专题1.2 绝对值的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

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【典例1】（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=b=a−b，

当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边AB=OB−OA=b−a=b−a=a−b；
②如图3，点A、B都在原点的左边AB=OB−OA=b−a=b−a=a−b；
③如图4，点A、B在原点的两边，AB=OB−OA=b−a=−b−−a=a−b；
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是_______．
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是_______，如果AB=2，那么x为_______．
（3）探索规律：
①当x−1+x−2有最_______（填“大”或“小”）值是_______；
②当x−1+x−2+x−3有最小_______（填“大”或“小”）值是_______；
③当x−1+x−2+x−3+x−4有最_______（填“大”或“小”）值是_______．
（4）规律应用
工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米．
（5）知识迁移
x+4−x−5有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案．
【思路点拨】
（2）①根据两点间距离的求法直接求解即可；
②根据两点间距离的求法直接写出即可；
（3）①根据绝对值的几何意义可知，当1≤x≤2时，x−1+x−2有最小值1；
②根据绝对值的几何意义可知，当x=2时，x−1+x−2+x−3有最小值2；
③根据绝对值的几何意义可知，当x=2或x=3时，x−1+x−2+x−3+x−4有最小值4；
（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当x=0时，x−8+x−6+x−4+x−2+x+x+2+x+4+x+6+x+8有最小值40；
（5）分三种情况对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可．
【解题过程】
解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是2−5=3，
数轴上表示1和−3的两点之间的距离是|1−−3|=4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是x−−1=x+1，
∵AB=2，
∴x+1=2，
∴x+1=2或x+1=−2，
解得x=1或x=−3，
故答案为：x+1；1或−3；
（3）①∵x−1+x−2表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，
∴当1≤x≤2时，x−1+x−2有最小值，最小值为1，
故答案为：小，1；
②x−1+x−2+x−3表示数轴上有理数x所对应的点到1、2和3所对应的点的距离之和，
∴当x=2时，x−1+x−2+x−3有最小值，最小值为2，
故答案为：小，2；
③x−1+x−2+x−3+x−4表示数轴上有理数x所对应的点到1、2、3和4所对应的点的距离之和，
∴当x=2或x=3时，x−1+x−2+x−3+x−4有最小值4，
故答案为：小，4；
（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，
则A点表示的数为−8，B点表示的数为−6，C点表示的数为−4，D点表示的数为−2，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，
设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，
当x−8+x−6+x−4+x−2+x+x+2+x+4+x+6+x+8有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，
∴当x=0时，x−8+x−6+x−4+x−2+x+x+2+x+4+x+6+x+8有最小值40，
∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，
故答案为：E，40；
（5）x+4−x−5有最大值和最小值，理由如下：
当x≥5时，x+4−x−5=x+4−x+5=9，
当−4当x≤−4时，x+4−x−5=−x−4−5+x=−9，
∴x+4−x−5有最大值9，最小值−9．
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【思路点拨】
根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c和3−16−c=c，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【解题过程】
解：∵ a−2=18，
∴ a−2=18或a−2=−18，
∴ a=20或a=−16，
当a=20时，3a−c=c等价于320−c=c，即60−3c=c，
∴ 60−3c=c或60−3c=−c，
∴ c=15或c=30；
当a=−16时，3a−c=c等价于3−16−c=c，即−48−3c=c，
∴ −48−3c=c或−48−3c=−c，
∴ c=−12或c=−24，
故c=15或c=30或c=−12或c=−24，
∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．
故答案为：D．
2．（2022秋·全国·七年级期末）已知a，b，c的积为负数，和为正数，且x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc，则x的值为( )
A．0B．0，2C．0，−2，1D．0，1，−2，6
【思路点拨】
先判断出a,b,c的符号，再化简绝对值运算即可得．
【解题过程】
解：∵a,b,c的积为负数
∴a,b,c的符号为三负或两正一负
∵a,b,c的和为正数
∴a,b,c的符号为两正一负
因此，分以下三种情况：
（1）当a>0,b>0,c<0时
x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
=1+1−1+1−1−1
=0
（2）当a>0,c>0,b<0时
x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
=1−1+1−1+1−1
=0
（3）当b>0,c>0,a<0时
x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
=−1+1+1−1−1+1
=0
综上，x的值为0
故选：A．
3．（2022秋·全国·七年级期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，|a|a+|b|b+|c|c=−1，那么|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【思路点拨】
根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到|b|b+|c|c=−2，则b<0，c<0，再进行化简计算，即可得到答案．
【解题过程】
解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当x=5时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴a=8，
∵|a|a+|b|b+|c|c=−1，
∴|8|8+|b|b+|c|c=−1，
∴|b|b+|c|c=−2，
∴|b|b=−1，|c|c=−1，
∴b<0，c<0，
∴bc>0
∴|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc
=|8b|8b+|bc|bc+|8c|8c+|8bc|8bc
=|b|b+|bc|bc+|c|c+|bc|bc
=−2+|bc|bc+|bc|bc
=−2+1+1
=0；
故选：C．
4．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a、b、c满足a>b>c(ac<0)，且cA．a−c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b−c2
【思路点拨】
根据ac<0可知a，c异号，再根据a>b>c，以及c【解题过程】
解：∵ac<0，
∴a，c异号，
∵a>b>c，
∴a>0，c<0，
又∵c∴−a<−b又∵|x﹣a+b2|+|x﹣b+c2|+|x+a+c2|表示到a+b2，b+c2，−a+c2三点的距离的和，
当x在b+c2时距离最小，
即|x﹣a+b2|+|x﹣b+c2|+|x+a+c2|最小，最小值是a+b2与−a+c2之间的距离，即2a+b+c2．
故选：C．
5．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或−3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为−1或3；
③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为−7；
④若a=b且|a−b|=23，则式子a+b−abb2+1的值为110；
⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb−a(ab时，{a，b}的值为b−a．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】
①由题意可得，abc<0，则a，b，c中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc<0可得a，b，c中有一个值为负数，求解即可；③根据x≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a=b或a=−b，分别求解即可；⑤根据题意可得a，b异号，分两种情况求解即可．
【解题过程】
解：①由|abc|abc=−1可得abc<0，a，b，c中有一个或三个值为负数，
当a<0，b>0，c>0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1+1+1=1
当a<0，b<0，c<0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1−1−1=−3
故①正确；
②由abc<0和a+b+c=0得a，b，c中有一个值为负数，
∴a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a
∴−a|a|+−b|b|+−c|c|=1−1−1=−1，
故②错误；
③当−3≤x≤4时，x−4≤0，x+3≥0，
则x+3−x−4=x+3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7
当x<−3时，x−4≤0，x+3<0
则x+3−x−4=−x−3+x−4=−7
故③正确；
④由a=b可得a=b或a=−b
当a=b时，a−b=0与|a−b|=23矛盾，舍去；
当a=−b时，a−b=−2b，a+b=0且2b=23
解得a=13,b=−13或a=−13,b=13
则ab=−19，b2=19
a+b−abb2+1=1919+1=110
故④正确；
⑤由题意可得a，b异号，
当a<0，b>0时，a=−a，b=b，
由a>b可得−a>b，即a+b<0符合题意，此时a<0则{a，b}=b−a
当a>0，b<0时，a=a，b=−b
由a>b可得a>−b，即a+b>0，与a+b<0矛盾，舍去，
综上{a，b}=b−a
故⑤正确；
正确的个数为4
故选：C
6．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知a为任意有理数，则a+3+3a+5+2a−7的最小值为 ．
【思路点拨】
a+3+3a+5+2a−7表示a到−3距离加上3倍a到−5的距离再加上2倍a到7的距离，由此可得a在a＜−5，−5≤a≤−3，−3＜a≤7，a＞7的范围内分别求代数式的值，比较即可求解．
【解题过程】
解：当a＜−5时，
a+3+3a+5+2a−7
=−a−3+3−a−5+27−a
=−a−3−3a−15+14−2a
=−6a−4＞26；
当−5≤a≤−3时，
a+3+3a+5+2a−7
=−a−3+3a+5+27−a
=−a−3+3a+15+14−2a
=26；
当−3＜a≤7时，
a+3+3a+5+2a−7
=a+3+3a+5+27−a
=a+3+3a+15+14−2a
=2a+32＞26；
当a＞7时，
a+3+3a+5+2a−7
=a+3+3a+5+2a−7
=a+3+3a+15+2a−14
=6a+4＞44；
故答案为：26．
7．（2022秋·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36，则2016x+2017y+2018z的最大值是 ．最小值是 ．
【思路点拨】
先讨论∶ |x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的最小值，根据它们的积是36，分别得到|x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的值， 再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．
【解题过程】
解：∵|x+1|+|x−2|≥3，y−2+y+1≥3，z−3+z+1≥4，|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36
∴|x+1|+|x−2|=3，y−2+y+1=3，z−3+z+1=4，
当|x+1|+|x−2|=3时，x最小取−1，最大取2，
当y−2+y+1=3时，y最小取−1，最大取2，
当z−3+z+1=4时，z最小取−1，最大取3
∴2016x+2017y+2018z的最大值为∶
2016×2+2017×2+2018×3
=14120，
2016x+2017y+2018z的最小值为∶
2016×−1+2017×−1+2018×−1
=−6051 ，
故答案为：14120；−6051．
8．（2022秋·浙江丽水·七年级校考期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x−y= ．
【思路点拨】
根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入x−y即可解答．
【解题过程】
解：∵abc>0，a+b+c=0，
∴a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，
∴a，b，c三个数中有两负一正，
当a，b为负，c为正数时，
m=a+bc+2b+ca+3c+ab
=−cc+2−aa+3−bb
=cc+−2aa+−3bb
=1−2−3
=−4；
当a，c为负，b为正数时，
m=a+bc+2b+ca+3c+ab
=−cc+2−aa+3−bb
=−cc+−2aa+3bb
=−1+−2+3
=0；
当b，c为负，a为正数时，
m=a+bc+2b+ca+3c+ab
=−cc+2−aa+3−bb
=−cc+2aa+−3bb
=−1+2−3
=−2；
∵m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，
∴x=3，y=−4，
∴x+y=3−−4=7．
故答案为：7．
9．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为m−n，则：
①x−1表示的实际意义是 ．
②x−1+x−2+x−3的最小值是 ．
③|x−1+x−2+x−3+x−4|的最小值是 ．
【思路点拨】
①根据数轴上两点的距离公式求解即可；
②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当x=2时x−1+x−2+x−3有最小值；
③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当2【解题过程】
解：①|x−1|表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离；
故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离；
②分类讨论：
1）当x≤1时，x−1+x−2+x−3=1−x+2−x+3−x=6−3x，
∴当x=1时，有最小值3；
2）当1∴当x=2时，有最小值2；
3）当2此时最小值大于2；
4）当x>3时，x−1+x−2+x−3=x−1+x−2+x−3=3x−6，
此时最小值大于3；
综上可知，当x=2时，且最小值为2；
故答案为：2；
③根据|x−1+x−2+x−3+x−4|的几何意义，可|x−1+x−2+x−3+x−4|表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和．
于是可分以下五个情况讨论：
1）当x≤1时，|x−1+x−2+x−3+x−4|=1−x+2−x+3−x+4−x=10−4x≥6；
2）当13）当24）当34；
5）当x>4时，|x−1+x−2+x−3+x−4|=x−1+x−2+x−3+x−4=4x−10>6；
综上所述，当2≤x≤3时，有最小值4，
故答案为：4．
10．（2022秋·北京朝阳·七年级校考阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】．
【提出问题】
两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求aa+bb的值．
【解决问题】
解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数．
①若a、b都是正数，即a>0，b>0，有a=a及b=b，则aa+bb=aa+bb=1+1=2；
②若a、b都是负数，即a<0，b<0，有a=−a及b=−b，aa+bb=−aa+−bb=−1+−1=−2；
所以aa+bb的值为2或−2．
【探究】
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a=3且b=7，且a（2）两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求aa+bb的值．
（3）若abc>0，则|a|a+|b|b+|c|c的值可能是多少？
【思路点拨】
（1）由a=3且b=7，且a（2）由a、b异号分2种情况讨论：①a>0，b<0；②a<0，b>0，分别求解即可；
（3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，代入计算即可．
【解题过程】
（1）解：∵a=3，b=7，
∴a=3或−3，b=7或−7，
∵a∴a=3，b=7或a=−3，b=7，
当a=3，b=7时a+b=3+7=10，
当a=−3，b=7时a+b=−3+7=4，
综上，a+b的值10或4；
（2）解：由a、b异号，可知：①a>0，b<0；②a<0，b>0，
当a>0，b<0时，aa+bb=1−1=0；
当a<0，b>0时，aa+bb=−1+1=0，
综上，aa+bb的值为0；
（3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，
则：|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，
则：|a|a+|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1−1−1=−1
所以：|a|a+|b|b+|c|c的值为3或−1．
11．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示−4和−9的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示−3和5的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
（3）应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：|a−3|=6，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于−5与2之间，求a+5+a−2的值．
③当a何值时，a+5+a−1+a−2的值最小，最小值是多少？请说明理由．

【思路点拨】
（1）根据两点之间的距离=较大的数−较小的数可得结论；
（2）因为不确定m和n的大小关系，所以数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|；
（3）①根据绝对值的意义可得：a−3=±6，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出a+5+a−1+a−2表示一点到−5，1，2三点的距离的和，据此可解．
【解题过程】
（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是7−3=4；
②数轴上表示−4和−9的两点之间的距离是−4−−9=−4+9=5；
③数轴上表示−3和5的两点之间的距离是5−−3=8；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n；
（3）①|a−3|=6，
∴a−3=6或a−3=−6，
解得：a=9或a=−3；
②∵数轴上表示数a的点位于−5与2之间，
∴−5∴a+5+a−2=a+5−a+2=7；
③a+5+a−1+a−2表示一点到−5，1，2三点的距离的和，
∴当a=1时，该式的值最小，最小值为1+5+1−1+1−2=7．
∴当a=1时，a+5+a−1+a−2的值最小，最小值是7．
12．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当a=2，b=5时，A，B之间的距离AB=3；
②当a=−2，b=5时，A，B之间的距离AB= ；
③当a=−2，b=−5时，A，B之间的距离AB= ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB= ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若x−2=x−6，则x = ．
②若x−1+x−7=8，则x= ．
③若x，y满足x−1+x−5y−1+y+1=8，则代数式x+y的最大值是 ，最小值是 ．
【思路点拨】
（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离AB即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=a−b；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出x，y的取值范围，然后计算解题．
【解题过程】
（1）②AB=−2−5=7；
③AB=−2−−5=3；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=a−b，
故答案为：a−b．
（3）∵x−3=5
∴x−3=±5，
解得： x=−2或x=8；
（4）①x−2=x−6，
即x−2=±x−6，
解得：x=4；
故答案为：4．
②若x−1+x−7=8，
当x≥7时，x−1+x−7=8，解得x=8；
当1当x≤1时，1−x+7−x=8，解得x=0；
故答案为：8或0．
③由题可知x−1+x−5≥4，y−1+y+1≥2，
又∵x−1+x−5y−1+y+1=8，
∴x−1+x−5=4，y−1+y+1=2，
即1≤x≤5，−1≤x≤1，
∴代数式x+y的最大值是5+1=6，最小值是1+−1=0，
故答案为：6，0．
13．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）【问题提出】a−1+a−2+a−3+⋅⋅⋅+a−2021的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么a−1可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；a−1+a−2就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究a−1+a−2的最小值．
我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．
如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，a−1+a−2有最小值1．
【问题解决】
（1）a−4+a−7的几何意义是 ，请你结合数轴研究：a−4+a−7的最小值是 ；
（2）请你结合图④探究a−1+a−2+a−3的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
（3）a−1+a−2+a−3+a−4+a−5的最小值是 ；
（4）a−1+a−2+a−3+⋅⋅⋅+a−2021的最小值为 ；
（5）如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【思路点拨】
（1）由a−1+a−2的几何意义以及a−1+a−2有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：a−−1+a−2<4，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【解题过程】
（1）由题可知，a−4+a−7的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时a−4+a−7取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小
a−1+a−2+a−3的最小值是1＋0＋1＝2
故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小
a−1+a−2+a−3+a−4+a−5的最小值是2+1+0+1+2=6 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
a−1+a−2+a−3+⋅⋅⋅+a−2021的最小值为：
1010+1009+1008+1007+⋯+1+0+1+2+3+⋯+1010
=1010×1010+1=1021110
故答案为：1021110
（5）∵a使它到－1，2的距离之和小于4
∴ a−−1+a−2<4
①当a≥2时，则有a−(−1)+a−2<4
解得：a<2.5
∴2≤a<2.5；
②当−1≤a≤2时，则有a−(−1)+2−a=3<4
∴−1≤a≤2
③当a<−1时，则有−1−a+2−a<4
解得：a>−1.5
∴−1.5综上，a的取值范围为：−1.5故答案为：−1.514．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）同学们都知道：数轴上表示x与a的两点之间的距离可以表示为x−a．例如7−−4表示7与−4之差的绝对值，实际上也可理解为7与−4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下

探索：
（1）数轴上表示7与−4两点之间的距离是______．
（2）若x−3=2，则x=______．
（3）x+1+x−3表示数轴上有理数x所对应的点到−1和3所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得x+1+x−3=4，这样的整数是_____．
（4）请你找出所有符合条件的整数x，使得x+10+x+2+x−8=18，这样的整数是_____．
（5）继续探索：2x−10+3x−2+x+8是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【思路点拨】
（1）利用距离公式直接计算即可；
（2）将x−3看成整体，利用绝对值的定义求解即可；
（3）根据绝对值的几何意义可知当−1≤x≤3时x+1+x−3=4,，求出符合x的整数即可；
（4）根据绝对值的几何意义可知当x=−2时，x+10+x+2+x−8=18；
(5)同（4）理可得：①x−10+x−2的最小值是8，当且仅当2≤x≤10时取最小值8，②x−10+x+8的最小值是18，当且仅当−8≤x≤10时取最小值18，③x−2≥0，当且仅当x=2时，取最小值0，从而得到2x−10+3x−2+x+8min=x−10+x−2min+x−10+x+8min+2x−2min=8+18+2×0=26．
【解题过程】
（1）数轴上表示7与−4两点之间的距离可以表示为7−−4=11，
故答案为：11；
（2）∵x−3=2，
∴x−3=−2或x−3=2，
解得： x=1或x=5，
故答案为：1或5；
（3）∵x+1+x−3=4表示数轴上有理数x所对应的点到−1和3所对应的点的距离之和为4，
如图，
当x对应的数在−1与3之间(包含−1与3)，即−1≤x≤3时，
x+1+x−3=AB+BC=x+1+3−x=4,
∴这样的整数有−1、0、1、2、3，
当x对应的数在−1的左边或3右边时，显然x−3>4或x+1>4，
此时x+1+x−3>4不合题意．
故答案为：−1、0、1、2、3；
（4）∵x+10+x−8表示数轴上有理数x所对应的点到−10和8所对应的点的距离之和，
如图，

当x对应的数在−10与8之间(包含−10与8)，即−10≤x≤8时，x+10+x−8=AB+BC=x+10+8−x=18，
当x对应的数在−10的左边或8右边时，显然x−8>18或x+10>18，
∴此时x+10+x−8>18，
综上所述：x+10+x−8的最小值是18，当且仅当−10≤x≤8时，取最小值18，
又∵x+2≥0，当且仅当x=−2时，取最小值0，
∴当且仅当x=−2时，x+10+x+2+x−8取最小值18，
故答案为：−2
（5）同理可得：①x−10+x−2的最小值是8，当且仅当2≤x≤10时取最小值8，
②x−10+x+8的最小值是18，当且仅当−8≤x≤10时取最小值18，
③x−2≥0，当且仅当x=2时，取最小值0，
∴当且仅当x=2时，2x−10+3x−2+x+8min=x−10+x−2min+x−10+x+8min+2x−2min=8+18+2×0=26．
15．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期中）【定义新知】
我们知道：式子x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=a−b．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题：
（1）式子x+5在数轴上的几何意义是____________________________________，若x+5=6，则x的值为_________；
（2）当x+3+x−1|取最小值时，x可以取整数_________；
（3）当x=_________时，x+2+x+6+x−1的值最小，最小值为_________；
【解决问题】
（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？
【思路点拨】
（1）结合题意直接可以得出x+5在数轴上的几何意义，x+5=6表示数轴上与有理数−5的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可；
（2）x+3+x−1表示数轴上x到−3与x到1的距离之和最小，x应该在−3与1之间的线段上，找到满足条件的点即可；
（3）x+2+x+6+x−1表示数轴上x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，x应该在−6与1之间的线段上，当x=−2是，x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，
（4）A、B、C在数轴上分别表示−5，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即x+5+2x−1+3x−3最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，
式子x+5在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−5的点之间的距离；
x+5=6表示数轴上与有理数−5的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为：
−11或1，
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−5的点之间的距离；−11或1，
（2）x+3+x−1表示数轴上x到−3与x到1的距离之和最小，
所以x应该在−3与1之间的线段上，
所以x可以取整数−3，−2，−1，0,1
故答案为：−3，−2，−1，0,1
（3）x+2+x+6+x−1表示数轴上x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，
所以x应该在−6与1之间的线段上，
且当x=−2是，x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，
最小值为−6到1的距离为7；
故答案为：−2，7；
（4）A、B、C在数轴上分别表示−5，1,3，P表示x，
使总运输和包装成本最低
即x+5+2x−1+3x−3最小，
x+5+x−1+x−3+x−1+x−3+x−3
x在1时，x+5+x−1+x−3最小；
x在1与3之间的线段上x−1+x−3最小
所以x在1时x+5+2x−1+3x−3最小，最小值为1+5+21−1+31−3=12
所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．
16．（2023春·全国·七年级期末）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为AB=|a−b|．
（2）理解：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果AB=2，那么x= ；
（3）运用：
③当代数式x+1+|x−2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ；
④当代数式x+1+|x−2+x−4|取最小值时，相应的x的值是 ；
（4）提升：
⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？
【思路点拨】
①根据阅读材料直接可得答案；
②根据阅读材料列出方程，可解得答案；
③由x+1+|x−2|表示到表示−1和2的点的距离之和，即可得答案；
④由x+1+|x−2+x−4|表示到表示−1，2和4的点的距离之和，可得答案；
⑤设A给Ba张（a>0时，即为A给Ba张，a<0时，即为B给Aa张，），B给Cb张，C给Dc张，D给Ed张，E给Ae张，要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，故6+a−b=89+b−c=83+c−d=810+d−e=8，即得a=b+2c=b+1d=b−4e=b−2，可知a+b+c+d+e=b+2+b+b+1+b−4+b−2，
由b+2+b+b+1+b−4+b−2可看作数轴上到表示−2，0，−1，4，2的点的距离之和，即可得答案．
【解题过程】
解：①∵5−2=3,1−(−3)=4,
∴表示2和5的两点之间的距离是3，表示1和−3的两点之间的距离是4，
故答案为：3，4；
②表示x和−1的两点A和B之间的距离是x−(−1)=x+1，
当AB=2时，x+1=2，
解得x=1或x=−3，
故答案为：x+1，1或−3
③∵x+1+|x−2|表示到表示−1和2的点的距离之和，
∴x+1+|x−2||取最小值时，x的范围是−1≤x≤2，
故答案为：−1≤x≤2；
④∵x+1+|x−2+x−4||表示到表示−1，2和4的点的距离之和，
∴x=2时，x+1+|x−2+x−4|取最小值5，
故答案为：2；
⑤设A给Ba张（a>0时，即为A给Ba张，a<0时，即为B给Aa张，），B给Cb张，C给Dc张，D给Ed张，E给Ae张，由于共有卡片数为12+6+9+3+10=40（张），要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，
由题意：6+a−b=89+b−c=83+c−d=810+d−e=8，
变形得：a=b+2c=b+1d=b−4e=b−2，
∴a+b+c+d+e=b+2+b+b+1+b−4+b−2，
∵b+2+b+b+1+b−4+b−2可看作数轴上到表示−2，0，−1，4，2的点的距离之和，
∴b=0时，b+2+b+b+1+b−4+b−2取最小值，最小值为2+0+1+4+2=9，
此时a=2,c=1,d=−4,e=−2，
∴A给B2张，B给C0张，C给D1张，E给D4张，A给E2张，调动的卡片总数最小，最少调动9张．
17．（2022秋·北京·七年级期末）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为−1、3，则线段MN的长度可以这样计算
|−1−3|=4或|3−(−1)|=4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m−n|或|n−m|．
请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c
给出如下定义：若|a−b|=2|a−c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．
（1）如图1，a=−1
①若c=2，点D、E、F在数轴上分别表示数−3、5、7，在这三个点中，点_______是点A、C的双倍绝对点；
②若|a−c|=2，则b=________；
（2）若a=3，|b−c|=5，则c的最小值为________；
（3）线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数−4、−2，a=3，|a−c|=2，线段PQ与点A、C同时沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t(t>0)，当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．
【思路点拨】
（1）①根据双倍绝对点的定义得−1−b=2−1−2，求出b的值即可；
②根据题意，a−b=2×2=4，求出b的值即可；
（2）分情况讨论c=b+5或c=b−5，根据3−b=23−c求出b的值，再求出c的值，找到最小值；
（3）分情况讨论，当PQ在AC左端或右端时，求出临界状态下t的值，即可得到范围．
【解题过程】
解：（1）①∵a=−1，c=2，
∴−1−b=2−1−2，
解得b=5或−7，
∴点E是点A、C的双倍绝对点，
故答案为：E；
②∵a−c=2，
∴a−b=2×2=4，
∵a=−1，
∴−1−b=4，
解得b=−5或3；
故答案为：-5或3；
（2）∵b−c=5，
∴c=b+5，或c=b−5，
∵a=3，
∴3−b=23−c，
①当c=b+5时，3−b=23−b−5，
解得b=−7或b=−13，
则c=−2或c=143；
②当c=b−5时，3−b=23−b+5，
解得b=13或b=193，
则c=8或c=43，
综上：c的最小值为−2；
故答案为：-2；
（3）①当PQ在AC左端时，
当Q为A、C的双倍绝对点，
Q=3t−2，A=t+3，
∴t+3−3t+2=4，
解得t=12或t=92（舍去），
∴t≥12；
当P为A、C的双倍绝对点，
P=3t−4，A=t+3，
∴t+3−3t+4=4，
解得t=32或t=112（舍去），
∴t≤32；
∴12≤t≤32
②当PQ在AC右端时，
当Q为A、C的双倍绝对点，
Q=3t−2，A=t+3，
∴3t−2−t−3=4，
解得t=12（舍去）或t=92，
∴t≥92；
当P为A、C的双倍绝对点，
P=3t−4，
∴3t−4−t−3=4，
解得t=32（舍去）或t=112，
∴t≤112，
∴92≤t≤112
综上：12≤t≤32或92≤t≤112．
18．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知x1，x2，x3，…x2017都是不等于0的有理数，请探究以下问题：
（1）y1=|x1|x1，则y1= ．
（2）y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2，则y2= ．
（3）y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3，则y3= ．
（4）由以上探究可以知道：y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017，共有 种不同的值，在y2017这些不同的值中，最大值与最小值的差值等于 ，y2017的这些不同的值的绝对值的和等于
【思路点拨】
（1）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（2）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（3）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（4）根据观察，归纳，发现规律，可得答案．
【解题过程】
（1）x1<0时，y1=|x1|x1=−1，
x1>0时，y1=x1x1=1，
则y1=±1，
故答案为：±1．
（2）若x1>0，x2>0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=3，
x1>0，x2<0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=−1，
x1<0，x2>0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=−1，
x1<0，x2<0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=−1．
综上所述，y2=3或−1，
故答案为：3或−1．
（3）x1>0，x2>0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=4，
x1>0，x2>0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，
x1>0，x2<0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，
x1>0，x2<0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，
x1<0，x2>0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，
x1<0，x2>0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，
x1<0，x2<0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，
x1<0，x2<0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=−4．
综上所述，y3=±4或0，
故答案为：±4或0．
（4）由以上探究可知，
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，x的值全部为正数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=1+1+⋅⋅⋅+1=2017；
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，2016个x的值为正数，1个x的值为负数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=1+1+⋅⋅⋅+1−1=2015；
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，2015个x的值为正数，2个x的值为负数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=1+1+⋅⋅⋅+1−1−1=2013；
……
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，1009个x的值为正数，1008个x的值为负数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=1+1+1⋅⋅⋅−1−1=1；
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，1008个x的值为正数，1009个x的值为负数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=1+1+⋅⋅⋅−1−1−1=−1；
……
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，2个x的值为正数，2015个x的值为负数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=1+1+⋅⋅⋅−1−1−1=−2013；
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，1个x的值为正数，2016个x的值为负数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=1−1+⋅⋅⋅−1−1=−2015；
当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，x的值全部为负数时，
y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017=−1−1−⋅⋅⋅−1=−2017；
∴所有的值为：2017,2015,2013⋅⋅⋅3,1,−1,−3⋅⋅⋅−2013,−2015,−2017，
∴y2017共有2018个不同的值；
在y2017这些不同的值中，最大值与最小值的差值等于2017−(−2017)=4034，
y2017的这些所有的不同的值的绝对值的和等于(1+2017)×1009÷2×2=2036162．
故答案为：2018，4034，2036162．