b)a+b的矩形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张.
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5,m2+n2=20，求mn和(m−n)2的值.
②已知(x−2021)2+(x−2023)2=34，求(x−2022)2.
34．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了a+bn（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题：
（1）多项式a+b7展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______；
（2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记a1=1，a2=3，a3=6……请完成下列问题：

①计算a3+a26；
②计算1a1+1a2+⋅⋅⋅+1a50；
③请直接写出a2026−a2024的值．
35．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M=2x2−x+6与N=−2x2+x−1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式C=mx2+8x+2与D=−mx+1x+n互为“对消多项式”，“对消值”为t．若a−b=m，b−c=mn，求代数式a2+b2+c2−ab−ac−bc+2t的最小值．
36．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题：
已知x2+bx+c=0，在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c=0变形为x2=−bx−c，就可将x2表示为x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知x2+2x−4=0，求代数式x2(x+4)的值．
解：∵x2+2x−4=0，
∴x2=−2x+4，
∴原式=(−2x+4)(x+4)=−2x2−4x+16=−2(−2x+4)−4x+16=4x−8−4x+16=8，∴x2(x+4)=8．
请用“降次代换法”完成下列各小题：
（1）若x2+x−1=0，则代数式(x+4)(x−3)的值为______；
（2）若x2+2x−1=0，求代数式x3−5x+3的值；
（3）若x2+8x+1=0，求证：x4−2x2+1=60x2．
37．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读理解学习；
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式abc中任意两个字母交换位置，可得到代数bac，acb，cba，因为abc=bac=acb=cba，所以abc是对称式：而代数式a−b中字母a，b交换位置，得到代数式b−a，因为a−b与b−a不一定相等，所以a−b不是对称式．
【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）；
①a2b2②a2b+ab2③2a+b2④ab+bc+ca
【能力提升】
已知(x−a)(x−b)=x2+px+q．
①若p=4，q=−3，求对称式(a−3)(b−3)的值；
②若q=−13，求对称式3a2+3b2+a+bab的最小值．
38．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；
条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
x2+2x+5=x2+2⋅x⋅1+12−12+5=(x+1)2+4，
∵(x+1)2≥0，
∴x2+2x+5≥4（满足条件①）
当x=−1时，x2+2x+5=4（满足条件②）
∴4是x2+2x+5的下确界．
又例如：
x2+2x+5=x2+2⋅x⋅1+12−12+5=x+12+4，
由于|x|≠−1，所以x2+2|x|+5≠4，（不满足条件②）
故4不是x2+2|x|+5的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）求x2−4x+1的下确界．
（2）若代数式2x2+mx+3的下确界是1，求m的值．
（3）求代数式x2+2y2+2xy−2x−4y+10的下确界．
39．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式a±b2=a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式−x2+2x+3的最大值吗？
【初步思考】
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：−x2+2x+3=−x2−2x+3=−x2−2x+1−1+3
=−x2−2x+1+1+3=−x2−2x+1+4=−x−12+4
因为x−12≥0，
所以−x−12≤0．
所以当x=1时，−x−12的值最大，最大值是0.
所以当−x−12=0时，−x−12+4的值最大，最大值是4.
所以−x2+2x+3的最大值是4
【尝试应用】
（1）求代数式−x2+4x+10的最大值，并写出相应的x的值．
（2）已知A=2x2−4x+1，B=x2+8x−37，请比较A与B的大小，并说明理由．
【拓展提高】
（3）将一根长50cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．
40．（24-25八年级上·福建福州·期末）定义：将二次三项式x2+bx+c变形为x+m2+n的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即x+m2≥0就可以解决很多问题，例如：把多项式x2−2x+3配方为：x2−2x+3=x2−2⋅x⋅1+12−12+3=x−12+2．
（1）把多项式x2+4x+6配方成x+m2+n的形式，则m=______，n=______；
（2）若多项式A=x2+4x+6，B=x2+6x．
①证明：无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数；
②求多项式2A−B的最小值．
（3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+36