人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算当堂检测题

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知识精讲
知识点01 两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
【即学即练1】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
反思感悟
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
知识点02 向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?
答案 在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
【即学即练2】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于( )
A．－3eq \r(2) B．－6eq \r(2)
C．6eq \r(2) D．2
知识点03 投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(——→))，我们称上述变换为向量a向向量b的 ，eq \(A1B1,\s\up6(——→))叫做向量a在向量b上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
【即学即练3】（1）已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量．
（2）已知||＝6，||＝3，·＝－12，则向量在向量方向上的投影向量的长度为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
知识点04 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
【即学即练4】(多选)下列说法正确的是( )
A．向量a在向量b上的投影向量可表示为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C．若△ABC是等边三角形，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为60°
D．若a·b＝0，则a⊥b
能力拓展
考法01 向量的夹角
【典例1】在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角
B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角
【变式训练】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______．
考法02 求两向量的数量积
【典例2】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为135°，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．12
反思感悟
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cs θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
【变式训练】．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
考法03 投影向量
【典例3】（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 向量上的投影为 SKIPIF 1 < 0
反思感悟 投影向量的求法
(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．
(2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θeq \f(b,|b|).
【变式训练】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C．4D．5
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知向量与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为,且,若,且,,则实数的值为
A．B．C．D．
2．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个互相垂直的单位向量，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．如图，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．在四边形ABCD中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
7． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面上的两点，满足 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
8．如图 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __.
9．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为120°，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
10．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数k的值．
12．如图，在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，求x，y的值，并求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
题组B 能力提升练
1．若单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．6
4．（多选）对于任意向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中至少有一个为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的范围是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
6．已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________.
7．如图，圆 SKIPIF 1 < 0 是半径为1的圆， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆上的任意2个点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
8．如图，直径 SKIPIF 1 < 0 的半圆， SKIPIF 1 < 0 为圆心，点 SKIPIF 1 < 0 在半圆弧上， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上有动点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°．试求：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝ SKIPIF 1 < 0 AB，AF＝ SKIPIF 1 < 0 AD，BG＝ SKIPIF 1 < 0 BC，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若EF⊥EG， SKIPIF 1 < 0 ，求角A的值.
题组C 培优拔尖练
1．已知 SKIPIF 1 < 0 为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取到最大值时， SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
3．（多选）平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 D．若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
4．（多选）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是非零平面向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_________.
6．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
7．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是__________．
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 成最小值时 SKIPIF 1 < 0 ___________.课程标准
课标解读
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积．
1、通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2、理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义.
3、在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础.