初中数学北师大版（2024）九年级下册5 二次函数与一元二次方程背景图ppt课件

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册5 二次函数与一元二次方程背景图ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了课前讲评，习题210，勤学早等内容，欢迎下载使用。
1．一根铝合金型材长为6 m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD（如图），如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？
解：设窗户的长AD为x m，则宽AB为 m．则要使窗户的面积S最大，则x=1.5，则宽为所以AB，AD分别为1.5 m，1 m时，窗户的面积最大．
2．如图，小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m,设矩形ABCD的边AB=x m,面积为S m2．（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
解：∵AB=CD=x m,∴BC=（80-2x）m,∴S=x（80-2x）=-2x2+80x（15≤x＜40）．
2．如图，小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m,设矩形ABCD的边AB=x m,面积为S m2．（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
解：∵S=-2x2+80x=-2（x-20）2+800，15≤x＜40，∴当x=20时，S有最大值为800．∴当AB=20 m,BC=40 m时，面积S有最大值为800m2．
4．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
解：设抛物线的表达式为y=ax2，桥拱最高点O到水面CD的距离为h m．则D（5，-h），B（10，-h-3）.∴解得 ∴抛物线的表达式为
4．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m.（2）有一条船以5 km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35 km,桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m,当水位达到CD处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
解：由题意，得船行驶到桥下的时间为35÷5=7（h），水位上升的高度为0.25×7=1.75（m）．∵1.75＜3．∴如果船的速度不变，那么它能安全通过此桥．
3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8 m，宽是2 m,抛物线可以用y=- x2+4表示．（1）一辆货运卡车高4 m,宽2 m,它能通过该隧道吗？
解：把y=4-2=2代入y=- x2+4，解得∴此时可通过物体的宽度为∴它能通过该隧道．
3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8 m，宽是2 m,抛物线可以用y=- x2+4表示．（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
解：由题意，把y=4-2=2代入y=- x2+4，解得∵ ∴这辆货运卡车能通过．
1．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.你能帮助算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？
解：设旅游团的人数为x,由题意得营业额={800-[10（x-30）]}x=x（1100-10x）=-10x2+1100x=-10（x2-110x）=-10[（x-55）2-3025]=-10（x-55）2+30250（x≥30），∴当x=55时，营业额最大，为30250元．答：当一个旅游团的人数是55时，旅行社可以获得最大营业额，最大营业额是30250元．
2．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件.经调查发现，这种商品的销售每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元，则y=[100-10（x-10）]•（x-8）=-10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360．当x=14时，y最大为360．所以将销售价定为14元时，每天所获销售利润最大，最大利润是360元．
3．在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如，在测量5个大麦穗长之后，得到的数据（单位：cm）是：6.5、5.9、6.0、6.7、4.5．那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数y=（x-6.5）2+（x-5.9）2+（x-6.0）2+（x-6.7）2+（x-4.5）2为最小值的x的值．整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度．
解：y=（x-6.5）2+（x-5.9）2+（x-6.0）2+（x-6.7）2+（x-4.5）2=x2-13x+6.52+x2-11.8x+5.92+x2-12x+62+x2-13.4x+6.72+x2-9x+4.52=5x2-59.2x+178.2=5（x-5.92）2+2.968．∵a=5，∴x=5.92时，y有最小值．∴大麦穗长的最佳近似长度为5.92 cm．
第1课时 二次函数与一元二次方程
问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，你能否解决以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到 15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球从飞出到落地要用多少时间？
现在不能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！
思考观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y = x2+x-2；（2）y = x2-6x+9；（3）y = x2-x+1.
x2-6x+9=0，x1=x2=3
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
有两个不相等的实数根，为交点的横坐标
有两个相等的实数根，为交点的横坐标
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点；(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
(1) 证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点.
(2)解：令 y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当m为正整数 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数 m 的值为1.
例1 已知关于x的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
变式：已知：抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.(1) 求证：不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2与 x 轴都有两个不同的交点；(2) 设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值．
(1) 证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴 都有两个不同的交点；(2) 解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
例2 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，你能否解决以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到 15 m ？如果能，需要多少飞行时间？
∴当球飞行 1s 或 3s 时，它的高度为 15 m.
解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1，t2=3.
（2）球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.
当球飞行 2s 时，它的高度为 20 m.
（3）球的飞行高度能否达到20.5 m？如果能，需要多少飞行时间？
解方程：20.5 = 20t-5t2,t2-4t+4.1 = 0,因为(-4)2-4 ×4.1 < 0，所以方程无解.即球的飞行高度达不到 20.5 m.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.
当球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.
即 0 s 时球从地面飞出，4 s 时球落回地面.
从上面发现，二次函数 y=ax2+bx+c 何时为一元二次方程?
一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
1. 如图，某足球运动员站在点 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5 m 的 A 处正对球门踢出（点 A 在 y 轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行 0.8 s 时，离地面的高度为 3.5 m．（1）足球的飞行时间是多少？
解：（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0， 0.5）（0.8，3.5），∴ 解得：∴抛物线的解析式为 ，
（2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
解：∵抛物线的解析式为
∴当 t = 时，y最大= 4.5；
（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？
解：把 x = 28 代入 x =10t 得 t =2.8，∴当 t=2.8 时，∴他能将球直接射入球门．
3. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于（ ）A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限C. x 轴下方 D.第二、三、四象限
4. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．
解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数．∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点， ∴k＝3；当 k≠3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数．∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
5. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x=4 m．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 该同学把铅球推出去多远？
解：(1) 设二次函数的解析式为 y=a（x-4）2+3， 把（0，0.6）代入得 0.6=a（0-4）2+3，解得
(2) 当 y = 0 时，答：该男同学把铅球推出去 (4+2 )m 远．
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
(-2，0)，(3，0)
问题：上节课我们学习了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 和二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?
例1：求一元二次方程 的近似根（精确到 0.1）.
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
利用图象法求一元二次方程的近似根
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在 -1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间.
先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是-0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x=-0.4 或 x=-0.5 都符合要求.但当 x=-0.4 时更为接近 0. 故 x1≈-0.4.同理可得另一近似值为 x2≈2.4.
(1) 用描点法作二次函数 y = ax2+bx+c 的图象；
(2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
(可将单位长度十等分，借助计算器确定其近似值);
(3) 确定方程 ax2+bx+c=0 的近似根.
1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　)A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3，x2≈1
例2 求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）.
分析：令 y = x²-2x-1-3=x²-2x-4，则 x²-2x-1=3 的根就是抛物线 y=x²-2x-4 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标.
解：y=x²-2x-4 的图象如图所示.
解：由图象可知方程的一根在 3 到 4 之间，另一根在 -1 到 -2 之间.(1) 先求 3 到 4 之间的根.利用计算器进行探索：
因此，x = 3.2 是方程的一个近似根.(2) 可类似地求出另一个根为 x = -1.2.
例2变式：你还能利用 y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程 的近似根吗（精确到0.1）？
分析：在 y=x²-2x-1的图象中作直线 y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根.
一元二次方程 ax2+bx+c = m 的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线 y=m（m 是实数）图象交点的横坐标 .
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
问题1 函数 y = ax2+bx+c 的图象如图，那么方程 ax2+bx+c=0 的根是 ___________;不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_____________;不等式 ax2+bx+c 3
*利用函数的图象求一元二次不等式的解集
函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么方程 ax2+bx+c = 2 的根是 ______________;不等式 ax2+bx+c > 2 的解集是___________;不等式 ax2+bx+c < 2 的解集是_________.
x1=-2， x2=4
x4
如果不等式 ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是______.方程 ax2+bx+c=0 的根是______.
如果方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有______个交点； 不等式 ax2+bx+c < 0 的解集是多少？
解：(1) 当 a>0 时, ax2+bx+c < 0 无解；
(2) 当 a＜0 时, ax2+bx+c < 0 的解集是一切实数.
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+20; ③x2-4x+40; ③-x2+x-2