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所属成套资源：2024秋七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）
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专题1.3 新定义问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）
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这是一份专题1.3 新定义问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题13新定义问题压轴题专项讲练人教版原卷版docx、专题13新定义问题压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
【典例1】定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−−2=3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，−2，3的“分差”为−53．
（1）−2，−4，1的“分差”为______；
（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．
【思路点拨】
（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；
（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：−2−−4=2，−2−12=−32，−4−13=−53，
∵−53<−32<2，
∴−2，−4，1的“分差”为−53，
故答案为：−53；
（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−53；
②这三个数的位置为：−2，1，−4时，
则−2−1=−3，−2−−42=1，1−−43=53，
∵−3<1<53，
∴−2，1，−4的“分差”为−3；
③这三个数的位置为：1，−2，−4时，
则1−−2=3，1−−42=52，−2−−43=23，
∵23<52<3，
∴1，−2，−4的“分差”为23；
④这三个数的位置为：1，−4，−2时，
则1−−4=5，1−−22=32，−4−−23=−23，
∵−23<32<5，
∴1，−4，−2的“分差”为−23；
⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，
则−4−1=−5，−4−−22=−1，1−−23=1，
∵−5<−1<1，
∴−4，1，−2的“分差”为−5；’
⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，
则−4−−2=−2，−4−12=−52，−2−13=−1，
∵−52<−2<−1，
∴−4，−2，1的“分差”为−52；
∵23>−23>−53>−52>−3>−5，
∴这些不同“分差”中的最大值为23．
1．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）定义运算a⊗b=1a+1b，比如2⊗3=12+13=56，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗−3=16；②此运算中的字母均不能取零；③a⊗b=b⊗a；④a⊗b+c=a⊗c+b⊗c，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
2．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）定义：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=lgxN．例如：因为72=49，所以lg749=2；因为53=125，所以lg5125=3．下列说法：①lg66=36；②lg381=4；③若lg4a+14=2，则a=2；④lg264=lg232+lg22；正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．②③④
3．（2022秋·河南郑州·七年级统考阶段练习）观察下列两个等：1﹣23=2×1×23﹣1，2﹣35=2×2×35﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）
A．（﹣3，47）B．（4，49）C．（﹣5，611）D．（6，713）
4．（2022秋·四川乐山·七年级统考期中）定义两种新运算，观察下列式子：
（1）xΘy=4x+y，例如，1Θ3=4×1+3=7； 3Θ(−1)=4×3+(−1)=11 ；
（2）x表示不超过x的最大整数，例如，2.2=2；−3.24=−4；
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是 ．
6．（2022秋·全国·七年级期末）定义一种新运算“K运算”，对有理数a，b，规定：
aKb=−2a+b(ab>1)−abab=1a−2b(ab<1)，其中“K运算”的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的四则运算顺序），则−123K35K−2K−13K+9的运算结果是 ．
7．（2022秋·安徽马鞍山·七年级校考期中）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=mn+mn−n，例如：2☆3=23+2×3−3=8+6−3=11，解答下列问题：
（1）−3☆2；
（2）−1☆−5☆2．
8．（2022秋·江西上饶·七年级统考阶段练习）定义新运算：m∗n=m−nn+n−m，如3∗2=3−22+2−3=12+2−3=0．
（1）求−1∗3的值．
（2）若b=2，且a∗b+a+c+5=2，求c∗a的值．
9．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
（1）3⊕−2=___________；
（2）求−5⊕−4⊕12的值；
（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明
10．（2022秋·全国·七年级期中）对于有理数a,b，定义一种新运算“⊗”，规定a⊗b=a+b+a−b．
（1）计算3⊗−5的值；
（2）①当a,b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊗b；
②当a⊗b=a⊗c时，是否一定有b=c或者b=−c?若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
11．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
（1）探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
（2）性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
12．（2022秋·河南南阳·七年级统考阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2，例如−1⊗2⊗3=−1−2−3+−1+2+32=5．
（1）计算：4⊗−2⊗+8；
（2）计算：3⊗−7⊗+113；
（3）已知 −67，−57，⋯，−17，0，19，29，⋯，89 这十五个数中．从中任取三个数作为 a，b，c 的值，进行“a⊗b⊗c”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．
13．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
（1）2⊗6 =______，−ππ=______；
（2）求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
（3）若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
14．（2022秋·广东茂名·七年级茂名市第一中学校考期中）类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可写作2③，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）写作（－3）④，一般地把n个a相除写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝_______； −12③＝_______．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×12×12×12=122→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式：−3⑤＝______，15⑥＝_______．
（3）算一算：122÷−13④×(−2)⑥−−13⑥÷33．
15．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算|x1|，x1+x22，x1+x2+x33，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如对于数列2，−1，3，因为2=2，2+−12=12，2+−1+33=43，所以数列2，−1，3的最佳值为12．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为12；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列−5，−4，3的最佳值为_________
（2）将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为_________，取得最佳值最小值的数列为_________（写出一个即可）；
（3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
16．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A． 对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作P，即P=POPA． 例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA，所以P=1． 如图，点P1,P2,P3为数轴上三个点，点P1表示的数为−14，点P2表示的数与点P1表示的数互为相反数，点P3表示的数为2．
（1）点P2表示的数为：___________；
（2）求P1,P2,P3的值，比较P1,P2,P3的大小，并用“<”连接；
（3）若数轴上有一点M满足OM=13OA，求M．
17．（2022秋·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，−1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；
（2）点A表示数−10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：
①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．
18．（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
（1）点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【典例1】定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−−2=3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，−2，3的“分差”为−53．
（1）−2，−4，1的“分差”为______；
（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．
【思路点拨】
（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；
（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：−2−−4=2，−2−12=−32，−4−13=−53，
∵−53<−32<2，
∴−2，−4，1的“分差”为−53，
故答案为：−53；
（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−53；
②这三个数的位置为：−2，1，−4时，
则−2−1=−3，−2−−42=1，1−−43=53，
∵−3<1<53，
∴−2，1，−4的“分差”为−3；
③这三个数的位置为：1，−2，−4时，
则1−−2=3，1−−42=52，−2−−43=23，
∵23<52<3，
∴1，−2，−4的“分差”为23；
④这三个数的位置为：1，−4，−2时，
则1−−4=5，1−−22=32，−4−−23=−23，
∵−23<32<5，
∴1，−4，−2的“分差”为−23；
⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，
则−4−1=−5，−4−−22=−1，1−−23=1，
∵−5<−1<1，
∴−4，1，−2的“分差”为−5；’
⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，
则−4−−2=−2，−4−12=−52，−2−13=−1，
∵−52<−2<−1，
∴−4，−2，1的“分差”为−52；
∵23>−23>−53>−52>−3>−5，
∴这些不同“分差”中的最大值为23．
1．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）定义运算a⊗b=1a+1b，比如2⊗3=12+13=56，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗−3=16；②此运算中的字母均不能取零；③a⊗b=b⊗a；④a⊗b+c=a⊗c+b⊗c，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
2．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）定义：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=lgxN．例如：因为72=49，所以lg749=2；因为53=125，所以lg5125=3．下列说法：①lg66=36；②lg381=4；③若lg4a+14=2，则a=2；④lg264=lg232+lg22；正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．②③④
3．（2022秋·河南郑州·七年级统考阶段练习）观察下列两个等：1﹣23=2×1×23﹣1，2﹣35=2×2×35﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）
A．（﹣3，47）B．（4，49）C．（﹣5，611）D．（6，713）
4．（2022秋·四川乐山·七年级统考期中）定义两种新运算，观察下列式子：
（1）xΘy=4x+y，例如，1Θ3=4×1+3=7； 3Θ(−1)=4×3+(−1)=11 ；
（2）x表示不超过x的最大整数，例如，2.2=2；−3.24=−4；
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是 ．
6．（2022秋·全国·七年级期末）定义一种新运算“K运算”，对有理数a，b，规定：
aKb=−2a+b(ab>1)−abab=1a−2b(ab<1)，其中“K运算”的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的四则运算顺序），则−123K35K−2K−13K+9的运算结果是 ．
7．（2022秋·安徽马鞍山·七年级校考期中）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=mn+mn−n，例如：2☆3=23+2×3−3=8+6−3=11，解答下列问题：
（1）−3☆2；
（2）−1☆−5☆2．
8．（2022秋·江西上饶·七年级统考阶段练习）定义新运算：m∗n=m−nn+n−m，如3∗2=3−22+2−3=12+2−3=0．
（1）求−1∗3的值．
（2）若b=2，且a∗b+a+c+5=2，求c∗a的值．
9．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
（1）3⊕−2=___________；
（2）求−5⊕−4⊕12的值；
（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明
10．（2022秋·全国·七年级期中）对于有理数a,b，定义一种新运算“⊗”，规定a⊗b=a+b+a−b．
（1）计算3⊗−5的值；
（2）①当a,b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊗b；
②当a⊗b=a⊗c时，是否一定有b=c或者b=−c?若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
11．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
（1）探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
（2）性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
12．（2022秋·河南南阳·七年级统考阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2，例如−1⊗2⊗3=−1−2−3+−1+2+32=5．
（1）计算：4⊗−2⊗+8；
（2）计算：3⊗−7⊗+113；
（3）已知 −67，−57，⋯，−17，0，19，29，⋯，89 这十五个数中．从中任取三个数作为 a，b，c 的值，进行“a⊗b⊗c”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．
13．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
（1）2⊗6 =______，−ππ=______；
（2）求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
（3）若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
14．（2022秋·广东茂名·七年级茂名市第一中学校考期中）类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可写作2③，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）写作（－3）④，一般地把n个a相除写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝_______； −12③＝_______．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×12×12×12=122→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式：−3⑤＝______，15⑥＝_______．
（3）算一算：122÷−13④×(−2)⑥−−13⑥÷33．
15．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算|x1|，x1+x22，x1+x2+x33，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如对于数列2，−1，3，因为2=2，2+−12=12，2+−1+33=43，所以数列2，−1，3的最佳值为12．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为12；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列−5，−4，3的最佳值为_________
（2）将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为_________，取得最佳值最小值的数列为_________（写出一个即可）；
（3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
16．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A． 对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作P，即P=POPA． 例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA，所以P=1． 如图，点P1,P2,P3为数轴上三个点，点P1表示的数为−14，点P2表示的数与点P1表示的数互为相反数，点P3表示的数为2．
（1）点P2表示的数为：___________；
（2）求P1,P2,P3的值，比较P1,P2,P3的大小，并用“<”连接；
（3）若数轴上有一点M满足OM=13OA，求M．
17．（2022秋·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，−1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；
（2）点A表示数−10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：
①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．
18．（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
（1）点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
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