小学数学人教版（2024）五年级下册探索图形精练

这是一份小学数学人教版（2024）五年级下册探索图形精练，共21页。

A．24B．12C．8
2．用64个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂上红色，那么没有涂红色的小正方体有（ ）个。
A．6B．8C．12D．24
3．把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4B．6C．8D．无数个
4．一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的表面涂色的长方体，分割成棱长1厘米的小正方体。这些小正方体中，三面涂色的有（ ）个。
A．4个B．8个C．12个D．24个
5．给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，需要有（ ）个面涂红色。
A．1B．2C．3D．4
6．把棱长是8cm的正方体的表面涂色后，再分割成棱长是2cm的小正方体（无剩余，损耗不计），那么只有一面涂色的有（ ）块。
A．6B．24C．36D．54
7．用64个棱长1厘米的正方体拼成棱长4厘米的一个大正方体，在大正方体的表面上涂上红色。这64个小正方体中，没有涂色的有（ ）个。
A．36B．24C．12D．8
8．将一个正方体木块6个面都涂上红色，把它切成大小相等的27块小正方体。两个面涂上红色的小正方体有（ ）块。
A．8B．12C．24D．48
二．填空题（共5小题）
9．把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 个，1个面涂红色的小正方体有 个。
10．把一个正方体木块的表面全涂成红色，平均切成64个大小相等的正方体。一面涂色的小正方体有 个，两面是红色的小正方体有 个，三面涂色的有 个。
11．把一个棱长为5厘米的正方体涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，1面涂色的小正方体有 个，2面涂色的小正方体有 个，3面涂色的小正方体有 个。
12．把一个外表面涂有黄色涂料的正方体木块平均分成若干个小正方体，至少分成 个小正方体才会出现6个面都不涂色的小正方体。
13．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是 个。
三．判断题（共5小题）
14．一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。
15．用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。
16．把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。
17．一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个棱长为1cm的小正方体．其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个．
18．一个正方体木块表面涂漆，再切割成1000个小正方体，三面涂漆的小正方体有8块．
四．操作题（共1小题）
19．乐乐把若干个白色小正方体木块拼成如图所示的大的正方体，然后在它的表面涂上颜色．
（1）2个面被涂色的小正方体木块有 个．
（2）1个面被涂色的小正方体木块有 个．
（3）没有被涂色的小正方体木块有 个．
五．应用题（共7小题）
20．一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
21．整个图形的面积表示600平方厘米，涂色的3个方格表示75平方厘米。空白部分含有多少个这样的小方格？
22．一个棱长为10厘米的正方体，在它的表面涂上红色的油漆，再将它切成边长为1厘米的小正方体．求涂了一个面的正方体有多少个？
23．将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方体只有3个，那么原来长方体的表面积是多少平方厘米？
24．把棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块。在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有多少个？
25．右图是由棱长为2cm的正方体搭成的，所有表面涂成了红色．
（1）一共有多少个正方体？它的体积是多少？
（2）其中只有3个面涂上红色的正方体有 个，有4个面涂上红色的正方体有 个，有5个面涂上红色的正方体有 个．
（3）涂上红色的面积是多少平方厘米？
26．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是几？
探索图形B卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，把一个正方体表面涂色，每条棱平均分成4份，再切成同样大小的小正方体，没有涂色的小正方体有（ ）个。
A．24B．12C．8
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】把一面染色、两面染色和三面染色的计算出，用一共的小正方体减去一面染色、两面染色和三面染色的数量之和即可解答。
【解答】解：一面染色：（4﹣2）×（4﹣2）×6＝24（个）
两面染色：（4﹣2）××12＝24（个）
三面染色：8个；
4×4×4﹣（24+24+8）
＝64﹣56
＝8（个）
答：没有涂色的小正方体有8个。
故选：C。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
2．用64个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂上红色，那么没有涂红色的小正方体有（ ）个。
A．6B．8C．12D．24
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】B
【分析】依据题意可知，64＝4×4×4，这个大正方体由4层组成，每层有（4×4）个小正方体，涂色的小正方体都在大正方体的表面，没有涂红色的小正方体个数＝小正方体总个数﹣涂色的小正方体总个数，由此解答本题。
【解答】解：64＝4×4×4，这个大正方体由4层组成，每层有小正方体：4×4＝16（个），
涂色小正方体个数：16+16+8+8+4+4＝56（个）
64﹣56＝8（个）
答：没有涂红色的小正方体有8个。
故选：B。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
3．把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4B．6C．8D．无数个
【考点】染色问题；长方体的特征．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】C
【分析】根据正方体表面积的意义，把一个表面涂色的大正方体平均分成（4×4×4）个小正方体，8个顶点上的小正方体3面涂色，每条棱的中间的小正方体2面涂色，每个面的中间的小正方体1面涂色，内部的小正方体没有涂色。据此解答即可。
【解答】解：由分析得：3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，所以3面涂色的小正方体有8块。
答：3面涂色的小正方体有8块。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及应用，抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面的中间，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
4．一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的表面涂色的长方体，分割成棱长1厘米的小正方体。这些小正方体中，三面涂色的有（ ）个。
A．4个B．8个C．12个D．24个
【考点】染色问题．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】B
【分析】三面涂色的小正方体在8个顶点上，据此解答。
【解答】解：三面涂色的小正方体在8个顶点上，共计有8个。
故选：B。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
5．给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，需要有（ ）个面涂红色。
A．1B．2C．3D．4
【考点】染色问题．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】D
【分析】一个正方体有6个相同的面积，这6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，涂红色的面数最多，涂蓝色、蓝色的面数相同。6个面只能4份涂红色，蓝色、黄色各涂1份。
【解答】解：根据题意，涂红色的面数最多，涂涂蓝色、蓝色的面数相同
正方体有6个面，这6个面只能4份涂红色，蓝色、黄色各涂1份。
答：需要4个面涂红色。
故选：D。
【点评】要想涂红色朝上的可能性最大，涂红色的面数面数最多；要想涂蓝色、黄色面数朝上的可能性相同，涂蓝色、黄色的面数就要相同。
6．把棱长是8cm的正方体的表面涂色后，再分割成棱长是2cm的小正方体（无剩余，损耗不计），那么只有一面涂色的有（ ）块。
A．6B．24C．36D．54
【考点】染色问题．
【专题】综合判断题；推理能力．
【答案】B
【分析】一面涂色的在每个面的中间非棱长部分，求出一面染色的数量乘面数即可。
【解答】解：8÷2＝4（块）
4×4×4＝64（块）
4×6＝24（块）
答：只有一面涂色的有24块。
故选：B。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
7．用64个棱长1厘米的正方体拼成棱长4厘米的一个大正方体，在大正方体的表面上涂上红色。这64个小正方体中，没有涂色的有（ ）个。
A．36B．24C．12D．8
【考点】染色问题．
【专题】综合判断题；推理能力．
【答案】D
【分析】没有染色的在正方体的中间位置，用正方体个数减去一面染色、两面染色、三面染色的块数即可解答。
【解答】解：1面染色的在正方体每面的中间部分，每面有4块，合计有4×6＝24（块）
2面染色的在正方体棱上中间部分，每条棱有2块，合计2×12＝24（块）
3面染色的在正方体的顶点部分，有8个顶点，合计1×8＝8（块）
0面染色：64﹣（24+24+8）＝8（块）
答：这64个小正方体中，没有涂色的有8个。
故选：D。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
8．将一个正方体木块6个面都涂上红色，把它切成大小相等的27块小正方体。两个面涂上红色的小正方体有（ ）块。
A．8B．12C．24D．48
【考点】染色问题．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】B
【分析】依据题意可知，正方体有3层，每层有（27÷3）个小正方体，两面涂上红色的小正方体在正方体的棱上，由此解答本题。
【解答】解：由分析可知：每条棱上有1个两面涂上红色的小正方体，共有：12×1＝12（块）
答：两个面涂上红色的小正方体有12块。
故选：B。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
二．填空题（共5小题）
9．把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 8 个，1个面涂红色的小正方体有 6 个。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】8、6。
【分析】依据题意可知，大正方体被分成（3×3×3）个小正方体，3个面涂红色的小正方体在大正方体的顶点位置处，1个面涂红色的小正方体在大正方体的6个面上（除去棱上的小正方体），由此解答本题。
【解答】解：3个面涂红色的小正方体有8个，1个面涂红色的小正方体有6个。
故答案为：8、6。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
10．把一个正方体木块的表面全涂成红色，平均切成64个大小相等的正方体。一面涂色的小正方体有 24 个，两面是红色的小正方体有 24 个，三面涂色的有 8 个。
【考点】染色问题．
【专题】综合填空题；推理能力．
【答案】24；24；8。
【分析】64＝4×4×4，即大正方体每条棱上面都可以分成4块小正方体，三面涂色的正方体在8个顶点上；两面涂色的正方体是在12条棱上，即公式：（n﹣2）×12；一面涂色的正方体是在6个面上，即公式：（n﹣2）2×6。据此解答。
【解答】解：一面涂色：（4﹣2）2×6＝24（个）
两面涂色：（4﹣2）×12＝24（个）
三面涂色：8个
答：一面涂色的小正方体有24个，两面是红色的小正方体有24个，三面涂色的有8个。
故答案为：24；24；8。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
11．把一个棱长为5厘米的正方体涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，1面涂色的小正方体有 54 个，2面涂色的小正方体有 36 个，3面涂色的小正方体有 8 个。
【考点】染色问题．
【专题】竞赛专题；模型思想．
【答案】54，36，8。
【分析】棱长是5厘米的正方体，把长、宽、高3等分切开，即可切成棱长是1厘米的小正方体，小正方体个数为：5×5×5＝125（个）；
三个面涂成红色的小正方体处在大正方体的8个顶点，每个顶点有1个小正方体，所以共有：8×1＝8（个）；两个面涂成红色的小正方体处在12条棱的中间，每条棱上有3个小正方体，所以共有12×3＝36（个）；一个面涂成红色的小正方体处在大正方体的6个面的中间，每个面有9个小正方体，所以共有6×9＝54（个）。
【解答】解：一个面涂成红色的小正方体处在大正方体的6个面的中间，每个面有9个小正方体，所以共有6×9＝54（个）；两个面涂成红色的小正方体处在12条棱的中间，每条棱上有3个小正方体，所以共有12×3＝36（个）；三个面涂成红色的小正方体处在大正方体的8个顶点，每个顶点有1个小正方体，所以共有：8×1＝8（个）。
故答案为：54，36，8。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
12．把一个外表面涂有黄色涂料的正方体木块平均分成若干个小正方体，至少分成 27 个小正方体才会出现6个面都不涂色的小正方体。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】27。
【分析】要想得到6个面都不涂色的正方体，那么这样的正方体必须包在里面；有包在中间的小正方体，至少要分几层，也就是说要有几条分割线；大正方体分成小正方体的个数必须是某个数字的立方，据此解答。
【解答】解：要想得到6个面都不涂色的小正方体，小正方体必须包在里面，所以至少有两条分割线，分成三等份，3×3×3＝27（个）。
故答案为：27。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
13．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是 488 个。
【考点】染色问题．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】这些小正方体至少有一面被涂过的分三种情况：处在顶点的，有三面涂色；处在棱的中间的，有两面涂色；处在每个面的中间的，只有一面涂色；据此解答．
【解答】解：方法一：
处在顶点的，有三面涂色的：8个；
处在棱的中间的，有两面涂色的：（10﹣2）×12＝96（个）；
处在每个面的中间的：（10﹣2）×（10﹣2）×6＝384（个）；
至少有一面被涂过的：8+96+384＝488（个）；
方法二：
103﹣（10﹣1﹣1）×（10﹣1﹣1）×（10﹣1﹣1）
＝1000﹣512
＝488（个）
答：这些小正方体至少有一面被涂过的数目488个．
故答案为：488．
【点评】本题关键是理解“至少有一面被涂过的数目”的意思是分三种情况讨论．
三．判断题（共5小题）
14．一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 ×
【考点】染色问题．
【专题】几何直观；推理能力．
【答案】×
【分析】一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，切成同样大的小正方体，共切成了53个，即125个。位于每条棱非两端的都两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上有（5﹣2）个小正方体，据此解答即可。
【解答】解：如图
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
所以两面涂色的小正方体有36个；故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体两面涂色。
15．用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。 √
【考点】染色问题．
【专题】空间与图形；应用意识．
【答案】√
【分析】因为有27小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体8个顶点上，据此解答即可。
【解答】解：由分析可知：27＝3×3×3，即大正方体的每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
故答案为：√。
【点评】本题考查组合图形的涂色问题，熟练掌握正方体的特征是关键。
16．把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。 √
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】√
【分析】把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，所以总是8个。
【解答】解：由于三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，
所以，把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个；
故答案为：√。
【点评】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处进行解答。
17．一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个棱长为1cm的小正方体．其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个． ×
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】×
【分析】因为3÷1＝3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，据此即可求得答案．
【解答】解：因为3÷1＝3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；
三面涂红色的都在顶点处，所以一共有8个，
一面涂红色的有：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．
18．一个正方体木块表面涂漆，再切割成1000个小正方体，三面涂漆的小正方体有8块． √
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；传统应用题专题．
【答案】√
【分析】根据切割特点，三面涂漆的小正方体处在8个顶点上，两面涂色的处在棱的中间，一面涂色的处在每个面的中间，据此判断．
【解答】解：根据切割特点，只有在顶点上的小正方体才有三个面露在外面，所以三面涂漆的小正方体处在8个顶点上，
因此题干说法正确；
故答案为：√．
【点评】本题重在考查学生的空间想象能力，要明白三面涂漆的小正方体所处的位置是解答的关键．
四．操作题（共1小题）
19．乐乐把若干个白色小正方体木块拼成如图所示的大的正方体，然后在它的表面涂上颜色．
（1）2个面被涂色的小正方体木块有 24 个．
（2）1个面被涂色的小正方体木块有 24 个．
（3）没有被涂色的小正方体木块有 8 个．
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为大正方体每条棱长上面都有4个，所以小正方体有4×4×4＝64个；根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此即可求得答案．
【解答】解：
（1）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）有：
4×6＝24（个）；
（2）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）有：
（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）；
（3）没有涂色的都在内部：（4﹣2）×（4﹣2）×（4﹣2）
＝2×2×2
＝8（个）；
答：（1）2个面被涂色的小正方体木块有 24个．
（2）1个面被涂色的小正方体木块有 24个．
（3）没有被涂色的小正方体木块有 8个．
故答案为：（1）24；（2）24；（3）8．
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．
五．应用题（共7小题）
20．一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
【考点】染色问题．
【专题】空间观念．
【答案】125立方厘米。
【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12+2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。
【解答】解：36÷12+2
＝3+2
＝5（个）
1×5＝5（厘米）
5×5×5
＝25×5
＝125（立方厘米）
答：原来大正方体的体积是125立方厘米。
【点评】本题考查正方体的体积公式的运用，结合正方体表面涂色的特点，求出大正方体的棱长是解题的关键。
21．整个图形的面积表示600平方厘米，涂色的3个方格表示75平方厘米。空白部分含有多少个这样的小方格？
【考点】染色问题；长方形、正方形的面积．
【专题】应用意识．
【答案】21个。
【分析】先求出每个方格的面积，用整个图形的面积除以一个方格的面积，然后减去3个方格即可求解。
【解答】解：600÷（75÷3）﹣3
＝600÷25﹣3
＝24﹣3
＝21（个）
答：空白部分含有21个这样的小方格。
【点评】解题的关键是明确长方形的面积除以一个正方形的面积可得长方形中所有的正方形个数。
22．一个棱长为10厘米的正方体，在它的表面涂上红色的油漆，再将它切成边长为1厘米的小正方体．求涂了一个面的正方体有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为10×10×10＝1000，根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体）3面三面涂色的小正方体都在顶点处，即可解答问题．
【解答】解：棱长为10厘米的正方体，表面涂漆，然后切成棱长为1厘米的小正方体，则每条棱上有10÷1＝10个小正方体；
（10﹣2）×（10﹣2）×6
＝64×6
＝384（个）
答：涂了一个面的正方体有384个．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
23．将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方体只有3个，那么原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；推理能力；应用意识．
【答案】78平方厘米。
【分析】由题意可知，这3块没有颜色的小正方体的外围应再围一圈小正方体（上下左右均要有）才成为原长方体，可知这个长方体的长是3+2＝5（厘米），宽和高都是1+2＝3（厘米），根据长方体的表面积公式S＝（ab+bc+ac）×2由此即可解决问题。
【解答】解：原来长方体长为3+2＝5（厘米），高和宽都是1+2＝3（厘米）
（5×3+5×3+3×3）×2
＝39×2
＝78（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是78平方厘米。
【点评】抓住长方体切割正方体的特点，以及表面没有涂色的正方体都在长方体的内部的特点即可解决问题。
24．把棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块。在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】48个。
【分析】棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块；由于是2层，没有不涂色的，所以在这些小木块中至少有1面涂黑的个数是：2×4×6＝48（个），据此解答即可。
【解答】解：2×4×6＝48（个）
答：在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有48个。
【点评】此题考查了立方体的知识，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
25．右图是由棱长为2cm的正方体搭成的，所有表面涂成了红色．
（1）一共有多少个正方体？它的体积是多少？
（2）其中只有3个面涂上红色的正方体有 1 个，有4个面涂上红色的正方体有 1 个，有5个面涂上红色的正方体有 3 个．
（3）涂上红色的面积是多少平方厘米？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）不难看出，这个立体图形一共有5个相同的小正方体搭成；每个小正方体的棱长已知，根据正方体的体积计算公式“V＝a3”即可求出1个小正方体的体积，用1个小正方体的体积乘5就是这个立体图形的体积．
（2）为了便于说明，把这5个小正方体分别叫做A、B、C、D、E．其中A、B、E这3个小正方体有5个面涂红色；C这个小正方体有4个面积涂红色，D这个小正方体有3个面涂红色．
（3）由（2）可知，这5个小正方体中，3面涂红色的有1个，4面积涂红色的有1个，5面积涂色的有3个，由此即可计算出涂红色的面数，根据正方形的面积计算公式“S＝a2”求出1个面的面积，再乘涂红色的面数就是涂上红色的面积．
【解答】解：如图
一共有5个正方体
23×5
＝8×5
＝40（cm3）
答：一共有5个正方体，它的体积是40cm3．
（2）A、B、E有5个面涂红色；C有4个面积涂红色，D有3个面涂红色
答：其中只有3个面涂上红色的正方体有1个，有4个面涂上红色的正方体有1个，有5个面涂上红色的正方体有3个．
（3）（3×1+4×1+5×3）×22
＝（3+4+15）×4
＝22×4
＝88（cm2）
答：涂上红色的面积是88平方厘米．
故答案为：1，1，3．
【点评】此题不难．弄明白这5个小正方体中，3个面涂色的有几个，4个面涂色的有几个，5个面涂色的有几个是关键．
26．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是几？
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；立体图形的认识与计算；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】每个面上等距离切n刀，那么每个棱上有（n+1）个小方块，其中一面红的处在每个面的中间，两面红的处在每条棱的中间，三面红的处在顶点上，各个面都是白色的处在长方体的中心；由此可得方程：（5+1﹣2）×（4+1﹣2）×（n+1﹣2）＝24，据此解答．
【解答】解：根据题意可得，
（5+1﹣2）×（4+1﹣2）×（n+1﹣2）＝24
4×3×（n﹣1）＝24
n＝3
答：n的取值是3．
【点评】解答此题的关键是明白居中大长方体什么位置的三涂色，什么位置的两面涂色，什么位置的一面涂色，什么位置的没有涂色．
考点卡片
1．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
2．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
3．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
B
D
B
D
B